Ранг эллиптической кривой

В математике ранг эллиптической кривой - это рациональный ранг Морделла – Вейля эллиптической кривой. $E$ определенное над полем рациональных чисел или, в более общем плане, над полем K. числовым Теорема Морделла (обобщенная на произвольные числовые поля Андре Вейлем ) гласит, что группа рациональных точек на эллиптической кривой имеет конечный базис . Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которого могут быть созданы все дальнейшие рациональные точки. Если число рациональных точек на кривой бесконечно , то некоторая точка конечного базиса должна иметь бесконечный порядок . Число независимых базисных точек бесконечного порядка является рангом кривой.

В математических терминах множество K -рациональных точек обозначается E(K) , а теорему Морделла можно сформулировать как существование изоморфизма абелевых групп.

$E(K)\cong \mathbb {Z} ^{r}\oplus E(K)_{\text{tors}},$

где $E(K)_{\text{tors}}$ — торсионная группа E , о которой известно сравнительно много, и $r\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ — целое неотрицательное число, называемое рангом $E$ (над К ) .

Ранг связан с несколькими нерешенными проблемами теории чисел , в первую очередь с гипотезой Берча-Суиннертона-Дайера . В настоящее время среди экспертов нет единого мнения о том, следует ли ожидать, что ряды эллиптических кривых превысят $\mathbb {Q}$ быть ограниченным или нет. Показано, что существуют кривые ранга не ниже 28, но широко распространено мнение, что такие кривые встречаются редко. Действительно, Гольдфельд а позже Кац - История предположил, что в подходящем асимптотическом смысле (см. ниже ) ранг эллиптических кривых должен быть в среднем 1/2. Еще более сильная половина всех эллиптических кривых должна иметь ранг 0 (это означает, что бесконечная часть ее группы Морделла – Вейля тривиальна), а другая половина должна иметь ранг 1; все оставшиеся ранги состоят из 0% всех эллиптических кривых над $\mathbb {Q}$.

высоты

Чтобы получить разумное понятие «среднего», нужно уметь считать эллиптические кривые. $E/\mathbb {Q}$ как-то. Для этого необходимо ввести функцию высоты на множестве рациональных эллиптических кривых. Чтобы определить такую ​​функцию, напомним, что рациональная эллиптическая кривая $E/\mathbb {Q}$ можно задать в форме Вейерштрасса , т. е. можно записать

$E:y^{2}=x^{3}+Ax+B$

для некоторых целых чисел $A,B$. Более того, эта модель единственна, если для любого простого числа $p$ такой, что $p^{4}$ делит $A$, у нас есть $p^{6}\nmid B$. Тогда мы можем предположить, что $A,B$ являются целыми числами, которые удовлетворяют этому свойству и определяют функцию высоты на множестве эллиптических кривых. $E/\mathbb {Q}$ к

$H(E)=H(E(A,B))=\max\{4|A|^{3},27B^{2}\}.$

Тогда можно показать, что число эллиптических кривых $E/\mathbb {Q}$ с ограниченной высотой $H(E)$ конечно.

Средний ранг

Обозначим через $r(E)$ ранг Морделла – Вейля эллиптической кривой $E/\mathbb {Q}$. С функцией высоты $H(E)$ Таким образом, можно определить «средний ранг» как предел, при условии, что он существует:

$\lim _{X\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{H(E(A,B))\leq X}r(E)}{\sum _{H(E(A,B))\leq X}1}}.$

Неизвестно, существует ли этот предел. Однако, заменив предел пределом вышестоящим , можно получить вполне определенную величину. Таким образом, получение оценок этой величины — это получение верхних оценок размера среднего ранга эллиптических кривых (при условии, что среднее существует).

Верхние границы среднего ранга

За последние два десятилетия был достигнут некоторый прогресс в решении задачи нахождения верхних границ среднего ранга. А. Брумер показал, что при условии использования гипотезы Берча-Суиннертона-Дайера и обобщенной гипотезы Римана можно получить верхнюю оценку $2.3$ для среднего ранга. Хит-Браун показал что можно получить верхнюю оценку $2$, все еще предполагая те же две гипотезы. Наконец, Янг показал что можно получить оценку $25/14$; все еще предполагая обе гипотезы.

Бхаргава и Шанкар показали, что средний ранг эллиптических кривых ограничен сверху величиной $1.5$ и ${\frac {7}{6}}$ без предположения ни гипотезы Берча-Свиннертона-Дайера, ни обобщенной гипотезы Римана. Это достигается путем вычисления среднего размера $2$-Зельмер и $3$- Группы Сельмера эллиптических кривых. $E/\mathbb {Q}$ соответственно.

