Элементарные делители

В алгебре элементарные делители модуля структурной в области главных идеалов (PID) встречаются в одной из форм теоремы для конечно порожденных модулей в области главных идеалов .

Если $R$ это PID и $M$ конечно сгенерированный $R$-модуля, то M изоморфно конечной сумме вида

$M\cong R^{r}\oplus \bigoplus _{i=1}^{l}R/(q_{i})\qquad {\text{with }}r,l\geq 0$,

где $(q_{i})$ являются ненулевыми первичными идеалами .

Список первичных идеалов уникален по порядку (но данный идеал может присутствовать более одного раза, поэтому список представляет собой мультимножество первичных идеалов); элементы $q_{i}$ уникальны лишь с точностью до ассоциированности и называются элементарными делителями . Обратите внимание, что в ПИД ненулевые первичные идеалы являются степенями простых идеалов, поэтому элементарные делители можно записать как степени $q_{i}=p_{i}^{r_{i}}$ неприводимых элементов. Неотрицательное целое число $r$ называется свободным рангом или числом Бетти модуля. $M$.

Модуль определяется с точностью до изоморфизма путем указания его свободного ранга r , а для класса связанных неприводимых элементов p и каждого положительного целого числа k количество раз, которое p ^к происходит среди элементарных делителей. Элементарные делители можно получить из списка инвариантных множителей модуля, разложив каждый из них, насколько это возможно, на попарные относительно простые (неединичные) множители, которые будут степенями неприводимых элементов. Это разложение соответствует максимальному разложению каждого подмодуля, соответствующего инвариантному множителю, с помощью китайской теоремы об остатках для R . И наоборот, зная мультимножество M элементарных делителей, инвариантные множители можно найти, начиная с конечного (кратного всем остальным), следующим образом. Для каждого неприводимого элемента p такого, что некоторая степень p ^к происходит в M , возьмите наибольшую такую ​​степень, удалив ее из M , и умножьте эти степени вместе для всех (классов связанных) p , чтобы получить окончательный инвариантный коэффициент; пока M непусто, повторите действия, чтобы найти инвариантные факторы перед ним.

См. также

• Инвариантные факторы

Ссылки

• Б. Хартли ; Т. О. Хоукс (1970). Кольца, модули и линейная алгебра . Чепмен и Холл. ISBN  0-412-09810-5 . Гл.11, стр.182.
• Глава. III.7, стр.153 из Ланг, Серж (1993), Алгебра (Третье изд.), Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, ISBN  978-0-201-55540-0 , Збл   0848.13001