Сепарабельная алгебра

Не путать с этальной алгеброй .

В математике сепарабельная алгебра — это разновидность полупростой алгебры . Это обобщение на ассоциативные алгебры понятия сепарабельного расширения поля .

Определение и первые свойства

Кольцевой гомоморфизм (колец с единицей, но не обязательно коммутативных )

$K\to A$

называется сепарабельным, если отображение умножения

${\begin{array}{rccc}\mu :&A\otimes _{K}A&\to &A\\&a\otimes b&\mapsto &ab\end{array}}$

допускает раздел

$\sigma :A\to A\otimes _{K}A$

это гомоморфизм A - A - бимодулей .

Если кольцо $K$ является коммутативным и $K\to A$ карты $K$ в центр ​ $A$, мы звоним $A$ сепарабельная алгебра над $K$.

Полезно описать разделимость в терминах элемента

$p:=\sigma (1)=\sum a_{i}\otimes b_{i}\in A\otimes _{K}A$

Причина в том, что сечение σ определяется этим элементом. Условие того, что σ является сечением µ, эквивалентно тому, что

$\sum a_{i}b_{i}=1$

и условие того, что σ является гомоморфизмом A — A -бимодулей, эквивалентно следующему требованию для любого a из A :

$\sum aa_{i}\otimes b_{i}=\sum a_{i}\otimes b_{i}a.$

Такой элемент p называется идемпотентом сепарабельности , поскольку рассматривается как элемент алгебры $A\otimes A^{\rm {op}}$ это удовлетворяет $p^{2}=p$.

Примеры

Для любого коммутативного кольца R (некоммутативное) n -n кольцо матриц $M_{n}(R)$ является сепарабельной R -алгеброй. Для любого $1\leq j\leq n$, идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}e_{ij}\otimes e_{ji}}$, где $e_{ij}$ обозначает элементарную матрицу , которая равна 0, за исключением записи в позиции ( i , j ) , которая равна 1. В частности, это показывает, что идемпотенты отделимости не обязательно должны быть уникальными.

Сепарабельные алгебры над полем

Расширение поля L / K конечной степени является сепарабельным расширением тогда и только тогда, когда L сепарабельна как ассоциативная K -алгебра. Если L / K имеет примитивный элемент $a$ с неприводимым полиномом ${\textstyle p(x)=(x-a)\sum _{i=0}^{n-1}b_{i}x^{i}}$, то идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle \sum _{i=0}^{n-1}a^{i}\otimes _{K}{\frac {b_{i}}{p'(a)}}}$. Тензоранды являются двойными базисами карты следов: если ${\textstyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}}$ являются различными K -мономорфизмами L в алгебраическое замыкание K , отображение следов Tr L в K определяется формулой ${\textstyle Tr(x)=\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(x)}$. Отображение следов и его двойственные базисы явно определяют L как алгебру Фробениуса над K.

В более общем смысле, сепарабельные алгебры над полем K можно классифицировать следующим образом: они аналогичны конечным произведениям матричных алгебр над конечномерными телами, центры являются конечномерными сепарабельными расширениями поля поля K. которых В частности: каждая сепарабельная алгебра сама по себе конечномерна. Если K — совершенное поле (например, поле нулевой характеристики, или конечное поле, или алгебраически замкнутое поле), то каждое расширение K является сепарабельным, так что сепарабельные K -алгебры являются конечными произведениями матричных алгебр над конечномерным делением. алгебры над полем K . Другими словами, если K — совершенное поле, нет разницы между сепарабельной алгеброй над K и конечномерной полупростой алгеброй над K .С помощью обобщенной теоремы Машке можно показать, что ассоциативная K -алгебра A сепарабельна, если для любого расширения поля ${\textstyle L/K}$ алгебра ${\textstyle A\otimes _{K}L}$ является полупростым.

Групповые кольца

Если K — коммутативное кольцо и G — конечная группа такая, что порядок G обратим в K , то групповое кольцо K [ G ] является сепарабельной K -алгеброй. Идемпотент отделимости определяется выражением ${\textstyle {\frac {1}{o(G)}}\sum _{g\in G}g\otimes g^{-1}}$.

Эквивалентные характеристики разделимости

Существует несколько эквивалентных определений сепарабельных алгебр. K , -алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она проективна если ее рассматривать как левый модуль $A^{e}$ обычным способом. Более того, алгебра A сепарабельна тогда и только тогда, когда она плоская , если ее рассматривать как правый модуль $A^{e}$ обычным способом.

Сепарабельные алгебры также можно охарактеризовать с помощью расщепляемых расширений: А сепарабельна над К тогда и только тогда, когда все короткие точные последовательности А — А - бимодулей, расщепляемые как А — К -бимодули, также расщепляются как А — А -бимодули. Действительно, это условие необходимо, поскольку отображение умножения ${\textstyle \mu :A\otimes _{K}A\rightarrow A}$ возникающий в приведенном выше определении, представляет собой эпиморфизм A - A -бимодуля, который расщепляется как отображение A - K -бимодуля правым обратным отображением ${\textstyle A\rightarrow A\otimes _{K}A}$ предоставлено $a\mapsto a\otimes 1$. Обратное можно доказать, разумно используя идемпотент отделимости (аналогично доказательству теоремы Машке , применяя его компоненты внутри и без отображений расщепления).

