Теорема Бейкера
В теории трансцендентных чисел , математической дисциплине, Бейкера дает нижнюю оценку абсолютного значения линейных комбинаций логарифмов теорема алгебраических чисел . Почти пятнадцатью годами ранее Александр Гельфонд считал задачу только с целыми коэффициентами имеющей «чрезвычайно большое значение». [1] Результат, доказанный Аланом Бейкером ( 1966 , 1967a , 1967b ), включил в себя многие более ранние результаты в теории трансцендентных чисел. Бейкер использовал это, чтобы доказать трансцендентность многих чисел, вывести эффективные границы решений некоторых диофантовых уравнений и решить проблему числа классов по нахождению всех мнимых квадратичных полей с номером класса 1.
История
[ редактировать ]Для упрощения обозначений пусть — набор логарифмов по основанию e ненулевых алгебраических чисел , то есть где обозначает набор комплексных чисел и обозначает алгебраические числа (алгебраическое замыкание рациональных чисел ). Используя эти обозначения, становится гораздо легче сформулировать некоторые результаты теории трансцендентных чисел. Например, теорема Эрмита-Линдемана становится утверждением, что любой ненулевой элемент является трансцендентальным.
В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо друг от друга доказали теорему Гельфонда–Шнайдера . Этот результат обычно формулируется так: если является алгебраическим и не равен 0 или 1, и если алгебраична и иррациональна, то является трансцендентальным. Показательная функция многозначна для комплексных показателей, причем это относится ко всем ее значениям, которые в большинстве случаев представляют собой бесконечное множество чисел. Однако эквивалентно это говорит о том, что если линейно независимы над рациональными числами, то они линейно независимы и над алгебраическими числами. Итак, если и не равно нулю, то частное является либо рациональным числом, либо трансцендентным. Это не может быть алгебраическое иррациональное число вроде .
Хотя доказательство этого результата «рациональной линейной независимости подразумевает алгебраическую линейную независимость» для двух элементов было достаточно для результата, полученного им и Шнайдером, Гельфонд чувствовал, что крайне важно распространить этот результат на произвольное число элементов Действительно, из Гельфонда (1960 , с. 177):
...можно предположить... что наиболее актуальной проблемой теории трансцендентных чисел является исследование мер трансцендентности конечных множеств логарифмов алгебраических чисел.
Эта проблема была решена четырнадцать лет спустя Аланом Бейкером и с тех пор нашла многочисленные приложения не только в теории трансцендентности, но и в теории алгебраических чисел в изучении диофантовых уравнений , а также . Бейкер получил медаль Филдса в 1970 году как за эту работу, так и за ее применение к диофантовым уравнениям.
Заявление
[ редактировать ]В приведенных выше обозначениях теорема Бейкера представляет собой неоднородное обобщение теоремы Гельфонда – Шнайдера. В частности, там говорится:
Теорема Бейкера — если линейно независимы над рациональными числами, то для любых алгебраических чисел не все ноль, у нас есть где H — максимальная высот из и C — эффективно вычислимое число, зависящее от n , и максимальное d степеней (Если β 0 не равно нулю, то предположение, что линейно независимы, можно отбросить.) В частности, это число не равно нулю, поэтому 1 и линейно независимы над алгебраическими числами.
Подобно тому, как теорема Гельфонда–Шнайдера эквивалентна утверждению о трансцендентности чисел вида a б , то и теорема Бейкера подразумевает трансцендентность чисел вида
где b i все алгебраические, иррациональные, а 1, линейно независимы над рациональными b 1 , ..., bn числами, а a i все алгебраические, а не 0 или 1.
Бейкер (1977) также предложил несколько версий с явными константами. Например, если имеет максимальную высоту и все цифры иметь максимальную высоту тогда линейная форма
либо 0, либо удовлетворяет
где
и поле, создаваемое и над рациональными числами имеет степень не более d . В частном случае, когда β 0 = 0 и все являются целыми рациональными числами, то самый правый член log Ω можно исключить.
Явный результат Бейкера и Вюстгольца для линейной формы Λ с целыми коэффициентами дает нижнюю оценку формы
где
— d степень числового поля, порожденного
метод Бейкера
[ редактировать ]Доказательство Бейкером его теоремы является расширением аргументов, приведенных Гельфондом (1960 , глава III, раздел 4). Основные идеи доказательства иллюстрируются доказательством следующей качественной версии теоремы Бейкера (1966), описанной Серром (1971) :
- Если числа линейно независимы над рациональными числами, для ненулевых алгебраических чисел тогда они линейно независимы над алгебраическими числами.
Точную количественную версию теории Бейкера можно доказать, заменив условия, согласно которым все вещи равны нулю, на условия, что все вещи достаточно малы на протяжении всего доказательства.
Основная идея доказательства Бейкера состоит в построении вспомогательной функции нескольких переменных, которая обращается в ноль в высоком порядке во многих точках вида затем неоднократно покажите, что он обращается в нуль в более низкий порядок еще в большем количестве точек этой формы. Наконец, тот факт, что оно обращается в нуль (до порядка 1) в достаточном количестве точек этого вида, подразумевает использование определителей Вандермонда существует мультипликативное отношение , что между числами a i .
