Локально нильпотентный вывод

В математике вывод $\partial$ коммутативного кольца $A$ называется локально нильпотентным дифференцированием ( LND ), если каждый элемент $A$ уничтожается какой-то силой $\partial$.

Одной из причин изучения локально нильпотентных дифференцирований является тот факт, что некоторые контрпримеры к 14-й проблеме Гильберта получены как ядра дифференцирования на кольце полиномов.

Над полем $k$ нулевой характеристики, чтобы дать локально нильпотентный вывод в области целостности $A$, конечно порожденный над полем, эквивалентно заданию действия аддитивной группы $(k,+)$ к аффинному многообразию $X=\operatorname {Spec} (A)$. Грубо говоря, аффинное многообразие, допускающее «множество» действий аддитивной группы, считается подобным аффинному пространству.

Определение

Позволять $A$ несущий ​ . Напомним, вывод что $A$ это карта $\partial \colon \,A\to A$ удовлетворяющее правилу Лейбница $\partial (ab)=(\partial a)b+a(\partial b)$ для любого $a,b\in A$. Если $A$ является алгеброй над полем $k$, нам дополнительно требуется $\partial$ быть $k$-линейный, поэтому $k\subseteq \ker \partial$.

Вывод $\partial$ называется локально нильпотентным дифференцированием (ЛНД), если для любого $a\in A$, существует целое положительное число $n$ такой, что $\partial ^{n}(a)=0$.

Если $A$ градуирован , мы говорим , что локально нильпотентный вывод $\partial$ однороден степени ( $d$) если $\deg \partial a=\deg a+d$ для каждого $a\in A$.

Множество локально нильпотентных дифференцирований кольца $A$ обозначается $\operatorname {LND} (A)$. Обратите внимание, что это множество не имеет очевидной структуры: оно не является замкнутым относительно сложения (например, если $\partial _{1}=y{\tfrac {\partial }{\partial x}}$, $\partial _{2}=x{\tfrac {\partial }{\partial y}}$ затем $\partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (k[x,y])$ но $(\partial _{1}+\partial _{2})^{2}(x)=x$, так $\partial _{1}+\partial _{2}\not \in \operatorname {LND} (k[x,y])$) ни при умножении на элементы $A$ (например ${\tfrac {\partial }{\partial x}}\in \operatorname {LND} (k[x])$, но $x{\tfrac {\partial }{\partial x}}\not \in \operatorname {LND} (k[x])$). Однако, если $[\partial _{1},\partial _{2}]=0$ затем $\partial _{1},\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)$ подразумевает $\partial _{1}+\partial _{2}\in \operatorname {LND} (A)$ и если $\partial \in \operatorname {LND} (A)$, $h\in \ker \partial$ затем $h\partial \in \operatorname {LND} (A)$.

Связь с G _a -действием

Позволять $A$ быть алгеброй над полем $k$ нулевой характеристики (например, $k=\mathbb {C}$). Тогда существует взаимно однозначное соответствие между локально нильпотентным $k$-выводы на $A$ и действия аддитивной группы $\mathbb {G} _{a}$ из $k$ об аффинном многообразии $\operatorname {Spec} A$, следующее. А $\mathbb {G} _{a}$-действие на $\operatorname {Spec} A$ соответствует $k$-алгебра гомоморфизм $\rho \colon A\to A[t]$. Любой такой $\rho$ определяет локально нильпотентный вывод $\partial$ из $A$ взяв его производную в нуле, а именно $\partial =\epsilon \circ {\tfrac {d}{dt}}\circ \rho ,$ где $\epsilon$ обозначает оценку в $t=0$. Обратно, любое локально нильпотентное дифференцирование $\partial$ определяет гомоморфизм $\rho \colon A\to A[t]$ к $\rho =\exp(t\partial )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}\partial ^{n}.$

Легко видеть, что сопряженным действиям соответствуют сопряженные дифференцирования, т. е. если $\alpha \in \operatorname {Aut} A$ и $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ затем $\alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1}\in \operatorname {LND} (A)$ и $\exp(t\cdot \alpha \circ \partial \circ \alpha ^{-1})=\alpha \circ \exp(t\partial )\circ \alpha ^{-1}$

Алгоритм ядра

Алгебра $\ker \partial$ состоит из инвариантов соответствующих $\mathbb {G} _{a}$-действие. Оно алгебраически и факториально замкнуто в $A$. Особый случай 14-й проблемы Гильберта спрашивает, $\ker \partial$ конечно порождено, или, если $A=k[X]$, является ли частное $X/\!/\mathbb {G} _{a}$ является аффинным. По Зарисского о конечности теореме это правда, если $\dim X\leq 3$. С другой стороны, этот вопрос весьма нетривиален даже для $X=\mathbb {C} ^{n}$, $n\geq 4$. Для $n\geq 5$ ответ, в целом, отрицательный. Дело $n=4$ открыт.

