Икосианская игра
Икосианская игра — математическая игра, изобретенная в 1856 году ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном . Он включает в себя нахождение гамильтонова цикла на додекаэдре , многоугольнике, использующем ребра додекаэдра, которые проходят через все его вершины . Изобретение игры Гамильтоном произошло в результате его исследований симметрии и изобретения икосианского исчисления — математической системы, описывающей симметрию додекаэдра.
Гамильтон продал свою работу компании по производству игр, и она продавалась как в Великобритании, так и в Европе, но добиться коммерческого успеха было слишком легко. Известно, что в музеях сохранилось лишь небольшое количество его экземпляров. Хотя Гамильтон не был первым, кто изучал гамильтоновы циклы, его работа над этой игрой стала источником названия гамильтоновых циклов. Его игра изучалась в нескольких работах по развлекательной математике . Другие головоломки, основанные на гамильтоновых циклах, продаются в виде приложений для смартфонов, а математики продолжают изучать комбинаторные игры, основанные на гамильтоновых циклах.
Игра
[ редактировать ]
Цель игры — найти трехмерный многоугольник , составленный из ребер правильного додекаэдра , проходящий ровно один раз через каждую вершину додекаэдра. Многоугольник, посещающий таким образом все вершины, теперь называется гамильтоновым циклом .) В версии игры для двух игроков один игрок начинает с выбора пяти последовательных вершин вдоль многоугольника, а другой игрок должен завершить многоугольник. [1]
Эдуард Лукас описывает форму любого возможного решения так, чтобы его могли запомнить игроки. Завершенный многоугольник должен разрезать двенадцать граней додекаэдра на две полоски по шесть пятиугольников. Когда эта полоса, в свою очередь, проходит через каждый из четырех средних пятиугольников, она соединяется через два несмежных края каждого пятиугольника, совершая либо неглубокий поворот влево, либо неглубокий поворот вправо через пятиугольник. Таким образом полоса делает два поворота налево, а затем два поворота направо, или наоборот. [2]
Одна из версий игры представляла собой плоскую деревянную доску, на которой был написан плоский граф с той же комбинаторной структурой, что и додекаэдр ( диаграмма Шлегеля ), [3] с отверстиями для пронумерованных колышков, которые нужно разместить в его вершинах. Найденный игроками многоугольник обозначался последовательной нумерацией колышков. [4] [5] Другая версия имела форму «частично сплющенного додекаэдра», примерно полусферического купола с пятиугольниками додекаэдра, разбросанными по его изогнутой поверхности, и ручкой, прикрепленной к его плоскому основанию. Вершины имели фиксированные колышки. Через эти колышки была намотана отдельная веревка с петлей на одном конце, обозначающая многоугольник. [5]
В игру было слишком легко играть, чтобы добиться большой популярности. [6] [7] [8] хотя Гамильтон попытался опровергнуть это впечатление, приведя пример коллеги-учёного, которому не удалось решить эту задачу. [8] Дэвид Дарлинг предполагает, что Гамильтон, возможно, усложнил задачу себе, чем другим, используя для ее решения свои теоретические методы вместо метода проб и ошибок . [6]
Фон
[ редактировать ]
На момент изобретения икосианской игры Уильям Роуэн Гамильтон был профессором астрономии Эндрюса в Тринити-колледже Дублина и королевским астрономом Ирландии и уже был известен своими работами по гамильтоновой механике и изобретением кватернионов . [9] Мотивацией для Гамильтона была проблема понимания симметрии додекаэдра и икосаэдра , двух двойственных многогранников , имеющих одинаковую симметрию друг с другом. С этой целью он также изобрел икосианское исчисление — систему некоммутативной алгебры , которую он использовал для вычисления этих симметрий. [10]
Название икосианской игры происходит от того, что икосаэдр имеет двадцать граней, додекаэдр — двадцать вершин и любой многоугольник, проходящий через все вершины додекаэдра, имеет двадцать рёбер. Икоса — греческий корень, означающий двадцать. [7] [11] В додекаэдре с помеченными вершинами существует 30 различных способов соединения этих вершин друг с другом с образованием гамильтонова цикла. Однако без меток все гамильтоновы циклы симметричны друг другу относительно вращений и отражений додекаэдра. [12]
История