Построение вспомогательной функции
[ редактировать ]Предположим, что существует отношение
для алгебраических чисел α 1 , ..., α n , β 1 , ..., β n −1 . Функция Φ имеет вид
Целые коэффициенты p выбираются так, чтобы не все они были равны нулю, а Φ и ее производные порядка не выше некоторой константы M обращались в нуль при для целых чисел с для некоторой постоянной h . Это возможно, поскольку эти условия представляют собой однородные линейные уравнения с коэффициентами p , которые имеют ненулевое решение, если число неизвестных переменных p больше количества уравнений. Линейная связь между логарифмами α необходима, чтобы сократить количество линейных уравнений, которые должны удовлетворяться. Более того, используя лемму Зигеля , размеры коэффициентов p можно выбрать не слишком большими. Константы L , h и M должны быть тщательно скорректированы, чтобы следующая часть доказательства работала, и на них распространяются некоторые ограничения, которые примерно таковы:
- L должно быть несколько меньше, чем M, чтобы приведенный ниже аргумент о дополнительных нулях работал.
- Небольшая степень h должна быть больше L , чтобы последний шаг доказательства сработал.
- л н должно быть больше, чем примерно M п -1 h , чтобы можно было найти коэффициенты p .
Ограничения можно удовлетворить, приняв h достаточно большим, M — некоторой фиксированной степенью h и L — немного меньшей степенью h . Бейкер предположил, что М примерно равно h. 2 и L должно быть около часа 2−1/2 н .
Линейная зависимость между логарифмами α используется для уменьшения L небольшого ; грубо говоря, без него условие L н должно быть больше, чем примерно M п -1 ч станет L н должно быть больше, чем примерно M н h , что несовместимо с условием, что несколько меньше M. L
Нули вспомогательной функции
[ редактировать ]Следующий шаг — показать, что Φ обращается в нуль до немного меньшего порядка во многих других точках вида для целых чисел l . Эта идея была ключевым нововведением Бейкера: предыдущие работы над этой проблемой включали попытку увеличить количество исчезающих производных, сохраняя при этом количество точек фиксированным, что, похоже, не работает в случае многих переменных. Это делается путем объединения двух идей; Сначала показывают, что производные в этих точках весьма малы, используя тот факт, что многие производные Φ обращаются в нуль во многих близлежащих точках. Затем показывают, что производные Φ в этой точке задаются целыми алгебраическими числами, умноженными на известные константы. Если все сопряженные алгебраические целые числа ограничены известной константой, то оно не может быть слишком маленьким, если только оно не равно нулю, поскольку произведение всех сопряженных ненулевых алгебраических целых чисел по абсолютной величине не менее 1. Объединение этих двух идей означает, что Φ обращается в ноль до немного меньшего порядка во многих других точках. Эта часть аргумента требует, чтобы Φ не увеличивалось слишком быстро; рост Φ зависит от размера L , поэтому требуется ограничение размера L грубо говоря, означает, что L должен быть несколько меньше, чем M. , которое , Точнее, Бейкер показал, что, поскольку Φ обращается в нуль до порядка M в h последовательных целых числах, он также обращается в нуль до порядка M /2 в точке h. 1+1/8 н последовательные целые числа 1, 2, 3, .... Повторение этого аргумента J раз показывает, что Φ обращается в нуль до порядка M /2. Дж в час 1+ Дж /8 н точек, при условии, что h достаточно велико, а L несколько меньше M /2 Дж .
Тогда можно взять J достаточно большим, чтобы:
( J больше примерно 16 n подойдет, если h 2 > L ), так что:
Завершение доказательства
[ редактировать ]По определению можно записать как:
Следовательно, при изменении l мы имеем систему ( L + 1) н однородные линейные уравнения в ( L + 1) н неизвестные, которые по предположению имеют ненулевое решение, что, в свою очередь, означает, что определитель матрицы коэффициентов должен быть равен нулю. Однако эта матрица является матрицей Вандермонда , и формула для определителя такой матрицы обеспечивает равенство между двумя значениями:
так мультипликативно зависимы. Регистрация журналов показывает, что линейно зависят от рациональных чисел.
Расширения и обобщения
[ редактировать ]Бейкер (1966) фактически дал количественную версию теоремы, дав эффективные нижние оценки линейной формы в логарифмах. Это делается с помощью аналогичного аргумента, за исключением того, что утверждения о том, что что-то равно нулю, заменяются утверждениями, дающими небольшую верхнюю границу, и так далее.
Бейкер (1967а) предположение о 2π i показал, как исключить в теореме . Это требует модификации последнего шага доказательства. Показано, что многие производные функции исчезают при z = 0 по рассуждению, аналогичному приведенному выше. Но эти уравнения для первого ( L +1) н производные снова дают однородный набор линейных уравнений для коэффициентов p , поэтому определитель равен нулю и снова является определителем Вандермонда, на этот раз для чисел λ 1 log α 1 + ⋯ + λ n log α n . Таким образом, два из этих выражений должны быть одинаковыми, что показывает, что log α 1 ,...,log α n линейно зависят от рациональных чисел.