Однако на практике часто случается, что $\ker \partial$ известно, что оно конечно порождено: в частности, по теореме Маурера – Вайценбека, это имеет место для линейных ЛНД алгебры полиномов над полем нулевой характеристики (под линейным мы подразумеваем однородные нулевой степени относительно стандартной градуировки).

Предполагать $\ker \partial$ конечно порождено. Если $A=k[g_{1},\dots ,g_{n}]$ — конечно порожденная алгебра над полем нулевой характеристики, то $\ker \partial$ можно рассчитать с помощью алгоритма Ван ден Эссена, следующее. Выберите локальный фрагмент , т.е. элемент $r\in \ker \partial ^{2}\setminus \ker \partial$ и положить $f=\partial r\in \ker \partial$. Позволять $\pi _{r}\colon \,A\to (\ker \partial )_{f}$ быть отображением Диксмье, заданным формулой $\pi _{r}(a)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!}}\partial ^{n}(a){\frac {r^{n}}{f^{n}}}$. Теперь для каждого $i=1,\dots ,n$, выбрал минимальное целое число $m_{i}$ такой, что $h_{i}\colon =f^{m_{i}}\pi _{r}(g_{i})\in \ker \partial$, помещать $B_{0}=k[h_{1},\dots ,h_{n},f]\subseteq \ker \partial$и определим индуктивно $B_{i}$ быть подкольцом $A$ созданный $\{h\in A:fh\in B_{i-1}\}$. По индукции доказывается, что $B_{0}\subset B_{1}\subset \dots \subset \ker \partial$ конечно порождены и если $B_{i}=B_{i+1}$ затем $B_{i}=\ker \partial$, так $B_{N}=\ker \partial$ для некоторых $N$. Нахождение образующих каждого $B_{i}$ и проверяем, есть ли $B_{i}=B_{i+1}$ — стандартное вычисление с использованием базисов Грёбнера .

Теорема о срезах

Предположим, что $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ допускает срез , т.е. $s\in A$ такой, что $\partial s=1$. Теорема о срезе утверждает, что $A$ является полиномиальной алгеброй $(\ker \partial )[s]$ и $\partial ={\tfrac {d}{ds}}$.

Для любого локального среза $r\in \ker \partial \setminus \ker \partial ^{2}$ мы можем применить теорему о срезах к локализации $A_{\partial r}$, и таким образом получим, что $A$ является локально полиномиальной алгеброй со стандартным выводом. В геометрических терминах, если геометрическое частное $\pi \colon \,X\to X//\mathbb {G} _{a}$ аффинно (например, когда $\dim X\leq 3$ по теореме Зариского ), то оно имеет открытое по Зарисскому подмножество $U$ такой, что $\pi ^{-1}(U)$ изоморфен над $U$ к $U\times \mathbb {A} ^{1}$, где $\mathbb {G} _{a}$ действует путем трансляции на второй фактор.

Однако в целом это неправда, что $X\to X//\mathbb {G} _{a}$ является локально тривиальным. Например, позволять $\partial =u{\tfrac {\partial }{\partial x}}+v{\tfrac {\partial }{\partial y}}+(1+uy^{2}){\tfrac {\partial }{\partial z}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x,y,z,u,v])$. Затем $\ker \partial$ является координатным кольцом особого многообразия, а слои фактор-отображения по особым точкам двумерны.

Если $\dim X=3$ затем $\Gamma =X\setminus U$ представляет собой кривую. Чтобы описать $\mathbb {G} _{a}$-действие, важно понимать геометрию $\Gamma$. Предположим далее, что $k=\mathbb {C}$ и это $X$ является гладким и сжимаемым (в этом случае $S$ также является гладким и сжимаемым ) и выберите $\Gamma$ быть минимальным (относительно включения). Тогда Калиман доказал что каждая неприводимая компонента $\Gamma$ является полиномиальной кривой , т. е. ее нормировка изоморфна $\mathbb {C} ^{1}$. Кривая $\Gamma$ ибо действие, заданное (2,5)-выводом Фрейденбурга (см. ниже ), представляет собой объединение двух прямых в $\mathbb {C} ^{2}$, так $\Gamma$ не может быть нередуцируемым. Однако предполагается, что $\Gamma$ всегда сжимаема .

