Формула следа Беренда

В алгебраической геометрии формула следа Беренда представляет собой обобщение формулы следа Гротендика – Лефшеца на гладкий алгебраический стек над конечным полем, выдвинутую в 1993 году. ^{[ 1 ]} и проверено в 2003 году ^{[ 2 ]} Беренд Кай . В отличие от классической, формула подсчитывает очки « стопочным способом »; он учитывает наличие нетривиальных автоморфизмов.

Потребность в формуле проистекает из того факта, что она применима к стеку модулей главных расслоений на кривой над конечным полем (в некоторых случаях косвенно, через стратификацию Хардера – Нарасимхана , поскольку стек модулей не имеет конечного типа. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}) См. стек модулей основных расслоений и ссылки в нем для получения точной формулировки в этом случае.

Пьер Делин нашел пример ^{[ 5 ]} это показывает, что формулу можно интерпретировать как своего рода формулу следа Сельберга .

Доказательство формулы в контексте формализма шести операций , разработанного Ивом Ласло и Мартином Олссоном. ^{[ 6 ]} предоставлено Шэнхао Сунь. ^{[ 7 ]}

Формулировка

По определению, если C — категория, в которой каждый объект имеет конечное число автоморфизмов, количество точек в $C$ обозначается

\#C=\sum _{p}{1 \over \#\operatorname {Aut} (p)},

с суммой, пробегающей представителей p всех классов изоморфизма в C . (Ряд, вообще говоря, может расходиться.) Формула гласит: для гладкого алгебраического стека X конечного типа над конечным полем $\mathbb {F} _{q}$ и «арифметика» Фробениуса $\phi ^{-1}:X\to X$ , т. е. обратный обычному геометрическому Фробениусу $\phi$ в формуле Гротендика ^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}

\#X(\mathbb {F} _{q})=q^{\dim X}\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(X,\mathbb {Q} _{l})\right).

Здесь крайне важно, чтобы когомологии стека относились к гладкой топологии (не к этальной).

Когда X — многообразие, гладкая когомология такая же, как этальная, и, согласно двойственности Пуанкаре , это эквивалентно формуле следов Гротендика. (Но доказательство формулы следа Беренда основано на формуле Гротендика, поэтому оно не включает в себя формулу Гротендика.)

Простой пример

Учитывать $B\mathbb {G} _{m}=[\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}/\mathbb {G} _{m}]$ , классифицирующий стек схемы мультипликативной группы (т.е. $\mathbb {G} _{m}(R)=R^{\times }$ ). По определению, $B\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})$ это категория принципала $\mathbb {G} _{m}$ -связывается $\operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}$ , который имеет только один класс изоморфизма (поскольку все такие расслоения тривиальны по теореме Ланга ). Его группа автоморфизмов $\mathbb {G} _{m}$ , что означает, что количество $\mathbb {F} _{q}$ -изоморфизмы $\#\mathbb {G} _{m}(\mathbb {F} _{q})=\#\mathbb {F} _{q}^{\times }=q-1$ .

С другой стороны, мы можем вычислить l -адические когомологии $B\mathbb {G} _{m}$ напрямую. Заметим, что в топологической ситуации мы имеем $B\mathbb {C} ^{\times }\cong \mathbb {CP} ^{\infty }$ (где $B\mathbb {C} ^{\times }$ теперь обозначает обычное классифицирующее пространство топологической группы), кольцо рациональных когомологий которой является кольцом многочленов от одного образующего ( теорема Бореля ), но мы не будем использовать это непосредственно. Если мы хотим остаться в мире алгебраической геометрии, мы можем вместо этого «приблизить» $B\mathbb {G} _{m}$ проективными пространствами все большей и большей размерности. Итак, мы рассматриваем карту $B\mathbb {G} _{m}\to \mathbb {P} ^{N}$ вызванный $\mathbb {G} _{m}$ -расслоение, соответствующее ${\mathcal {O}}(1).$ Это отображение индуцирует изоморфизм в когомологиях степеней до 2N . Таким образом, четные (соответственно нечетные) числа Бетти $B\mathbb {G} _{m}$ равны 1 (соответственно 0), а l -адическое представление Галуа на (2n) -й группе когомологий является n- й степенью кругового характера. Вторая часть является следствием того, что когомологии $\mathbb {P} ^{N}$ порождается классами алгебраических циклов. Это показывает, что

