Проблема с номером класса

В математике ( проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей ), как обычно понимают, заключается в предоставлении для каждого n ≥ 1 полного списка мнимых квадратичных полей. $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ (для отрицательных целых чисел d ), имеющих номер класса n . Он назван в честь Карла Фридриха Гаусса . Это также можно сформулировать в терминах дискриминантов . Есть связанные вопросы для действительных квадратичных полей и поведения как $d\to -\infty$ .

Трудность заключается в эффективном вычислении границ: для данного дискриминанта легко вычислить номер класса, и существует несколько неэффективных нижних границ числа классов (это означает, что они включают константу, которая не вычисляется), но эффективные границы ( и явные доказательства полноты списков) сложнее.

Оригинальные гипотезы Гаусса

Проблемы поставлены в «Disquisitiones Arithmeticae» Гаусса 1801 г. (раздел V, статьи 303 и 304). ^[1]

Гаусс обсуждает мнимые квадратичные поля в статье 303, формулируя первые две гипотезы, и обсуждает действительные квадратичные поля в статье 304, формулируя третью гипотезу.

Гипотеза Гаусса (число классов стремится к бесконечности): $h(d)\to \infty {\text{ as }}d\to -\infty .$
Проблема с номером класса Гаусса (списки номеров низкого класса): Для данного низкого номера класса (например, 1, 2 и 3) Гаусс дает списки мнимых квадратичных полей с данным номером класса и считает их полными.
Бесконечно много действительных квадратичных полей класса номер один.: Гаусс предполагает, что существует бесконечно много вещественных квадратичных полей класса номер один.

Исходная проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей существенно отличается и проще, чем современная постановка: он ограничился четными дискриминантами и допустил нефундаментальные дискриминанты.

Статус

Гипотеза Гаусса: решено, Хайльбронн, 1934 г.
Списки номеров низкого класса: класс № 1: решены Бейкером (1966), Старком (1967), Хигнером (1952).; Класс №2: решено, Бейкер (1971), Старк (1971). ^[2]; Класс № 3: решено, Остерле (1985). ^[2]; Номера классов h до 100: решено, Уоткинс, 2004 г. ^[3]
Бесконечно много действительных квадратичных полей класса номер один.: Открыть.

Списки дискриминантов класса № 1

Для полей мнимых квадратичных чисел (фундаментальными) дискриминантами класса номер 1 являются:

d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.

Нефундаментальными дискриминантами класса № 1 являются:

d=-12,-16,-27,-28.

Таким образом, четные дискриминанты класса номер 1, фундаментальные и нефундаментальные (исходный вопрос Гаусса):

d=-4,-8,-12,-16,-28.

Современные разработки

В 1934 году Ганс Хейльбронн доказал гипотезу Гаусса. Эквивалентно, для любого заданного номера класса существует только конечное число полей мнимых квадратичных чисел с этим номером класса.

Также в 1934 году Хейлбронн и Эдвард Линфут показали, что существует не более 10 полей мнимых квадратичных чисел с номером класса 1 (9 известных и не более одного далее).Результат оказался неэффективным (см. эффективные результаты в теории чисел ): он не давал ограничений на размер оставшегося поля.

В более поздних разработках случай n = 1 был впервые обсужден Куртом Хигнером , который использовал модульные формы и модульные уравнения , чтобы показать, что такое поле больше не может существовать. Эта работа изначально не была принята; только с более поздними работами Гарольда Старка и Брайана Берча (например, по теореме Старка-Хигнера и числу Хигнера ) позиция была прояснена и работа Хигнера понята. Практически одновременно Алан Бейкер доказал то, что мы теперь знаем как теорему Бейкера о линейных формах от логарифмов алгебраических чисел , что решило проблему совершенно другим методом. Случай n = 2 вскоре был рассмотрен, по крайней мере в принципе, как применение работы Бейкера. ^[4]

Полный список мнимых квадратичных полей с номером класса 1: $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})$ где d — один из

-1,-2,-3,-7,-11,-19,-43,-67,-163.

Общий случай ждал открытия Дориана Голдфельда в 1976 году, что проблема числа классов может быть связана с L -функциями эллиптических кривых . ^[5] Это эффективно свело вопрос об эффективном определении к вопросу об установлении существования кратного нуля такой L -функции. ^[5] После доказательства теоремы Гросса – Загера в 1986 году полный список мнимых квадратичных полей с заданным номером класса можно было задать с помощью конечных вычислений. Все случаи до n = 100 были рассчитаны Уоткинсом в 2004 году. ^[3] Номер класса $\mathbf {Q} ({\sqrt {-d}})$ для d = 1, 2, 3,... есть

1,1,1,1,2,2,1,1,1,2,1,1,2,4,2,1,4,1,1,2,4,2,3,2,1,6,1,1,6,4,3,1,...

