Нормальная схема

В алгебраической геометрии алгебраическое многообразие или схема X является нормальным, если оно нормально в каждой точке, а это означает, что локальное кольцо в этой точке является целозамкнутой областью . Аффинное многообразие X (понимаемое как неприводимое) нормально тогда и только тогда, когда кольцо O ( X ) регулярных функций на X является целозамкнутой областью. Многообразие X над полем является нормальным тогда и только тогда, когда каждый конечный бирациональный морфизм любого многообразия Y в X является изоморфизмом .

Нормальные сорта были выведены Зариским ( 1939 , раздел III).

Геометрическая и алгебраическая интерпретации нормальности

Морфизм многообразий конечен, если прообраз каждой точки конечен и морфизм собственный . Морфизм многообразийбирационально, если оно ограничивается изоморфизмом между плотными открытыми подмножествами. Так, например, кубическая кривая возврата X в аффинной плоскости A ² определяется x ² = и ³ не является нормальным, поскольку существует конечный бирациональный морфизм A ¹ → Х (а именно, t отображается в ( t ³, т ²)) что не является изоморфизмом. Напротив, аффинная линия A ¹ нормально: его нельзя далее упростить конечными бирациональными морфизмами.

Нормальное комплексное многообразие X с использованием классической топологии, обладает тем свойством , если рассматривать его как стратифицированное пространство , что каждое звено связно. Эквивалентно, каждая комплексная точка x имеет сколь угодно малые окрестности U такие, что U минуссингулярное множество X связно. Например, отсюда следует, что узловая кубическая кривая X на рисунке, определяемая y ² = х ²( x + 1), это ненормально. Это также следует из определения нормальности, поскольку существует конечный бирациональный морфизм из A ¹ к X , который не является изоморфизмом; он отправляет две точки A ¹ же точку X. в ту

В более общем смысле схема X является нормальной , если каждое из ее локальных колец

О _Х,х

является целозамкнутой областью . То есть каждое из этих колец является областью целостности R , и каждое кольцо S такое, что R ⊆ S ⊆ Frac( R ), такое, что S конечно порождено как R -модуль, равно R . (Здесь Frac( R ) обозначает поле частных R является .) Это прямой перевод в терминах локальных колец геометрического условия, согласно которому каждый конечный бирациональный морфизм в X изоморфизмом.

Более старое понятие состоит в том, что подмногообразие X проективного пространства является линейно нормальным, если линейная система, дающая вложение, полна. Эквивалентно, X ⊆ P ^н не является линейной проекцией вложения X ⊆ P ^п+1 (если X не содержитсяв гиперплоскости P ^н). Это значение слова «нормальный» во фразах «рациональная нормальная кривая» и «рациональная нормальная прокрутка» .

Любая штатная схема нормальна. И наоборот, Зариский (1939 , теорема 11) показал, что каждое нормальное многообразие регулярно вне подмножества коразмерности не менее 2, и аналогичный результат верен для схем. ^[1] Так, например, каждая нормальная кривая является регулярной.

Нормализация

Любая приведенная схема X имеет единственную нормализацию нормальную схему Y с целочисленным бирациональным морфизмом Y → X. : (Для X, многообразия над полем, морфизм Y → X конечен, что сильнее «целого». ^[2]) Нормализация схемы размерности 1 регулярна, а нормализация схемы размерности 2 имеет лишь изолированные особенности. Нормализация обычно не используется для разрешения особенностей схем более высокой размерности.

Чтобы определить нормализацию, сначала предположим, что — неприводимая приведенная схема X. X Каждое аффинное открытое подмножество X имеет форму Spec R, где R является областью целостности . Запишите X как объединение аффинных открытых подмножеств Spec A _i . Пусть B _i будет интегральным замыканием A i _в его поле дробей. Тогда нормализация X определяется склейкой аффинных схемСпец Б _я .

Если исходная схема не является неприводимой, то нормализация определяется как непересекающееся объединение нормировок неприводимых компонент.

Примеры

Нормализация куспида

Рассмотрим аффинную кривую

$C={\text{Spec}}\left({\frac {k[x,y]}{y^{2}-x^{5}}}\right)$

с особенностью возврата в начале координат. Его нормировку можно задать отображением

${\text{Spec}}(k[t])\to C$

индуцированный из отображения алгебры

$x\mapsto t^{2},y\mapsto t^{5}$

Нормализация осей в аффинной плоскости

Например,

$X={\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

не является неприводимой схемой, поскольку состоит из двух компонентов. Его нормировка задается схемным морфизмом

${\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(x)\times \mathbb {C} [x,y]/(y))\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [x,y]/(xy))$

индуцированный из двух факторкарт

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(x,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(x)$

$\mathbb {C} [x,y]/(xy)\to \mathbb {C} [x,y]/(y,xy)=\mathbb {C} [x,y]/(y)$

Нормализация приводимого проективного многообразия

Аналогично для однородных неприводимых полиномов $f_{1},\ldots ,f_{k}$ в УрФО нормализация

${\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

задается морфизмом

${\text{Proj}}\left(\prod {\frac {k[x_{0}\ldots ,x_{n}]}{(f_{i},g)}}\right)\to {\text{Proj}}\left({\frac {k[x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(f_{1}\cdots f_{k},g)}}\right)$

См. также

Примечания

^ Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Шпрингер, Берлин. Теорема 11.5
^ Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Шпрингер, Берлин. Следствие 13.13.

Ссылки

Эйзенбуд, Дэвид (1995), Коммутативная алгебра. В целях алгебраической геометрии. , Тексты для аспирантов по математике , вып. 150, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-1-4612-5350-1 , ISBN. 978-0-387-94268-1 , МР 1322960
Хартсхорн, Робин (1977), Алгебраическая геометрия , Тексты для аспирантов по математике , том. 52, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN. 978-0-387-90244-9 , МР 0463157 , с. 91
Зариский, Оскар (1939), «Некоторые результаты арифметической теории алгебраических многообразий», Amer. Дж. Математика. , 61 (2): 249–294, номер документа : 10.2307/2371499 , JSTOR 2371499 , MR 1507376.

[1] Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Шпрингер, Берлин. Теорема 11.5

[2] Эйзенбуд, Д. Коммутативная алгебра (1995). Шпрингер, Берлин. Следствие 13.13.

[1]

[2]