Бейкер (1967b) дал неоднородную версию теоремы, показав, что
отличен от нуля для ненулевых алгебраических чисел β 0 , ..., β n , α 1 , ..., α n , и, более того, дает для него эффективную нижнюю оценку. Доказательство аналогично однородному случаю: можно считать, что
и в Φ вставляется дополнительная переменная z 0 следующим образом:
Следствия
[ редактировать ]Как упоминалось выше, теорема включает в себя многочисленные более ранние результаты о трансцендентности, касающиеся показательной функции, такие как теорема Эрмита – Линдеманна и теорема Гельфонда – Шнайдера. Она не столь всеобъемлюща, как все еще недоказанная гипотеза Шануэля , и не подразумевает ни теорему о шести экспонентах , ни, очевидно, все еще открытую гипотезу о четырех экспонентах .
Основная причина, по которой Гельфонд хотел расширить свой результат, заключалась не только в множестве новых трансцендентных чисел. В 1935 году он использовал разработанные им инструменты для доказательства теоремы Гельфонда – Шнайдера и получил нижнюю оценку величины.
где β 1 и β 2 — алгебраические, а λ 1 и λ 2 находятся в . [2] Доказательство Бейкера дало нижние оценки для величин, подобных приведенным выше, но с произвольным количеством членов, и он мог использовать эти границы для разработки эффективных средств решения диофантовых уравнений и для решения проблемы числа классов Гаусса .
Расширения
[ редактировать ]Теорема Бейкера предоставляет нам линейную независимость логарифмов алгебраических чисел над алгебраическими числами. Это слабее, чем доказательство их алгебраической независимости . До сих пор никакого прогресса в решении этой проблемы достигнуто не было. Было высказано предположение [3] что если λ 1 , ..., λ n являются элементами линейно независимые над рациональными числами, то они также алгебраически независимы. Это частный случай гипотезы Шануэля, но пока еще предстоит доказать, что существуют даже два алгебраических числа, логарифмы которых алгебраически независимы. Действительно, теорема Бейкера исключает линейные отношения между логарифмами алгебраических чисел, если для этого нет тривиальных причин; Следующий наиболее простой случай исключения однородных квадратичных отношений — это все еще открытая гипотеза о четырех экспонентах .
Аналогично, расширение результата до алгебраической независимости, но в p-адической обстановке и с использованием p -адической функции логарифма , остается открытой проблемой. Известно, что доказательство алгебраической независимости линейно независимых p -адических логарифмов алгебраических p -адических чисел доказывает гипотезу Леопольдта о p -адических рангах единиц числового поля.
См. также
[ редактировать ]Примечания
[ редактировать ]- ↑ См. последний абзац Гельфонда (1960) .
- ^ см. Гельфонд (1960) и Спринджук (1993) . Подробности
- ^ Вальдшмидт (2000) , гипотеза 1.15.
Ссылки
[ редактировать ]- Бейкер, Алан (1966), «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I», Mathematika , 13 (2): 204–216, doi : 10.1112/S0025579300003971 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Бейкер, Алан (1967a), «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II», Mathematika , 14 : 102–107, doi : 10.1112/S0025579300008068 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Бейкер, Алан (1967b), «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III», Mathematika , 14 (2): 220–228, doi : 10.1112/S0025579300003843 , ISSN 0025-5793 , MR 0220680
- Бейкер, Алан (1990), Трансцендентная теория чисел , Кембриджская математическая библиотека (2-е изд.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39791-9 , МР 0422171
- Бейкер, Алан (1977), «Теория линейных форм в логарифмах», Теория трансцендентности: достижения и приложения (Proc. Conf., Univ. Cambridge, Cambridge, 1976) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 1–27. , ISBN 978-0-12-074350-6 , МР 0498417
- Бейкер, А.; Вюстхольц, Г. (1993), «Логарифмические формы и многообразия групп», Журнал чистой и прикладной математики , 1993 (442): 19–62, doi : 10.1515/crll.1993.442.19 , MR 1234835 , S2CID 118335888 .
- Бейкер, Алан; Вюстхольц, Г. (2007), Логарифмические формы и диофантова геометрия , Новые математические монографии, том. 9, Издательство Кембриджского университета , ISBN 978-0-521-88268-2 , МР 2382891
- Гельфонд, А.О. (1960) [1952], Трансцендентные и алгебраические числа , издания Dover Phoenix, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-49526-2 , МР 0057921
- Серр, Жан-Пьер (1971) [1969], «Произведения Бейкера (Выставка 368)», Семинар Бурбаки. Полет. 1969/70: Лекции 364–381 , Конспекты лекций по математике, том. 180, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 73–86
- Спринджук, Владимир Г. (1993), Классические диофантовы уравнения , Конспект лекций по математике, вып. 1559, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0073786 , ISBN 978-3-540-57359-3 , МР 1288309
- Вальдшмидт, Мишель (2000), Диофантова аппроксимация на линейных алгебраических группах , Основы математических наук, том. 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-662-11569-5 , ISBN. 978-3-540-66785-8 , МР 1756786