[ редактировать ]И икосианское исчисление, и икосианская игра были изложены Гамильтоном в серии писем своему другу Джону Т. Грейвсу в конце 1856 года. [10] Затем Гамильтон представил игру на Дублинском собрании Британской ассоциации содействия развитию науки в 1857 году . [13] [14] По предложению Грейвса [3] Hamilton продала свои издательские права Jaques and Son , лондонской компании по производству игрушек и игр. [10] [13]
Эта компания продавала игру Гамильтона начиная с 1859 года. [4] как в портативной твердой, так и в плоской форме, [5] под пространными названиями «Додекаэдр путешественников, или кругосветное путешествие » и (соответственно) «Икосианская игра», изобретенная сэром Уильямом Роуэном Гамильтоном, королевским астрономом Ирландии; создание новой и очень забавной игры для гостиной, особенно интересной для студентов-математиков, иллюстрирующих принципы икосианского исчисления . [4]
В Европе было продано несколько версий игры. [12] Однако коммерческого успеха это не имело. [6] [7] [10] Гамильтон получил от компании «Жак и сын» за свое изобретение всего лишь 25 фунтов стерлингов лицензионного сбора (текущая стоимость 3200 фунтов стерлингов). [12] Известно, что сохранилось несколько оригинальных копий игры. [15] но один хранится в библиотеке Королевской ирландской академии в Дублине. [4] а еще один включен в коллекцию Национальной консерватории искусств и ремесел в Париже. [3] оба в плоской форме игры. [3] [4]
Наследие
[ редактировать ]Хотя Гамильтон изобрел икосианскую игру независимо, он не был первым, кто изучал гамильтоновы циклы. Ходы коня по шахматным доскам , еще одна головоломка, основанная на гамильтоновых циклах, восходит к 9 веку, как в Индии, так и в математике в средневековом исламском мире . [16] Примерно в то же время, что и Гамильтон, Томас Киркман в Англии также изучал гамильтоновы циклы на многогранниках. [17] Гамильтон посетил Киркмана в 1861 году и подарил ему копию икосианской игры. [10] Несмотря на связанные с этим работы, некоторые из которых были написаны намного раньше, гамильтоновы циклы стали называть в честь Гамильтона и его работы над икосианской игрой. [1]
Сама икосианская игра была темой множества работ по развлекательной математике известных авторов по этой теме, включая Эдуарда Лукаса , [2] Вильгельм Аренс , [18] и Мартин Гарднер . [12] Головоломки, подобные икосианской игре Гамильтона, основанной на поиске гамильтоновых циклов в плоских графах, продолжают продаваться в виде приложений для смартфонов. [19] Игры Maker-Breaker, основанные на гамильтоновых циклах, были представлены в комбинаторной теории игр в статье 1978 года Вацлава Хватала и Пола Эрдеша . [20] [21] и продолжать изучать математику. [21]
См. также
[ редактировать ]- «Охота на Вампуса» — еще одна игра, играемая на графике додекаэдра.
- Семь мостов Кенигсберга , головоломка о поиске цикла по всем ребрам графа
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Jump up to: а б Бонди, JA ; Мурти, USR (1976), Теория графов с приложениями , Северная Голландия, стр. 53, ISBN 0-444-19451-7
- ^ Jump up to: а б Лукас, Эдуард (1883), «Седьмое воссоздание - игра Гамильтона» , Математические воссоздания (на французском языке), том. 2, Париж: Готье-Виллар, стр. 201–227
- ^ Jump up to: а б с д Бутен, Мишель (апрель 2018 г.), «Игры в коллекциях Парижской национальной консерватории искусств и ремесел, 1 – Икосийская игра (1859 г.) (1-я часть)» (PDF) , Бюллетень археологических, исторических и художественных Society le Vieux papier (на французском языке) (428): 433–441, заархивировано (PDF) из оригинала 26 апреля 2024 г. , получено 25 апреля 2024 г.
- ^ Jump up to: а б с д и Тернер, Джерард Л'Э. (октябрь 1987 г.), «Научные игрушки», обращение президента, Британский журнал истории науки , 20 (4): 377–398, doi : 10.1017/s0007087400024195 , JSTOR 4026415 ; см. стр. 395 и фото, рис. 13, с. 397
- ^ Jump up to: а б с Эпплгейт, Дэвид Л .; Биксби, Роберт Э .; Хватал, Вашек ; Кук, Уильям Дж. (2011), Проблема коммивояжера: вычислительное исследование (PDF) , Принстонская серия по прикладной математике, том. 17, Princeton University Press, стр. 18–20, ISBN. 9781400841103 , заархивировано (PDF) из оригинала 6 мая 2021 г. , получено 25 апреля 2024 г.
- ^ Jump up to: а б с Дарлинг, Дэвид , «Икосианская игра» , Научная энциклопедия , заархивировано из оригинала 25 апреля 2024 г. , получено 24 апреля 2024 г.
- ^ Jump up to: а б с Соуэлл, Кэти О. (2001), «Икосианское исчисление Гамильтона и его икосианская игра» , журнал Humanistic Mathematics Network Journal , 1 (24), статья 14, номер документа : 10.5642/hmnj.200101.24.14 , заархивировано из оригинала 2024-2003 гг. -11 , получено 25 апреля 2024 г.
