Теорема Штарка – Хигнера

В теории чисел теорема Хегнера устанавливает полный список полей квадратичных мнимых чисел, которых кольца целых чисел являются областями главных идеалов. Гаусса, Он решает частный случай проблемы числа классов заключающейся в определении количества мнимых квадратичных полей, имеющих заданное фиксированное число классов .

Пусть Q обозначает множество рациональных чисел и пусть d — целое число без квадратов . Поле Q ( √ d ) является расширением Q . квадратичным Номер класса Q Q ( √d кольцо ) равен единице тогда и только тогда, когда чисел ( √d ) является целых областью главных идеалов . Тогда теорему Бейкера-Хигнера-Старка можно сформулировать следующим образом:

Если d < 0 , то номер класса Q ( √ d ) равен единице тогда и только тогда, когда $d\in \{\,-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163\,\}.$

Они известны как числа Хигнера .

Заменяя d дискриминантом группы D этот Q ( √ d ), список часто записывается как:

$D\in \{-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163\}.$

История

Этот результат был впервые высказан Гауссом в разделе 303 его Disquisitiones Arithmeticae (1798). По сути, это было доказано Куртом Хигнером в 1952 году, но доказательство Хигнера не было принято до тех пор, пока известный математик Гарольд Старк не переписал доказательство в 1967 году, которое имело много общего с работой Хигнера, но достаточно много различий, поэтому Старк считает доказательства разными. Хигнер «умер прежде, чем кто-либо действительно понял, что он сделал». Старк формально перефразирует доказательство Хигнера в 1969 году (в других современных работах были представлены различные подобные доказательства с использованием модульных функций).

Алан Бейкер дал совершенно другое доказательство немного раньше (1966 г.), чем работа Старка (или, точнее, Бейкер свел результат к конечному количеству вычислений, причем работа Старка в его диссертации 1963/4 г. уже предоставила эти вычисления) и получил медаль Филдса . за его методы. Позже Старк отметил, что доказательство Бейкера, включающее линейные формы с 3 логарифмами, можно было свести только к 2 логарифмам, когда результат был уже известен с 1949 года Гельфондом и Линником.

В статье Старка 1969 года ( Stark 1969a ) также цитировался текст Генриха Мартина Вебера 1895 года и отмечалось, что если бы Вебер «только сделал наблюдение, что сводимость [определенного уравнения] приведет к диофантовому уравнению , проблема класса номер один была бы были решены 60 лет назад». Брайан Бёрч отмечает, что книга Вебера и, по сути, вся область модульных функций потеряли интерес на полвека: «К сожалению, в 1952 году не осталось никого, кто был бы достаточно знатоком алгебры Вебера , чтобы оценить достижения Хигнера».

Дойринг, Сигел и Чоула дали несколько варианты доказательств с помощью модульных функций сразу после Старка. С годами появились и другие версии этого жанра. Например, в 1985 году Монсур Кенку дал доказательство, используя квартику Клейна (хотя опять же с использованием модульных функций). И снова, в 1999 году, Имин Чен дал еще один вариант доказательства с помощью модульных функций (следуя схеме Сигела).

Работа Гросса и Загира (1986) ( Gross & Zagier 1986 ) в сочетании с работой Голдфельда (1976) также дает альтернативное доказательство.

Реальный случай

С другой стороны, неизвестно, существует ли бесконечно много d > 0, для которых Q ( √ d ) имеет номер класса 1. Результаты вычислений показывают, что таких полей много. Числовые поля с номером класса один предоставляют список некоторых из них.

Ссылки

• Берч, Брайан (2004), «Точки Хигнера: начало» (PDF) , публикации MSRI , 49 : 1–10
• Чен, Имин (1999), «О модульной кривой Сигела уровня 5 и проблеме класса номер один», Journal of Number Theory , 74 (2): 278–297, doi : 10.1006/jnth.1998.2320
• Чола, С. (1970), «Теорема Хигнера-Старка-Бейкера-Дойринга-Зигеля» , Журнал чистой и прикладной математики , 241 : 47–48, doi : 10.1515/crll.1970.241.47
• Дармон, Анри (2004), «Предисловие к Heegner Points и Rankin L-Series » (PDF) , MSRI Publications , 49 : ix–xiii
• Элкис, Ноам Д. (1999), «Квартика Клейна в теории чисел» (PDF) , в книге Леви, Сильвио (ред.), Восьмеричный путь: красота кривой четвертой степени Клейна , MSRI Publications, vol. 35, Издательство Кембриджского университета, стр. 51–101, MR   1722413.
• Гольдфельд, Дориан (1985), «Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей», Бюллетень Американского математического общества , 13 : 23–37, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352-2 , MR   0788386
• Гросс, Бенедикт Х .; Загер, Дон Б. (1986), «Точки Хигнера и производные L-серии», Inventiones Mathematicae , 84 (2): 225–320, Bibcode : 1986InMat..84..225G , doi : 10.1007/BF01388809 , MR   0833192 , S2CID   125716869 .
• Хегнер, Курт (1952), «Диофантовый анализ и модульные функции», Mathematical Journal (на немецком языке), 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR   0053135 , S2CID   120109035
• Кенку, MQ (1985), «Заметки о целых точках модульной кривой уровня 7», Mathematika , 32 : 45–48, doi : 10.1112/S0025579300010846 , MR   0817106
• Леви, Сильвио, изд. (1999), Восьмеричный путь: красота кривой четвертого порядка Кляйна , MSRI Publications, vol. 35, Издательство Кембриджского университета
• Старк, Х.М. (1969a), «О пробеле в теореме Хигнера» (PDF) , Journal of Number Theory , 1 (1): 16–27, Бибкод : 1969JNT.....1...16S , doi : 10.1016/0022-314X(69)90023-7 , hdl : 2027.42/33039
• Старк, Х.М. (1969b), «Историческая справка о комплексных квадратичных полях с номером класса один», Proceedings of the American Mathematical Society , 21 : 254–255, doi : 10.1090/S0002-9939-1969-0237461-X
• Старк, Х.М. (2011), Происхождение гипотез «Старка» , том. появляющийся в арифметике L-функций