Примеры

Пример 1

Стандартные выводы координат ${\tfrac {\partial }{\partial x_{i}}}$ полиномиальной алгебры $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ локально нильпотентны. Соответствующий $\mathbb {G} _{a}$-действия – это переводы: $t\cdot x_{i}=x_{i}+t$, $t\cdot x_{j}=x_{j}$ для $j\neq i$.

Пример 2 ((2,5)-однородный вывод по Фрейденбургу )

Позволять $f_{1}=x_{1}x_{3}-x_{2}^{2}$, $f_{2}=x_{3}f_{1}^{2}+2x_{1}^{2}x_{2}f_{1}+x^{5}$, и пусть $\partial$ быть якобианским выводом ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$. Затем $\partial \in \operatorname {LND} (k[x_{1},x_{2},x_{3}])$ и $\operatorname {rank} \partial =3$ (см. ниже ); то есть, $\partial$ не уничтожает никакую переменную. Множество фиксированных точек соответствующего $\mathbb {G} _{a}$-действие равно $\{x_{1}=x_{2}=0\}$.

Пример 3

Учитывать $Sl_{2}(k)=\{ad-bc=1\}\subseteq k^{4}$. Локально нильпотентный вывод $a{\tfrac {\partial }{\partial b}}+c{\tfrac {\partial }{\partial d}}$ его координатного кольца соответствует естественному действию $\mathbb {G} _{a}$ на $Sl_{2}(k)$ путем правого умножения верхнетреугольных матриц. Это действие дает нетривиальную $\mathbb {G} _{a}$-связывать $\mathbb {A} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$. Однако, если $k=\mathbb {C}$ то это расслоение тривиально в гладкой категории

LND алгебры полиномов

Позволять $k$ быть полем нулевой характеристики (с помощью теоремы Камбаяши можно свести большинство результатов к случаю $k=\mathbb {C}$) и пусть $A=k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ быть полиномиальной алгеброй.

n = 2 ( G _a -действия на аффинной плоскости)

Теорема Рентшлера — Каждый LND $k[x_{1},x_{2}]$ может быть сопряжено с $f(x_{1}){\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}$ для некоторых $f(x_{1})\in k[x_{1}]$. Этот результат тесно связан с тем фактом, что каждый автоморфизм аффинной плоскости является ручным и не выполняется в более высоких измерениях.

n = 3 ( G _a -действия на аффинном 3-пространстве)

Мияниси Теорема . Ядро любого нетривиального LND $A=k[x_{1},x_{2},x_{3}]$ изоморфно кольцу многочленов от двух переменных; то есть множество фиксированных точек всех нетривиальных $\mathbb {G} _{a}$-действие на $\mathbb {A} ^{3}$ изоморфен $\mathbb {A} ^{2}$.

Другими словами, для каждого $0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)$ существуют $f_{1},f_{2}\in A$ такой, что $\ker \partial =k[f_{1},f_{2}]$ (но, в отличие от случая $n=2$, $A$ не обязательно является кольцом полиномов над $\ker \partial$). В этом случае, $\partial$ является якобианским выводом: ${\textstyle \partial (f_{3})=\det \left[{\tfrac {\partial f_{i}}{\partial x_{j}}}\right]_{i,j=1,2,3}}$.

Теорема Зурковского . Предположим, что $n=3$ и $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ является однородным относительно некоторой положительной оценки $A$ такой, что $x_{1},x_{2},x_{3}$ однородны. Затем $\ker \partial =k[f,g]$ для некоторого однородного $f,g$. Более того, если $\deg x_{1},\deg x_{2},\deg x_{3}$ относительно простые, то $\deg f,\deg g$ также являются относительно простыми.

Теорема Бонне — Факторморфизм $\mathbb {A} ^{3}\to \mathbb {A} ^{2}$ из $\mathbb {G} _{a}$-действие сюръективно . Другими словами, для каждого $0\neq \partial \in \operatorname {LND} (A)$, вложение $\ker \partial \subseteq A$ индуцирует сюръективный морфизм $\operatorname {Spec} A\to \operatorname {Spec} \ker \partial$.

Это уже не верно для $n\geqslant 4$, например, изображение факторкарты $\mathbb {A} ^{4}\to \mathbb {A} ^{3}$ по $\mathbb {G} _{a}$-действие $t\cdot (x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})=(x_{1},x_{2},x_{3}-tx_{2},x_{4}+tx_{1})$ (что соответствует LND, заданному формулой $x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}-x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}})$ равно $\mathbb {A} ^{3}\setminus \{(x_{1},x_{2},x_{3}):x_{1}=x_{2}=0,x_{3}\neq 0\}$.