Эквивалентно, относительные когомологий Хохшильда группы $H^{n}(R,S;M)$ ( R n , S ) в любом коэффициентном бимодуле M равна нулю при > 0 . Примеров сепарабельных расширений много, включая первые сепарабельные алгебры, где R - сепарабельная алгебра и S = ​​1 раз больше основного поля. Любое кольцо R с элементами a и b, удовлетворяющими ab = 1 , но ba отличным от 1, является сепарабельным расширением над подкольцом S, порожденным 1 и bRa .

Связь с алгебрами Фробениуса

Сепарабельная алгебра называется сильно отделимой, если существует симметричный идемпотент сепарабельности , то есть

$e=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\otimes y_{i}=\sum _{i=1}^{n}y_{i}\otimes x_{i}$

Алгебра сильно отделима тогда и только тогда, когда ее следовая форма невырождена, что превращает алгебру в особый вид алгебры Фробениуса, называемый симметричной алгеброй (не путать с симметричной алгеброй, возникающей как фактор тензорной алгебры ).

Если K коммутативен, A — конечно порожденный проективный сепарабельный K -модуль, то A — симметричная алгебра Фробениуса.

Отношение к формально неразветвленным и формально этальным расширениям

Любое сепарабельное расширение A / K коммутативных колец формально неразветвлено . Обратное верно, если A — конечно порожденная K -алгебра. Сепарабельная плоская (коммутативная) K -алгебра A формально этальна .

Дальнейшие результаты

В этой области существует теорема Дж. Куадры о том, что сепарабельное расширение Хопфа–Галуа R | S имеет конечно порожденный естественный S -модуль R . Фундаментальный факт о сепарабельном расширении R | S заключается в том, что это левое или правое полупростое расширение: короткая точная последовательность левых или правых R -модулей, расщепляемая как S -модули, распадается как R -модули. В терминах относительной гомологической алгебры Г. Хохшильда говорят, что все R -модули являются относительными ( R , S ) -проективными. Обычно относительные свойства подколец или расширений колец, такие как понятие сепарабельного расширения, служат доказательством теорем, утверждающих, что надкольцо разделяет свойства подкольца. Например, сепарабельное расширение R полупростой алгебры S имеет R полупростое, что следует из предыдущего обсуждения.

Существует знаменитая теорема Янса о том, что конечная групповая алгебра A над полем характеристики p имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда ее силовская p -подгруппа циклична: самое ясное доказательство — отметить этот факт для p -групп, а затем отметить что групповая алгебра является сепарабельным расширением своей силовской p- подгрупповой алгебры B, поскольку индекс взаимно прост с характеристикой. Из приведенного выше условия отделимости следует, что каждый конечно порожденный A -модуль M изоморфен прямому слагаемому в своем ограниченном индуцированном модуле. Но если B имеет конечный тип представления, ограниченный модуль является однозначно прямой суммой кратных конечного числа неразложимых элементов, что приводит к конечному числу составляющих неразложимых модулей, M. прямой суммой которых является Следовательно, A имеет конечный тип представления, если B. таковым является Обратное доказывается аналогичным рассуждением, отмечающим, что каждая подгрупповая алгебра B является прямым B -бимодулем групповой алгебры A .

Ссылки

• ДеМейер, Ф.; Ингрэм, Э. (1971). Сепарабельные алгебры над коммутативными кольцами . Конспект лекций по математике. Том. 181. Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-05371-2 . Збл   0215.36602 .
• Сэмюэл Эйленберг и Тадаси Накаяма, О размерности модулей и алгебр. II. Алгебры Фробениуса и квазифробениусовые кольца , Нагоя Матем. Дж. Том 9 (1955), 1–16.
• Эндо, Шизуо; Ватанабэ, Ютака (1967), «О сепарабельных алгебрах над коммутативным кольцом» , Осакский журнал математики , 4 : 233–242, MR   0227211
• Форд, Тимоти Дж. (2017), Сепарабельные алгебры , Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN  978-1-4704-3770-1 , МР   3618889
• Хирата, Х.; Сугано, К. (1966), «О полупростых и сепарабельных расширениях некоммутативных колец», J. Math. Соц. Япония. , 18 : 360–373
• Кадисон, Ларс (1999), Новые примеры расширений Фробениуса , Серия университетских лекций, том. 14, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, номер документа : 10.1090/ulect/014 , ISBN.  0-8218-1962-3 , МР   1690111
• Райнер И. (2003), Максимальные порядки , Монографии Лондонского математического общества. Новая серия, том. 28, Издательство Оксфордского университета , ISBN  0-19-852673-3 , Збл   1024.16008
• Вейбель, Чарльз А. (1994). Введение в гомологическую алгебру . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 38. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-55987-4 . МР   1269324 . OCLC   36131259 .