Теорема о шести экспонентах

В математике , особенно в трансцендентной теории чисел , теорема о шести экспонентах — это результат, который при правильных условиях для экспонент гарантирует трансцендентность хотя бы одной из набора экспонент.

Заявление

Если x ₁ , x ₂ , ..., x _d — d комплексных чисел , линейно независимых над рациональными числами , а y ₁ , y ₂ , ..., y _l — l комплексных чисел, также линейно независимых над рациональными числами, рациональные числа, и если dl > d + l , то хотя бы одно из следующих dl чисел является трансцендентным :

\exp(x_{i}y_{j}),\quad (1\leq i\leq d,\ 1\leq j\leq l).

Самый интересный случай — когда d = 3 и l = 2, в этом случае экспонент шесть, отсюда и название результата. Эта теорема слабее, чем связанная с ней, но пока недоказанная гипотеза о четырех экспонентах , согласно которой строгое неравенство dl > d + l заменяется на dl ≥ d + l , что позволяет d = l = 2.

Теорему можно сформулировать в терминах логарифмов, введя множество L логарифмов алгебраических чисел :

{\mathcal {L}}=\{\lambda \in \mathbb {C} \,:\,e^{\lambda }\in {\overline {\mathbb {Q} }}\}.

Тогда теорема гласит, что если λ _ij являются элементами L для i = 1, 2 и j = 1, 2, 3, такие, что λ ₁₁ , λ ₁₂ и λ ₁₃ линейно независимы над рациональными числами, а λ ₁₁ и λ ₂₁ также линейно независимы над рациональными числами, то матрица

M={\begin{pmatrix}\lambda _{11}&\lambda _{12}&\lambda _{13}\\\lambda _{21}&\lambda _{22}&\lambda _{23}\end{pmatrix}}

имеет ранг 2 .

История

Особый случай результата, когда x ₁ , x ₂ и x ₃ являются логарифмами натуральных чисел , y ₁ = 1, а y ₂ является действительным , был впервые упомянут в статье Леонидаса Алаоглу и Пола Эрдеша от 1944 года, в которой они попытайтесь доказать, что отношение последовательных колоссально многочисленных чисел всегда простое . Они утверждали, что Карл Людвиг Зигель знал о доказательстве этого особого случая, но оно не зарегистрировано. ^[1] Используя частный случай, им удается доказать, что отношение последовательных колоссально многочисленных чисел всегда является либо простым, либо полупростым .

Теорема была впервые явно сформулирована и доказана в полной форме независимо Сержем Лангом. ^[2] и Канаканахалли Рамачандра ^[3] в 1960-е годы.

Теорема о пяти экспонентах

Более сильный результат — теорема о пяти экспонентах . ^[4] что заключается в следующем. Пусть x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ — две пары комплексных чисел, каждая пара линейно независима над рациональными числами, и пусть γ — ненулевое алгебраическое число. Тогда хотя бы одно из следующих пяти чисел является трансцендентным:

e^{x_{1}y_{1}},e^{x_{1}y_{2}},e^{x_{2}y_{1}},e^{x_{2}y_{2}},e^{\gamma x_{2}/x_{1}}.

Эта теорема подразумевает теорему о шести экспонентах и, в свою очередь, подразумевается еще не доказанной гипотезой о четырех экспонентах, которая гласит, что на самом деле одно из первых четырех чисел в этом списке должно быть трансцендентным.

Теорема о шести экспонентах

Другой родственный результат, который подразумевает как теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, - это точная теорема о шести экспонентах . ^[5] Эта теорема состоит в следующем. Пусть x ₁ , x ₂ и x ₃ — комплексные числа, линейно независимые от рациональных чисел, и пусть y ₁ и y ₂ — пара комплексных чисел, линейно независимые от рациональных чисел, и предположим, что _ij β шесть алгебраических чисел для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2, такие, что следующие шесть чисел являются алгебраическими:

e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{x_{3}y_{1}-\beta _{31}},e^{x_{3}y_{2}-\beta _{32}}.

Тогда x _i y _j = β _ij для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2. Затем следует теорема о шести экспонентах, устанавливая β _ij = 0 для каждого i и j , а теорема о пяти экспонентах следует, полагая x ₃ = γ/ x ₁ и используя теорему Бейкера, чтобы гарантировать, что x _i линейно независимы.

