Икосианское исчисление

Икосианское исчисление — некоммутативная алгебраическая структура, открытая ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году. Говоря современным языком, он дал групповое представление группы вращения икосаэдра с помощью образующих и отношений.

Открытие Гамильтона произошло в результате его попыток найти алгебру «троек» или троек, которая, по его мнению, отражала бы три декартовых оси . Символы икосианского исчисления можно приравнять к перемещениям между вершинами додекаэдра . Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к появлению терминов гамильтонова схема и гамильтонов путь в теории графов. Он также изобрел икосианскую игру как средство иллюстрации и популяризации своего открытия.

Неофициальное определение

Стереографическая проекция Гамильтона. додекаэдра, используемая в икосианской игре

Алгебра основана на трех символах, каждый из которых является корнем из единицы , причем повторное применение любого из них дает значение 1 после определенного количества шагов. Они есть:

${\begin{aligned}\iota ^{2}&=1,\\\kappa ^{3}&=1,\\\lambda ^{5}&=1.\end{aligned}}$

Гамильтон также приводит еще одно соотношение между символами:

$\lambda =\iota \kappa .$

(В современном понимании это группа треугольников (2,3,5) .)

Операция ассоциативна , но не коммутативна . Они порождают группу порядка 60, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра , а значит, знакопеременной группе пятой степени.

Хотя алгебра существует как чисто абстрактная конструкция, ее легче всего представить в терминах операций над рёбрами и вершинами додекаэдра. Сам Гамильтон использовал сплюснутый додекаэдр в качестве основы для своей обучающей игры.

Представьте себе насекомое, ползущее по определенному ребру додекаэдра, помеченного Гамильтоном, в определенном направлении, скажем, от $B$ к $C$. Мы можем представить это направленное ребро как $BC$.

Геометрическая иллюстрация операции йота в икосианском исчислении

• Икосианский символ $\iota$ эквивалентно изменению направления на любом ребре, поэтому насекомое ползет от $C$ к $B$ (по направленному краю $CB$).
• Икосианский символ $\kappa$ эквивалентно вращению текущего путешествия насекомого против часовой стрелки вокруг конечной точки. В нашем примере это будет означать изменение начального направления $BC$ стать $DC$.
• Икосианский символ $\lambda$ эквивалентно повороту направо в конечной точке, двигаясь от $BC$ к $CD$.

Наследие

Икосианское исчисление является одним из самых ранних примеров многих математических идей, в том числе:

• представление и изучение группы по образующим и отношениям ;
• группа треугольников , позже обобщенная до групп Кокстера ;
• визуализация группы с помощью графа, что привело к созданию комбинаторной теории групп , а затем и геометрической теории групп ;
• Гамильтоновы схемы и гамильтоновы пути в теории графов;
• детский рисунок - см. в «Dessin d'enfant: история» . Подробности

См. также

• икосийский