Арифметический и геометрический Фробениус

В математике определяется эндоморфизм Фробениуса в любом коммутативном кольце R , имеющем характеристику p , где p — простое число . А именно, отображение φ, которое переводит r из R в r ^п является эндоморфизмом R . кольцевым

Тогда образ φ будет R ^п , подкольцо состоящее R, из p -ых степеней. В некоторых важных случаях, например, в конечных полях , φ сюръективна . В противном случае φ является эндоморфизмом, но не кольцевым автоморфизмом .

Терминология геометрического Фробениуса возникает в результате применения спектра кольцевой конструкции к φ. Это дает отображение

φ*: Spec( R ^п ) → Спец( р )

аффинных схем . Даже в тех случаях, когда Р ^п = R это не тождество, если только R не является простым полем .

Отображения, созданные произведением слоев с φ*, т.е. базовые изменения , в теории схем имеют тенденцию называться геометрическими Фробениусами . Причиной тщательной терминологии является то, что автоморфизм Фробениуса в группах Галуа или определяемый переносом структуры часто является обратным отображением геометрического Фробениуса. Как и в случае циклической группы, в которой генератор также является обратным генератору, во многих ситуациях существуют два возможных определения Фробениуса, и без последовательного соглашения может возникнуть некоторая проблема со знаком минус .

Ссылки

• Пятница, Эберхард; Киль, Рейнхардт (1988), Этальные когомологии и гипотеза Вейля , Результаты по математике и ее пограничным областям (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], vol. 13, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-12175-6 , МР   0926276 , с. 5