Лемма Сигела

В математике , особенно в теории трансцендентных чисел и диофантовом приближении , лемма Зигеля относится к оценкам решений линейных уравнений, полученных путем построения вспомогательных функций . Существование этих полиномов было доказано Акселем Туэ ; В доказательстве Туэ использовался принцип ящика Дирихле . Карл Людвиг Зигель опубликовал свою лемму в 1929 году. Это чистая теорема существования системы линейных уравнений .

В последние годы лемма Зигеля была уточнена, чтобы дать более точные границы оценок, данных леммой.

Заявление

Предположим, нам дана система M линейных уравнений с N неизвестными такая, что N > M , скажем

$a_{11}X_{1}+\cdots +a_{1N}X_{N}=0$

$\cdots$

$a_{M1}X_{1}+\cdots +a_{MN}X_{N}=0$

где коэффициенты являются целыми рациональными числами, а не всеми 0, и ограничены B . Тогда система имеет решение

$(X_{1},X_{2},\dots ,X_{N})$

где X — все целые рациональные числа, а не все 0, и ограничено

$(NB)^{M/(N-M)}.$

Бомбьери и Ваалер (1983) дали следующую более точную оценку для X :

$\max |X_{j}|\,\leq \left(D^{-1}{\sqrt {\det(AA^{T})}}\right)^{\!1/(N-M)}$

где D — наибольший общий миноров M × M A матрицы а A , делитель ^Т это его транспонирование . Их доказательство включало замену принципа «ячейки» методами геометрии чисел .

См. также

• Диофантово приближение

Ссылки

• Бомбьери, Э.; Ваалер, Дж. (1983). «На тему Сигела». Математические открытия . 73 (1): 11–32. Бибкод : 1983InMat..73...11B . дои : 10.1007/BF01393823 . S2CID   121274024 .
• Хиндри, Марк ; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия . Тексты для аспирантов по математике. Том. 201. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-98981-5 . МР   1745599 .
• Вольфганг М. Шмидт . Диофантово приближение . Конспект лекций по математике 785. Спрингер. (1980 г. [1996 г. с небольшими исправлениями]) (стр. 125–128 и 283–285)
• Вольфганг М. Шмидт. «Глава I: Лемма Сигела и высоты» (страницы 1–33). Диофантовы приближения и диофантовые уравнения , Конспекты лекций по математике, Springer Verlag 2000.