Подход Бхаргавы и Шанкара

Безоговорочное доказательство Бхаргавы и Шанкара ограниченности среднего ранга эллиптических кривых получено с помощью некоторой точной последовательности, включающей группу Морделла-Вейля эллиптической кривой. $E/\mathbb {Q}$. Обозначим через $E(\mathbb {Q} )$ группа Морделла-Вейля рациональных точек на эллиптической кривой $E$, $\operatorname {Sel} _{p}(E)$ тот $p$-Зельмерская группа $E$, и пусть Ш ${}_{E}[p]$ обозначают $p$-входит в Тате-Шафаревича группу $E$. Тогда мы имеем следующую точную последовательность

$0\rightarrow E(\mathbb {Q} )/pE(\mathbb {Q} )\rightarrow \operatorname {Sel} _{p}(E)\rightarrow$ Ш ${}_{E}[p]\rightarrow 0.$

Это показывает, ранг что $\operatorname {Sel} _{p}(E)$, также называемый $p$-Зельмер ранга $E$, определяемый как неотрицательное целое число $s$ такой, что $\#\operatorname {Sel} _{p}(E)=p^{s}$, является верхней границей ранга Морделла-Вейля $r$ из $E(\mathbb {Q} )$. Следовательно, если можно вычислить или получить верхнюю границу $p$-Зельмер ранга $E$, то можно было бы также ограничить и ранг Морделла-Вейля в среднем.

В двоичных формах квартики, имеющих ограниченные инварианты и ограниченность среднего ранга эллиптических кривых , Бхаргава и Шанкар в среднем вычислили 2-сельмеровский ранг эллиптических кривых. Они сделали это, подсчитав бинарные формы квартики , используя метод, использованный Берчем и Суиннертоном-Дайером в их первоначальном вычислении аналитического ранга эллиптических кривых, что привело к их знаменитой гипотезе.

Гипотезы об ограниченности рангов

В общем, остается открытым вопрос, ограничен ли ранг всех эллиптических кривых над фиксированным полем K числом ${\tilde {B}}_{K}$ или нет. Эта проблема имеет давнюю историю мнений экспертов в этой области. Парк и др. дать отчёт. Популярную статью можно найти в журнале Quanta. По техническим причинам вместо ${\tilde {B}}_{K}$ человек считает $B_{K}$ (потенциально бесконечная) граница ${\text{rk}}(E(K))$ эллиптических кривых E, определенных над K , которое встречается для бесконечного числа различных таких E . У нас есть $B_{K}\leq {\tilde {B}}_{K}$ и $(B_{K}<\infty )\Leftrightarrow ({\tilde {B}}_{K}<\infty )$.

Эллиптические кривые над числовыми полями K

По данным Парка и др. Нерон в 1950 году утверждал существование абсолютной границы. $B_{\mathbb {Q} }$ для звания $r_{E}$ вероятно. Хонда в 1960 году выдвинул гипотезу об общем абелевом многообразии A, определенном по $K=\mathbb {Q}$, к которому, в частности, относятся эллиптические кривые, существование постоянной $c_{A}$ такой, что ${\text{rk}}(A(K))\leq c_{A}[K:\mathbb {Q} ]$ - такая граница не переводится напрямую на некоторые ${\tilde {B}}_{K}$ или $B_{K}$, но дает благосклонное отношение к таким границам.

В 1966 году Кассельс , 1974 год Тейт и 1982 год Местре выразили неверие в такую ​​возможность. $B_{K}$ в различной общности К. относительно Таков был консенсус ведущих экспертов вплоть до 2010-х годов. Однако Местре в 1982 году безоговорочно доказал, что для эллиптических кривых E над $\mathbb {Q}$ есть граница ${\text{rk}}(E(\mathbb {Q} ))\leq O(\log(N(E)))$ в терминах проводника эллиптической кривой $N(E)$ которое само по себе неограничено при изменении E .

В 2016 году Парк и др. представил новую случайную модель, основанную на аналогиях с эвристикой Коэна-Ленстра для групп классов числовых полей и эвристикой Китинга - Снейта , основанной на теории случайных матриц для L-функций . Их модель была основана на известных результатах о распределении эллиптических кривых в низких рангах и их группах Тате-Шафаревича. Он предсказывает предположительное ограничение $B_{\mathbb {Q} }\in \{20,21\}$. Модель делает дальнейшие предсказания в отношении верхних границ, которые согласуются со всеми известными на данный момент нижними оценками на основе примеров семейств эллиптических кривых в особых случаях (например, ограничения на тип периодических групп).

