Гипотеза Леопольдта

В алгебраической теории чисел гипотеза Леопольдта , выдвинутая Х.-В. Леопольдт ( 1962 , 1975 ) утверждает, что p-адический регулятор числового поля не исчезает. p-адический регулятор является аналогом обычного регулятор определяется с использованием p-адических логарифмов вместо обычных логарифмов, введенных Х.-В. Леопольдт ( 1962 ).

Формулировка

Пусть K — числовое поле и для каждого простого числа P из K некоторого фиксированного рационального простого числа p пусть UP _P обозначает локальные единицы в и пусть U _{1, P} обозначают подгруппу главных единиц в UP _выше . Набор

$U_{1}=\prod _{P|p}U_{1,P}.$

Тогда пусть E ₁ обозначает набор глобальных единиц ε , которые отображаются в U ₁ посредством диагонального вложения глобальных единиц в E .

С $E_{1}$ — конечного индекса подгруппа глобальных единиц , это абелева группа ранга $r_{1}+r_{2}-1$, где $r_{1}$ это количество действительных вложений $K$ и $r_{2}$ количество пар комплексных вложений. Гипотеза Леопольдта утверждает, что $\mathbb {Z} _{p}$-модуль ранга замыкания $E_{1}$ вставлен по диагонали в $U_{1}$ также $r_{1}+r_{2}-1.$

Гипотеза Леопольдта известна в частном случае, когда $K$ является расширением абелевым $\mathbb {Q}$ или абелева расширение мнимого поля квадратичных чисел : Ax (1965) свел абелев случай к p-адической версии теоремы Бейкера , которая вскоре была доказана Брумером (1967) . Михайлеску ( 2009 , 2011 ) объявил о доказательстве гипотезы Леопольдта для всех CM-расширений $\mathbb {Q}$.

Колмез ( 1988 ) выразил остаток p -адической дзета-функции Дедекинда при полностью вещественного поля s = 1 через p -адический регулятор. Как следствие, гипотеза Леопольдта для этих полей эквивалентна их p -адическим дзета-функциям Дедекинда, имеющим простой полюс в точке s = 1.

Ссылки

• Акс, Джеймс (1965), «О единицах поля алгебраических чисел» , Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN   0019-2082 , MR   0181630 , Zbl   0132.28303
• Брюмер, Арманд (1967), «О единицах полей алгебраических чисел», Mathematika , 14 (2): 121–124, doi : 10.1112/S0025579300003703 , ISSN   0025-5793 , MR   0220694 , Zbl   0171.01105
• Кольмез, Пьер (1988), «Résidu en s=1 des function zêta p-adiques», Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode : 1988InMat..91..371C , doi : 10.1007/BISF0138 , 938   0020-9910 , МР   0922806 , С2КИД   118434651 , Збл   0651,12010
• Колстер, М. (2001) [1994], «Гипотеза Леопольдта» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1962), «Об арифметике в абелевых числовых полях» , Журнал чистой и прикладной математики , 1962 (209): 54–71, doi : 10.1515/crll.1962.209.54 , ISSN   0075-4102 , MR   0139602 , S2CID   117123955 , Збл   0204.07101
• Леопольдт, HW (1975), «Р-адическая теория дзета-значений II», Журнал чистой и прикладной математики , 1975 (274/275): 224–239, doi : 10.1515/crll.1975.274-275.224 , S2CID   118013793 , например   0309.12009 .
• Михайлеску, Преда (2009), T- T и * -компоненты Λ-модулей и гипотеза Леопольдта , arXiv : 0905.1274 , Bibcode : 2009arXiv0905.1274M
• Михайлеску, Преда (2011), Гипотеза Леопольдта для полей CM , arXiv : 1105.4544 , Bibcode : 2011arXiv1105.4544M
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2008), Когомологии числовых полей , Основы математических наук , том. 323 (второе изд.), Берлин: Springer-Verlag, ISBN.  978-3-540-37888-4 , МР   2392026 , Збл   1136.11001
• Вашингтон, Лоуренс К. (1997), Введение в циклотомные поля (второе изд.), Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-94762-0 , Збл   0966.11047 .