- ^ Jump up to: а б Грейвс, Роберт Персеваль (1889), «Икосианская игра» , Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона , том. 3, Hodges, Figgis, & Co. и Longman's, Green, & Co., стр. 55–56.
- ^ Мукунда, Н. (июнь 2016 г.), «Сэр Уильям Роуэн Гамильтон: жизнь, достижения, положение в физике», Resonance , 21 (6): 493–510, doi : 10.1007/s12045-016-0356-y
- ^ Jump up to: а б с д и Биггс, Норман (1995), «Икосианское исчисление сегодня», Proceedings of the Royal Irish Academy , 95 : 23–34, JSTOR 20490184 , MR 1649815
- ^ Боркар, Вивек С .; Ежов Владимир; Филар, Ежи А.; Нгуен, Джанг Т. (2012), «1.1: Граф, с которого все началось», Проблема гамильтонового цикла и цепи Маркова , Международная серия по исследованию операций и науке управления, Нью-Йорк: Springer, стр. 3–4, doi : 10.1007 /978-1-4614-3232-6 , ISBN 9781461432326
- ^ Jump up to: а б с д Гарднер, Мартин (май 1957 г.), «Математические игры: о замечательном сходстве между Икосианской игрой и Ханойской башней», Scientific American , vol. 196, нет. 5, АЭСТОР 24940862
- ^ Jump up to: а б Барнетт, Джанет Хейн (2009), «Ранние работы по теории графов: гамильтоновы схемы и икосова игра» , Хопкинс, Брайан (ред.), Ресурсы для преподавания дискретной математики: классные проекты, исторические модули и статьи , Математическая ассоциация Америка, стр. 217–224, doi : 10.5948/upo9780883859742.028 , ISBN. 978-0-88385-974-2 , заархивировано из оригинала 25 апреля 2024 г. , получено 25 апреля 2024 г.
- ^ Гамильтон, WR (1858), «Об икосианском исчислении» , Отчет двадцать седьмого собрания Британской ассоциации содействия развитию науки , Лондон: Джон Мюррей, стр. 3, заархивировано из оригинала 25 апреля 2024 г. , получено 25 апреля 2024 г. - через Hathitrust.
- ^ Далгети, Джеймс (июль 2002 г.), «Икосианская игра» , Музей головоломок , заархивировано из оригинала 21 января 2024 г. , получено 25 апреля 2024 г .; включает цветные фотографии обеих оригинальных версий.
- ^ Уоткинс, Джон Дж. (2004), «Глава 2: Путешествия рыцаря», Через доску: математика задач на шахматной доске , Princeton University Press, стр. 25–38, ISBN 978-0-691-15498-5 .
- ^ Биггс, Н.Л. (1981), «Т. П. Киркман, математик», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (2): 97–120, doi : 10.1112/blms/13.2.97 , MR 0608093 .
- ^ Аренс, Вильгельм (1918), «XVII: Игра в гамильтонов додекаэдр» , Mathematical Entertainment and Games (на немецком языке), том. 2, Лейпциг: Б. Г. Тойбнер, стр. 196–210.
- ^ Фернау, Хеннинг; Хаазе, Каролина; Хоффманн, Стефан (2022), «Игра синхронизации на подклассах автоматов», у Фрэньо, Пьер; Уно, Юши (ред.), 11-я Международная конференция по развлечениям с алгоритмами, FUN 2022, 30 мая — 3 июня 2022 г., остров Фавиньяна, Сицилия, Италия , LIPIcs, vol. 226, Schloss Dagstuhl - Leibniz-Zentrum für Informatik, стр. 14:1–14:17, doi : 10.4230/LIPICS.FUN.2022.14
- ^ Хватал, В. ; Эрдеш, П. (1978), «Смещенные позиционные игры» (PDF) , Анналы дискретной математики , 2 : 221–229, doi : 10.1016/S0167-5060(08)70335-2 , ISBN 978-0-7204-1043-3 , МР 0500701
- ^ Jump up to: а б Хефец, Дэн; Кривелевич, Михаил; Стоякович, Милош; Сабо, Тибор (2014), «Глава 6: Игра Гамильтоновости» , Позиционные игры , Семинары в Обервольфахе, том. 44, Базель: Birkhäuser / Springer, стр. 75–84, doi : 10.1007/978-3-0348-0825-5_6 , ISBN. 978-3-0348-0824-8 , МР 3524719
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Антоник, Гэри (6 октября 2014 г.), «Икосианская игра Гамильтона» , The New York Times , включая интерактивный решатель для поиска гамильтоновых путей на додекаэдре
- Вайсштейн, Эрик В. , «Икосианская игра» , MathWorld , показывает 30 решений на плоской доске.