Конечно порожденная алгебра

В математике ( конечно порожденная алгебра также называемая алгеброй конечного типа ) — это ассоциативная алгебра A над полем K , где существует конечное множество элементов a ₁ ,..., an _из коммутативная A такое, что каждый элемент из A A можно выразить в виде от a 1 _, ..., an _{полинома} с коэффициентами из K .

Эквивалентно, существуют элементы $a_{1},\dots ,a_{n}\in A$ такой, что гомоморфизм оценок в ${\bf {a}}=(a_{1},\dots ,a_{n})$

$\phi _{\bf {a}}\colon K[X_{1},\dots ,X_{n}]\twoheadrightarrow A$

является сюръективным ; таким образом, применяя первую теорему об изоморфизме , $A\simeq K[X_{1},\dots ,X_{n}]/{\rm {ker}}(\phi _{\bf {a}})$.

И наоборот , $A:=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I$ для любого идеала $I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ это $K$-алгебра конечного типа, да и любой элемент из $A$ является полиномом по смежным классам $a_{i}:=X_{i}+I,i=1,\dots ,n$ с коэффициентами в $K$. Таким образом, мы получаем следующую характеристику конечно порожденных $K$-алгебры

$A$ является конечно порожденным $K$-алгебра тогда и только тогда, когда она изоморфна фактор - кольцу типа $K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I$ по идеалу $I\subseteq K[X_{1},\dots ,X_{n}]$.

Если необходимо выделить поле K то говорят, что алгебра конечно порождена над K. , Алгебры, не являющиеся конечно порожденными, называются бесконечно порожденными .

Примеры

• Алгебра полиномов K [ x ₁ ,..., x _n ] конечно порождена. Алгебра полиномов в счетном и бесконечном числе образующих бесконечно порождена.
• Поле E = K ( t ) рациональных функций одной переменной над бесконечным полем K является не порожденной алгеброй над K. конечно С другой стороны, E генерируется над K элементом t одним в качестве поля .
• Если E / F — конечное расширение поля то из определений следует, что E — конечно порожденная алгебра над F. ,
• И наоборот, если E / F — расширение поля, а E — конечно порожденная алгебра над F , то расширение поля конечно. Это называется леммой Зарисского . См. также интегральное расширение .
• Если G — конечно порожденная группа то групповая алгебра KG — конечно порожденная алгебра над K. ,

Свойства

• Гомоморфный образ . конечно порожденной алгебры сам по себе конечно порожден Однако подобное свойство для подалгебр, вообще говоря, не имеет места.
• Базисная теорема Гильберта : если A — конечно порожденная коммутативная алгебра над нётеровым кольцом то каждый идеал A A конечно порождён, или, что то же самое, , — нётерово кольцо.

с

Конечно порожденные редуцированные коммутативные алгебры — основные объекты рассмотрения в современной алгебраической геометрии , где они соответствуют аффинным алгебраическим многообразиям ; по этой причине эти алгебры также называются (коммутативными) аффинными алгебрами . Точнее, учитывая аффинное алгебраическое множество $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ мы можем связать конечно порожденный $K$-алгебра

$\Gamma (V):=K[X_{1},\dots ,X_{n}]/I(V)$

называется аффинным координатным кольцом $V$; более того, если $\phi \colon V\to W$ является регулярным отображением между аффинными алгебраическими множествами $V\subseteq \mathbb {A} ^{n}$ и $W\subseteq \mathbb {A} ^{m}$, мы можем определить гомоморфизм $K$-алгебры

$\Gamma (\phi )\equiv \phi ^{*}\colon \Gamma (W)\to \Gamma (V),\,\phi ^{*}(f)=f\circ \phi ,$

затем, $\Gamma$ — контравариантный функтор из категории аффинных алгебраических множеств с регулярными отображениями в категорию приведенных конечно порожденных $K$-алгебры: этот функтор оказывается быть эквивалентностью категорий

$\Gamma \colon ({\text{affine algebraic sets}})^{\rm {opp}}\to ({\text{reduced finitely generated }}K{\text{-algebras}}),$

и, ограничиваясь аффинными многообразиями (т. е. неприводимыми аффинными алгебраическими множествами),

$\Gamma \colon ({\text{affine algebraic varieties}})^{\rm {opp}}\to ({\text{integral finitely generated }}K{\text{-algebras}}).$

алгебры против алгебр

Напомним, что коммутатив $R$- алгебра $A$ является кольцевым гомоморфизмом $\phi \colon R\to A$; тот $R$- модульная структура $A$ определяется

$\lambda \cdot a:=\phi (\lambda )a,\quad \lambda \in R,a\in A.$

Ан $R$-алгебра $A$ называется конечным, если оно конечно порождено как $R$-модуля, т.е. существует сюръективный гомоморфизм $R$-модули

$R^{\oplus _{n}}\twoheadrightarrow A.$

Опять же, существует характеристика конечных алгебр в терминах частных

Ан $R$-алгебра $A$ конечен тогда и только тогда, когда он изоморфен фактору $R^{\oplus _{n}}/M$ путем $R$- субмодуль $M\subseteq R$.

По определению, конечный $R$-алгебра имеет конечный тип, но обратное неверно: кольцо многочленов $R[X]$ имеет конечный тип, но не конечен.

Конечные алгебры и алгебры конечного типа связаны с понятиями конечных морфизмов и морфизмов конечного типа .

См. также

• Конечно сгенерированный модуль
• Конечно сгенерированное расширение поля
• Лемма Артина – Тейта
• Конечная алгебра
• Морфизм конечного типа