Теорема об аналитической подгруппе

В математике теорема об аналитической подгруппе является важным результатом современной теории трансцендентных чисел . Ее можно рассматривать как обобщение теоремы Бейкера о линейных формах в логарифмах. Гисберт Вюстхольц доказал это в 1980-х годах. ^[1]^[2] Это ознаменовало прорыв в теории трансцендентных чисел. Многие давние открытые проблемы можно рассматривать как прямые последствия.

Заявление

Если $G$ — коммутативная алгебраическая группа, определенная над полем алгебраических чисел и $A$ является подгруппой Ли группы $G$ с алгеброй Ли, определенной над числовым полем, тогда $A$ не содержит ни одной ненулевой алгебраической точки $G$ пока не $A$ содержит собственную алгебраическую подгруппу .

Одним из центральных новых ингредиентов доказательства была теория оценок кратности многообразий групп, разработанная Дэвидом Массером и Гисбертом Вюстгольцем в частных случаях и установленная Вюстгольцем в общем случае, что было необходимо для доказательства теоремы об аналитических подгруппах.

Последствия

Одним из ярких следствий теоремы об аналитической подгруппе стала теорема об изогении, опубликованная Массером и Вюстгольцем. Прямым следствием этого является гипотеза Тейта об абелевых многообразиях , Гердом Фалтингсом доказанная совершенно другими методами и имеющая множество приложений в современной арифметической геометрии.

Используя оценки кратности многообразий групп, Вюстхольцу удалось получить окончательную ожидаемую форму нижней оценки для линейных форм в логарифмах. Это было воплощено в эффективной форме в его совместной работе с Аланом Бейкером, которая отмечает современное состояние искусства. Помимо оценок множественности, еще одним новым ингредиентом было очень сложное использование геометрии чисел для получения очень точных нижних границ.

См. также

Алгебраическая кривая

Цитаты

^ Вюстхольц, Гисберт (1989). «Алгебраические точки на аналитических подгруппах алгебраических групп». Анналы математики . Вторая серия (на немецком языке). 129 (3): 501–517. дои : 10.2307/1971515 . JSTOR 1971515 . МР 0997311 .
^ Вюстхольц, Гисберт (1989). «Оценки кратности многообразий групп». Анналы математики . Вторая серия. 129 (3): 471–500. дои : 10.2307/1971514 . JSTOR 1971514 . МР 0997310 .

Ссылки

Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (1993), «Логарифмические формы и многообразия групп», Дж. Рейн Ангью. Математика. , 1993 (442): 19–62, doi : 10.1515/crll.1993.442.19 , MR 1234835 , S2CID 118335888
Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том. 9. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88268-2 . МР 2382891 .
Массер, Дэвид; Вюстхольц, Гисберт (1993), «Оценки изогении абелевых многообразий и теоремы конечности», Annals of Mathematics , Second Series, 137 (3): 459–472, doi : 10.2307/2946529 , JSTOR 2946529 , MR 1217345

[1] Вюстхольц, Гисберт (1989). «Алгебраические точки на аналитических подгруппах алгебраических групп». Анналы математики . Вторая серия (на немецком языке). 129 (3): 501–517. дои : 10.2307/1971515 . JSTOR 1971515 . МР 0997311 .

[2] Вюстхольц, Гисберт (1989). «Оценки кратности многообразий групп». Анналы математики . Вторая серия. 129 (3): 471–500. дои : 10.2307/1971514 . JSTOR 1971514 . МР 0997310 .

[1]

[2]