\sum _{i\geq 0}(-1)^{i}\operatorname {tr} \left(\phi ^{-1};H^{i}(B\mathbb {G} _{m},\mathbb {Q} _{l})\right)=1+{\frac {1}{q}}+{\frac {1}{q^{2}}}+\cdots ={\frac {q}{q-1}}.

Обратите внимание, что

\dim B\mathbb {G} _{m}=\dim \operatorname {Spec} \mathbb {F} _{q}-\dim \mathbb {G} _{m}=-1.

Умножение на $q^{-1}$ , получаем предсказанное равенство.

Примечания

^ Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений. Кандидатская диссертация.
^ Беренд, Кай (2003), «Производные l-адические категории для алгебраических стеков» (PDF) , Мемуары Американского математического общества , 163 , doi : 10.1090/memo/0774
^ К. Беренд, А. Диллон, Связные компоненты стеков модулей торсоров через числа Тамагавы
^ Лурье, Джейкоб (весна 2014 г.), «Когомологическая формулировка (лекция 3)» (PDF) , Числа Тамагавы через неабелеву двойственность Пуанкаре (282y) , Институт перспективных исследований
^ Беренд 2003 , Предложение 6.4.11.
^ * Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2006). «Шесть операций для пучков на стеках Артина I: конечные коэффициенты». arXiv : math/0512097v2 .
^ Шэнхао, 2011 г.
^ Чтобы определить Фробениуса $\phi$ в стеке X пусть $\phi :{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to {\overline {\mathbb {F} _{q}}},x\mapsto x^{q}$ . Тогда у нас есть $id\times \phi :X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}$ , который является Фробениусом на X , также обозначается $\phi$ .
^ Беренд 2003 , следствие 6.4.10.

Ссылки

Шэнхао, Сунь (2011). «L-серия стеков Артина по конечным полям». Алгебра и теория чисел . 6 : 47–122. arXiv : 1008.3689 . дои : 10.2140/ant.2012.6.47 . S2CID 119599074 .

[1] Беренд, К. Формула следа Лефшеца для стека модулей главных расслоений. Кандидатская диссертация.

[2] Беренд, Кай (2003), «Производные l-адические категории для алгебраических стеков» (PDF) , Мемуары Американского математического общества , 163 , doi : 10.1090/memo/0774

[3] К. Беренд, А. Диллон, Связные компоненты стеков модулей торсоров через числа Тамагавы

[4] Лурье, Джейкоб (весна 2014 г.), «Когомологическая формулировка (лекция 3)» (PDF) , Числа Тамагавы через неабелеву двойственность Пуанкаре (282y) , Институт перспективных исследований

[5] Беренд 2003 , Предложение 6.4.11.

[6] * Ласло, Ив; Олссон, Мартин (2006). «Шесть операций для пучков на стеках Артина I: конечные коэффициенты». arXiv : math/0512097v2 .

[7] Шэнхао, 2011 г.

[8] Чтобы определить Фробениуса $\phi$ в стеке X пусть $\phi :{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to {\overline {\mathbb {F} _{q}}},x\mapsto x^{q}$ . Тогда у нас есть $id\times \phi :X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}\to X\times _{\mathbb {F} _{q}}{\overline {\mathbb {F} _{q}}}$ , который является Фробениусом на X , также обозначается $\phi$ .

[9] Беренд 2003 , следствие 6.4.10.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]