Существует также точная версия теоремы о пяти экспонентах, хотя она еще не доказана и известна как гипотеза о точных пяти экспонентах . ^[6] Эта гипотеза подразумевает как точную теорему о шести экспонентах, так и теорему о пяти экспонентах, и формулируется следующим образом. Пусть x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ — две пары комплексных чисел, причем каждая пара линейно независима от рациональных чисел, и пусть α, β ₁₁ , β ₁₂ , β ₂₁ , β ₂₂ и γ равны шести алгебраические числа с γ ≠ 0 такие, что следующие пять чисел являются алгебраическими:

e^{x_{1}y_{1}-\beta _{11}},e^{x_{1}y_{2}-\beta _{12}},e^{x_{2}y_{1}-\beta _{21}},e^{x_{2}y_{2}-\beta _{22}},e^{(\gamma x_{2}/x_{1})-\alpha }.

Тогда x _i y _j = β _ij для 1 ≤ i , j ≤ 2 и γ x ₂ = α x ₁ .

Следствием этой гипотезы, которое в настоящее время не известно, будет трансцендентность e ^р², установив x ₁ = y ₁ = β ₁₁ = 1, x ₂ = y ₂ = i π, а все остальные значения в утверждении равны нулю.

Сильная теорема о шести экспонентах

Логические последствия между различными проблемами n-экспоненты — Логические последствия между различными проблемами в этом круге. Результаты, отмеченные красным, еще не доказаны, а результаты, отмеченные синим, являются известными. Самый верхний результат относится к результату, обсуждаемому в теореме Бейкера , а гипотезы о четырех экспонентах подробно описаны в статье о гипотезе о четырех экспонентах .

Дальнейшим усилением теорем и гипотез в этой области являются сильные версии. Теорема о сильных шести экспонентах — это результат, доказанный Дэмьеном Роем, из которого следует теорема о точных шести экспонентах. ^[7] Этот результат касается векторного пространства алгебраических чисел, порожденных единицей и всеми логарифмами алгебраических чисел, обозначенных здесь как L ^∗. Итак, Л ^∗ представляет собой совокупность всех комплексных чисел вида

\beta _{0}+\sum _{i=1}^{n}\beta _{i}\log \alpha _{i},

для некоторого n ≥ 0, где все β _i и α _i алгебраические и каждая ветвь логарифма рассматривается . Тогда сильная теорема о шести экспонентах гласит, что если x ₁ , x ₂ и x ₃ являются комплексными числами, линейно независимыми над алгебраическими числами, и если y ₁ и y ₂ являются парой комплексных чисел, которые также линейно независимы над алгебраическими числами, то алгебраических чисел, то хотя бы одно из шести чисел x _i y _j для 1 ≤ i ≤ 3 и 1 ≤ j ≤ 2 не принадлежит L ^∗. Это сильнее, чем стандартная теорема о шести экспонентах, которая гласит, что одно из этих шести чисел не является просто логарифмом алгебраического числа.

Существует также сильная гипотеза пяти экспонент, сформулированная Мишелем Вальдшмидтом . ^[8] Это подразумевало бы как сильную теорему о шести экспонентах, так и гипотезу о точных пяти экспонентах. Эта гипотеза утверждает, что если x ₁ , x ₂ и y ₁ , y ₂ — две пары комплексных чисел, причем каждая пара линейно независима от алгебраических чисел, то по крайней мере одно из следующих пяти чисел не входит в L ^∗:

x_{1}y_{1},\,x_{1}y_{2},\,x_{2}y_{1},\,x_{2}y_{2},\,x_{1}/x_{2}.

Все приведенные выше гипотезы и теоремы являются следствием недоказанного расширения теоремы Бейкера о том, что логарифмы алгебраических чисел, которые линейно независимы над рациональными числами, также автоматически алгебраически независимы. Диаграмма справа показывает логические последствия между всеми этими результатами.

Обобщение на многообразия коммутативных групп

Показательная функция $e С$ униформизирует экспоненциальное отображение мультипликативной группы $G m$ . Следовательно, мы можем более абстрактно переформулировать шестиэкспоненциальную теорему следующим образом:

Пусть

G = Gm комплексно - \times Gm и

возьмем

u : C \to G (C)

как ненулевой гомоморфизм аналитической группы . Определим

L

как набор комплексных чисел

l,

которых

u (l)

является алгебраической точкой

G.

для Если минимальный порождающий набор

L

над

Q

имеет более двух элементов, то образ

u (C)

является алгебраической подгруппой

G (C)

.

(Чтобы получить классическое утверждение, положим $u (z) = (e y 1 z; и y 2 z)$ и обратите внимание, что $Q x 1 + Q x 2 + Q x 3$ является подмножеством $L$ ).