(последовательность A202084 в OEIS ).

Действительные квадратичные поля

Контрастный случай действительных квадратичных полей сильно отличается, и о нем известно гораздо меньше. Это происходит потому, что в аналитическую формулу для числа классов входит не h , номер класса, сам по себе, а h log ε , где ε — фундаментальная единица . Этот дополнительный фактор трудно контролировать. Вполне возможно, что класс номер 1 для вещественных квадратичных полей встречается бесконечно часто.

Эвристика Коэна – Ленстры ^[6] представляют собой набор более точных гипотез о структуре групп классов квадратичных полей. Для реальных полей они предсказывают, что около 75,45% полей, полученных путем присоединения квадратного корня из простого числа, будут иметь номер класса 1, и этот результат согласуется с вычислениями. ^[7]

См. также

Список числовых полей с номером класса один

Примечания

^ Старк, Х.М. (2007). «Проблемы числа классов Гаусса». В Дьюке, Уильям ; Чинкель, Юрий (ред.). Аналитическая теория чисел: дань уважения Гауссу и Дирихле (pdf) . Клэй Труды по математике. Том. 7. AMS и Математический институт Клея . стр. 247–256. ISBN 978-0-8218-4307-9 . Проверено 19 декабря 2023 г.
^ Jump up to: ^а ^б Ирландия, К.; Розен, М. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN. 978-0-387-97329-6
^ Jump up to: ^а ^б Уоткинс, М. (2004), Числа классов мнимых квадратичных полей , Математика вычислений, том. 73, стр. 907–938, номер документа : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5.
^ Бейкер (1990)
^ Jump up to: ^а ^б Гольдфельд (1985)
^ Коэн 1993 , гл. 5.10.
^ те Риле, Герман; Уильямс, Хью (2003). «Новые вычисления, касающиеся эвристики Коэна-Ленстры» (PDF) . Экспериментальная математика . 12 (1): 99–113. дои : 10.1080/10586458.2003.10504715 . S2CID 10221100 .

Ссылки

Гольдфельд, Дориан (июль 1985 г.), «Проблема числа классов Гаусса для мнимых квадратичных полей» (PDF) , Бюллетень Американского математического общества , 13 (1): 23–37, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15352 -2
Хегнер, Курт (1952), «Диофантовый анализ и модульные функции», Mathematical Journal , 56 (3): 227–253, doi : 10.1007/BF01174749 , MR 0053135 , S2CID 120109035
Коэн, Анри (1993), Курс вычислительной алгебраической теории чисел , Берлин: Springer , ISBN 978-3-540-55640-4
Бейкер, Алан (1990), Трансцендентная теория чисел , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9 , МР 0422171

Внешние ссылки

Вайсштейн, Эрик В. «Проблема числа классов Гаусса» . Математический мир .

[1] Старк, Х.М. (2007). «Проблемы числа классов Гаусса». В Дьюке, Уильям ; Чинкель, Юрий (ред.). Аналитическая теория чисел: дань уважения Гауссу и Дирихле (pdf) . Клэй Труды по математике. Том. 7. AMS и Математический институт Клея . стр. 247–256. ISBN 978-0-8218-4307-9 . Проверено 19 декабря 2023 г.

[irelandrosen-2] Jump up to: ^а ^б Ирландия, К.; Розен, М. (1993), Классическое введение в современную теорию чисел , Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 358–361, ISBN. 978-0-387-97329-6

[watkins-3] Jump up to: ^а ^б Уоткинс, М. (2004), Числа классов мнимых квадратичных полей , Математика вычислений, том. 73, стр. 907–938, номер документа : 10.1090/S0025-5718-03-01517-5.

[Baker-4] Бейкер (1990)

[Goldfeld-5] Jump up to: ^а ^б Гольдфельд (1985)

[FOOTNOTECohen1993ch._5.10-6] Коэн 1993 , гл. 5.10.

[7] те Риле, Герман; Уильямс, Хью (2003). «Новые вычисления, касающиеся эвристики Коэна-Ленстры» (PDF) . Экспериментальная математика . 12 (1): 99–113. дои : 10.1080/10586458.2003.10504715 . S2CID 10221100 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]