Изделие из колец

В математике произведение колец или прямое произведение колец — это кольцо , образованное декартовым произведением базовых множеств нескольких колец (возможно, бесконечности), снабженных покомпонентными операциями . Это прямой продукт в категории колец .

Поскольку прямые произведения определены до изоморфизма с точностью , в разговорной речи говорят, что кольцо является произведением некоторых колец, если оно изоморфно прямому произведению этих колец. Например, китайская теорема об остатках может быть сформулирована так: если m и n — взаимно простые целые числа , факторкольцо $\mathbb {Z} /mn\mathbb {Z}$ является продуктом $\mathbb {Z} /m\mathbb {Z}$ и $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} .$

Примеры

Важным примером является Z / n Z , кольцо целых чисел по модулю n . Если n записано в виде произведения степеней простых чисел (см. Основную теорему арифметики ),

$n=p_{1}^{n_{1}}p_{2}^{n_{2}}\cdots \ p_{k}^{n_{k}},$

где pi _— различные простые числа , то Z / n Z естественным образом изоморфно произведению

$\mathbf {Z} /p_{1}^{n_{1}}\mathbf {Z} \ \times \ \mathbf {Z} /p_{2}^{n_{2}}\mathbf {Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf {Z} /p_{k}^{n_{k}}\mathbf {Z} .$

Это следует из китайской теоремы об остатках .

Характеристики

Если R = Π _{i ∈ I} R _i — произведение колец, то для каждого i из I мы имеем сюръективный гомоморфизм колец p _i : R → R _i , который проецирует произведение на i -ю координату. Произведение R с проекциями pi _вместе обладает следующим универсальным свойством :

если S — любое кольцо и f _i : S → R _i — гомоморфизм колец для каждого i в I существует ровно один гомоморфизм колец f : S → R такой, что p _i ∘ f = fi _{, то} для каждого i в I .

Это показывает, что произведение колец является примером произведения в смысле теории категорий .

Когда I конечно, основная аддитивная группа Π _{i ∈ I} R _i совпадает с прямой суммой аддитивных групп R _i . При этом некоторые авторы называют R «прямой суммой колец R _i » и пишут ⊕ _{i ∈ I} R _i , но это неверно с точки зрения теории категорий , так как оно обычно не является копроизведением в категории колец (с единицей): например, когда два или более из R _i нетривиальны , отображение включения R _i → R не может отобразить 1 в 1 и, следовательно, не является гомоморфизмом колец.

(Конечное копроизведение в категории коммутативных . Копроизведение алгебр над коммутативным кольцом — это тензорное произведение алгебр в категории алгебр — свободное произведение алгебр .)

Прямые произведения коммутативны и ассоциативны с точностью до естественного изоморфизма, а это означает, что не имеет значения, в каком порядке формировать прямой продукт.

Если A _i — идеал R i _i для каждого A из I , то A = Π _{i ∈ I} i _— идеал R . Если I конечно, то верно обратное , т. е. каждый идеал в R имеет такой вид. Однако если I бесконечно, а кольца R _i нетривиальны, то обратное неверно: набор элементов со всеми, кроме конечного числа, ненулевыми координатами образует идеал, который не является прямым произведением идеалов кольца R _i . Идеал A является простым идеалом в R, все Ai, кроме одного, равны _Ri а оставшийся _Ai является простым _, идеалом в Ri _. если Однако обратное неверно, когда I бесконечно. Например, прямая сумма R i _{дает ,} образует идеал, не содержащийся ни в одном таком A , но аксиома выбора что он содержится в некотором максимальном идеале, который тем более является простым числом.

Элемент x в R является единицей тогда и только тогда, когда все его компоненты являются единицами, т. е. тогда и только тогда, когда x _pi ) является единицей в R _i для каждого i в I. ( Группа единиц R i является произведением групп R _. единиц

Произведение двух или более нетривиальных колец всегда имеет ненулевые делители нуля : если x — элемент произведения, все координаты которого равны нулю, кроме p _i ( x ), а y — элемент произведения со всеми нулевыми координатами, кроме p _j ( y ), где i ≠ j , тогда xy = 0 в кольце произведений.

Ссылки

• Херштейн, И.Н. (2005) [1968], Некоммутативные кольца (5-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-88385-039-8
• Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , том. 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 211 (пересмотренное третье издание). 91, ISBN  978-0-387-95385-4 , МР   1878556 , Збл   0984.00001