Гипотеза Квиллена – Лихтенбаума

В математике гипотеза Квиллена -Лихтенбаума — это гипотеза, связывающая этальные когомологии с алгебраической K-теорией, введенная Квилленом (1975 , стр. 175), который был вдохновлен более ранними гипотезами Лихтенбаума (1973) . Кан (1997) и Рогнес и Вайбель (2000) доказали гипотезу Квиллена-Лихтенбаума в простом числе 2 для некоторых числовых полей. Воеводский , используя некоторые важные результаты Маркуса Роста , доказал гипотезу Блоха–Като , из которой следует гипотеза Квиллена–Лихтенбаума для всех простых чисел.

Заявление

Гипотеза в исходной форме Квиллена утверждает, что если A — конечно порожденная алгебра над целыми числами и l — простое число, то существует спектральная последовательность, аналогичная спектральной последовательности Атьи–Хирцебруха , начинающаяся с

$E_{2}^{pq}=H_{\text{etale}}^{p}({\text{Spec }}A[\ell ^{-1}],Z_{\ell }(-q/2)),$ (который понимается как 0, если q нечетно)

и примыкая к

$K_{-p-q}A\otimes Z_{\ell }$

для - п - q > 1 + dim A .

К -теория целых чисел

Предполагая гипотезу Квиллена-Лихтенбаума и гипотезу Вандивера , K -группы целых чисел K _n ( Z ) задаются формулой:

• 0, если n = 0 mod 8 и n > 0, Z , если n = 0
• Z ⊕ Z /2, если n = 1 mod 8 и n > 1, Z /2, если n = 1.
• Z / c _k ⊕ Z /2, если n = 2 mod 8
• Z /8 d _k, если n = 3 mod 8
• 0, если n = 4 по модулю 8
• Z , если n = 5 по модулю 8
• Z / c _k, если n = 6 mod 8
• Z /4 d _k, если n = 7 mod 8

где c _k / d _k — число Бернулли B _{2 k} / k в младших терминах, а n равно 4 k — 1 или 4 k — 2 ( Weibel 2005 ).

Ссылки

• Грейсон, Дэниел Р. (1994), «Весовые фильтрации в алгебраической K-теории», Яннсен, Уве; Клейман, Стивен; Серр, Жан-Пьер (ред.), Мотивы (Сиэтл, Вашингтон, 1991) , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. 55, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 207–237, ISBN.  978-0-8218-1636-3 , МР   1265531
• Кан, Бруно (1997), Гипотеза Квиллена-Лихтенбаума в простом числе 2 (PDF)
• Лихтенбаум, Стивен (1973), «Значения дзета-функций, этальные когомологии и алгебраическая K-теория», в Bass, H. (ред.), Алгебраическая K-теория, II: Классическая алгебраическая K-теория и связи с арифметикой (Proc. Conf., Мемориальный институт Баттел, Сиэтл, Вашингтон, 1972) , Конспекты лекций по математике, том. 342, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 489–501, doi : 10.1007/BFb0073737 , ISBN.  978-3-540-06435-0 , МР   0406981
• Куиллен, Дэниел (1975), «Высшая алгебраическая K-теория», Труды Международного конгресса математиков (Ванкувер, Британская Колумбия, 1974), Vol. 1 , Канада. Математика. Конгресс, Монреаль, Квебек, стр. 171–176, MR   0422392.
• Ронь, Дж.; Вайбель, Чарльз (2000), «Двухпервичная алгебраическая K-теория колец целых чисел в числовых полях» , Журнал Американского математического общества , 13 (1): 1–54, doi : 10.1090/S0894-0347-99- 00317-3 , hdl : 10852/39337 , ISSN   0894-0347 , MR   1697095
• Вейбель, Чарльз (2005), «Алгебраическая K-теория колец целых чисел в локальных и глобальных полях», Фридлендер, Эрик М .; Грейсон, Дэниел Р. (ред.), Справочник по K-теории. Том. 1 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 139–190, номер doi : 10.1007/3-540-27855-9_5 , ISBN.  978-3-540-23019-9 , МР   2181823