Таким образом, утверждение теоремы о шести экспонентах можно обобщить на произвольное многообразие коммутативной группы $G$ над полем алгебраических чисел. Однако эта обобщенная шестиэкспоненциальная гипотеза кажется выходящей за рамки при нынешнем состоянии теории трансцендентных чисел .

Для особых, но интересных случаев $G = G m \times E$ и $G = E \times E'$ , где $E, E'$ — эллиптические кривые над полем алгебраических чисел, результаты в направлении обобщенной шестиэкспоненциальной гипотезы были доказаны Александром Момотом. ^[9] Эти результаты включают показательную функцию $e С$ и функция Вейерштрасса $\wp$ соотв. две функции Вейерштрасса $\wp ,\wp '$ с алгебраическими инвариантами $g_{2},g_{3},g_{2}',g_{3}'$ , вместо двух показательных функций $e^{y_{1}z},e^{y_{2}z}$ в классической постановке.

Пусть $G = Gm что \times E$ и предположим, $E$ не изогенна кривой над вещественным полем и что $u (C)$ не является алгебраической подгруппой в $G (C)$ . Тогда $L$ порождается над $Q$ либо двумя элементами $x 1, x 2$ , либо тремя элементами $x 1, x 2, x 3,$ которые не все содержатся в вещественной строке $R c$ , где $c$ - ненулевое комплексное число. Аналогичный результат показан для $G = E \times E'$ . ^[10]

Примечания

^ Алаоглу и Эрдеш, (1944), стр.455: «Профессор Сигел сообщил нам результат, согласно которому q ^х, р ^х и с ^х не может быть одновременно рациональным, за исключением случая, когда x является целым числом».
^ Ланг, (1966), глава 2, раздел 1.
^ Рамачандра, (1967/68).
^ Вальдшмидт, (1988), следствие 2.2.
^ Вальдшмидт, (2005), теорема 1.4.
^ Вальдшмидт, (2005), гипотеза 1.5
^ Рой, (1992), раздел 4, следствие 2.
^ Вальдшмидт, (1988).
^ Момот, гл. 7
^ Момот, гл. 7

Ссылки

Алаоглу, Леонидас ; Эрдеш, Пол (1944). «О весьма составных и подобных числах». Пер. амер. Математика. Соц. 56 (3): 448–469. дои : 10.2307/1990319 . JSTOR 1990319 . МР 0011087 .
Ланг, Серж (1966). Введение в трансцендентные числа . Ридинг, Массачусетс: Addison-Wesley Publishing Co. MR 0214547 .
Момот, Александр (2011). «Плотность рациональных точек на многообразиях коммутативных групп и малая степень трансцендентности». arXiv : 1011.3368 [ math.NT ].
Рамачандра, Канаканахалли (1967–1968). «Вклады в теорию трансцендентных чисел. I, II» . Акта Арит. 14 : 65–72, 73–88. дои : 10.4064/aa-14-1-65-72 . МР 0224566 .
Рой, Дэмиен (1992). «Матрицы, коэффициенты которых представляют собой линейные формы от логарифмов» . Дж. Теория чисел . 41 (1): 22–47. дои : 10.1016/0022-314x(92)90081-y . МР 1161143 .
Вальдшмидт, Мишель (1988). «О методах трансцендентности Гельфонда и Шнейдера в нескольких переменных». В Бейкере, Алане (ред.). Новые достижения в теории трансцендентности . Издательство Кембриджского университета . стр. 375–398. МР 0972013 .
Вальдшмидт, Мишель (2005). «Алгебры Хопфа и трансцендентные числа». В Аоки, Такаши; Канемицу, Сигэру; Накахара, Микио; и др. (ред.). Дзета-функции, топология и квантовая физика: доклады симпозиума, состоявшегося в Университете Кинки, Осака, 3–6 марта 2003 г. Развитие математики. Том. 14. Спрингер. стр. 197–219. МР 2179279 .

Внешние ссылки

[1] Алаоглу и Эрдеш, (1944), стр.455: «Профессор Сигел сообщил нам результат, согласно которому q ^х, р ^х и с ^х не может быть одновременно рациональным, за исключением случая, когда x является целым числом».

[2] Ланг, (1966), глава 2, раздел 1.

[3] Рамачандра, (1967/68).

[4] Вальдшмидт, (1988), следствие 2.2.

[5] Вальдшмидт, (2005), теорема 1.4.

[6] Вальдшмидт, (2005), гипотеза 1.5

[7] Рой, (1992), раздел 4, следствие 2.

[8] Вальдшмидт, (1988).

[9] Момот, гл. 7

[10] Момот, гл. 7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]