. Теорема Калимана Каждое свободное действие неподвижной точки $\mathbb {G} _{a}$ на $\mathbb {A} ^{3}$ сопряжено с переводом. Другими словами, каждый $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ такое, что образ $\partial$ генерирует единичный идеал (или, что то же самое, $\partial$ определяет никуда не исчезающее векторное поле), допускает срез. Этот результат отвечает одной из гипотез из списка Крафта .

Опять же, этот результат неверен для $n\geqslant 4$: например, рассмотрим $x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+x_{2}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}+(x_{2}^{2}-2x_{1}x_{3}-1){\tfrac {\partial }{\partial x_{4}}}\in \operatorname {LND} (\mathbb {C} [x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}])$. Очки $(x_{1},1,0,0)$ и $(x_{1},-1,0,0)$ находятся на одной орбите соответствующего $\mathbb {G} _{a}$-действие тогда и только тогда, когда $x_{1}\neq 0$; следовательно, (топологический) фактор не является даже Хаусдорфовым, не говоря уже о гомеоморфном $\mathbb {C} ^{3}$.

Основная идеальная теорема — Пусть $\partial \in \operatorname {LND} (A)$. Затем $A$ верно плоская ​ $\ker \partial$. Более того, идеал $\ker \partial \cap \operatorname {im} \partial$ является главным в $A$.

Треугольные выводы

Позволять $f_{1},\dots ,f_{n}$ быть любой системой переменных $A$; то есть, $A=k[f_{1},\dots ,f_{n}]$. Вывод $A$ называется треугольным относительно этой системы переменных, если $\partial f_{1}\in k$ и $\partial f_{i}\in k[f_{1},\dots ,f_{i-1}]$ для $i=2,\dots ,n$. Вывод называется треугольным, если он сопряжен треугольному или, что то же самое, если он треугольен относительно некоторой системы переменных. Каждое треугольное дифференцирование локально нильпотентно. Обратное верно для $\leq 2$ по приведенной выше теореме Рентшлера, но это неверно для $n\geq 3$.

Пример Басса

Вывод $k[x_{1},x_{2},x_{3}]$ данный $x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{2}}}+2x_{2}x_{1}{\tfrac {\partial }{\partial x_{3}}}$ не является триангулируемым. Действительно, множество неподвижных точек соответствующего $\mathbb {G} _{a}$-действие представляет собой квадратичный конус $x_{2}x_{3}=x_{2}^{2}$, а по результату Попова множество фиксированных точек треугольного треугольника $\mathbb {G} _{a}$-действие изоморфно $Z\times \mathbb {A} ^{1}$ для некоторого аффинного разнообразия $Z$; и, следовательно, не может иметь изолированной особенности.

Теорема Фрейденбурга . Вышеупомянутое необходимое геометрическое условие было позже обобщено Фрейденбургом. Чтобы сформулировать его результат, нам понадобится следующее определение:

Пробка ​ ​ $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ это максимальное число $j$ такая, что существует система переменных $f_{1},\dots ,f_{n}$ такой, что $f_{1},\dots ,f_{j}\in \ker \partial$. Определять $\operatorname {rank} \partial$ как $n$ минус пробка $\partial$.

У нас есть $1\leq \operatorname {rank} \partial \leq n$ и $\operatorname {rank} (\partial )=1$ тогда и только тогда, когда в некоторых координатах $\partial =h{\tfrac {\partial }{\partial x_{n}}}$ для некоторых $h\in k[x_{1},\dots ,x_{n-1}]$.

Теорема: Если $\partial \in \operatorname {LND} (A)$ триангулируема, то любая гиперповерхность, содержащаяся в множестве неподвижных точек соответствующего $\mathbb {G} _{a}$-действие изоморфно $Z\times \mathbb {A} ^{\operatorname {rank} \partial }$.

В частности, ЛНД максимального ранга $n$ не может быть триангулируемым. Такие выводы существуют для $n\geq 3$: первый пример — (2,5)-однородный вывод (см. выше), и его легко обобщить на любой $n\geq 3$.

Инвариант Макара-Лиманова

Основная статья: Инвариант Макара-Лиманова

Пересечение ядер всех локально нильпотентных дифференцирований координатного кольца или, что то же самое, кольца инвариантов всех $\mathbb {G} _{a}$-действия, называется «инвариантом Макара-Лиманова» и является важным алгебраическим инвариантом аффинного многообразия. Например, для аффинного пространства это тривиально; но для кубического трехмерного многообразия Кораса–Рассела которое диффеоморфно , $\mathbb {C} ^{3}$, это не.

Дальнейшее чтение

• Новицкий, четырнадцатая проблема Гильберта для полиномиальных дифференцирований