Для общего числового поля K та же модель предсказывает ту же границу, которая, однако, не может выполняться. Парк и др. показать существование числовых полей $K_{n}$ возрастающей степени $[K_{n}:\mathbb {Q} ]=2^{n}$ для каждого $n\in \mathbb {Z} _{\geq 0}$ такие, что существует бесконечно много эллиптических кривых E, определенных над $K_{n}$ (фактически эти эллиптические кривые имеют положительную плотность ) с ${\text{rk}}(E(K_{n}))\geq 2^{n}=[K_{n}:\mathbb {Q} ]$, поэтому единая оценка для всех числовых полей невозможна. Они объясняют несостоятельность своей модели в этом случае существованием эллиптических кривых E над общими числовыми полями K, которые возникают в результате замены базы собственного подполя. $K_{0}\subsetneq K$, что их модель не учитывает. Вместо семьи ${\mathcal {E}}_{K}$ из всех эллиптических кривых, определенных над K, предлагают рассматривать только семейство ${\mathcal {E}}_{K}^{\circ }\subset {\mathcal {E}}_{K}$ всех таких эллиптических кривых, которые не возникают в результате замены базы собственного подполя. Затем модель предсказывает, что аналоговая граница $B_{K}^{\circ }\in \{20,21\}$ должно сохраняться, однако Park et al. покажите также существование числового поля K такого, что $B_{K}^{\circ }\geq 68.$ Хотя по состоянию на 2024 год нельзя исключать, что $B_{K}^{\circ }$ и даже $B_{K}$ конечны для любого числового поля K (Парк и др. даже заявляют, что это правдоподобно ), неясно, какая модифицированная эвристика предсказывает правильные значения, не говоря уже о том, какой подход докажет такие границы.

По состоянию на 2024 год среди экспертов нет единого мнения, следует ли ожидать, что ранг эллиптической кривой будет ограничен равномерно только с точки зрения ее поля базовых чисел или нет.

Эллиптические кривые над другими полями

Парк и др. утверждают, что их модель (соответственно модифицированная) должна применяться не только к числовым полям, но и к общим глобальным полям , в частности, когда K является функциональным полем над конечным полем. Они также отмечают известно , что функциональные поля K существуют с $B_{K}=\infty$, но это $B_{K}^{\circ }<\infty$ ибо все такие К не могут быть исключены.

Чтобы вопрос об ограниченности рангов эллиптических кривых над некоторым полем K имел смысл, необходима теорема типа Морделла-Вейля над этим полем, гарантирующая конечную порожденность группы K -рациональных точек. Это справедливо в гораздо более общем смысле, чем только для глобальных полей: согласно результату Нерона, это верно для всех K конечного типа над их простым полем.

Это не работает для локальных полей, таких как $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} ,\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}$, поскольку группа рациональных точек больше не является конечно порожденной. В этом случае ранг всегда будет бесконечным. Для локальных полей K -рациональные точки имеют и другие полезные структуры: $K\in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}$ можно говорить о измерениях как о многообразиях или алгебраических многообразиях, поскольку $K\in \{\mathbb {Q} _{p},\mathbb {F} _{q}((x))\}$ существует бесконечная фильтрация, в которой последовательные факторы представляют собой конечные группы с хорошо классифицированной структурой. Но для генерала К нет универсального аналога вместо звания, что является интересным объектом изучения.

Крупнейшие известные ранги

Распространенная гипотеза состоит в том, что не существует ограничений на максимально возможный ранг эллиптической кривой. В 2006 году Ноам Элкис обнаружил эллиптическую кривую рангом не ниже 28. Было показано что при GRH он имеет ровно 28 ранг:

и ² + ху + у = х ³ − х ² − 20 067 762 415 575 526 585 033 208 209 338 542 750 930 230 312 178 956 502 x + 34 481 611 795 030 556 467 032 985 690 390 20 855 944 359 319 180 266 361 008 296 291 939 448 732 243 374 7 429

В 2020 году Элкис и Зев Клагсбрун обнаружили кривую с рангом ровно 20:

и ² + ху + у = х ³ − х ² -

244 537 673 336 319 601 463 803 487 168 961 769 270 757 573 821 859 853 707 х + 961 710 182 053 183 034 546 222 979 258 806 817 743 270 682 028 964 434 238 957 830 989 898 438 151 121 499 931

Многие другие примеры (семейств) эллиптических кривых над $\mathbb {Q}$ известны. В частности, Элкис дал бесконечное семейство эллиптических кривых над $\mathbb {Q}$ каждый ранга не ниже 19.