Теорема Стикельбергера

В математике теории алгебраических теорема Штикельбергера является результатом чисел , которая дает некоторую информацию о модулей Галуа структуре групп классов полей круговых . Частный случай был впервые доказан Эрнстом Куммером ( 1847 ), а общий результат принадлежит Людвигу Штикельбергеру ( 1890 ). ^{[ 1 ]}

Элемент Штикельбергера и идеал Штикельбергера.

Обозначим через $m,$ расширение $рациональных$ т.е. K m круговое поле чисел, полученных присоединением корней m - й $степени$ из единицы к $\mathbb {Q}$ (где $m \geq 2$ — целое число). Это Галуа расширение $\mathbb {Q}$ с группой Галуа $G m,$ изоморфной мультипликативной группе целых чисел по модулю $m$ $\mathbb {Z}$ . Элемент Штикельбергера ( уровня $m$ или Km $. группового$ ) — это элемент кольца $\mathbb {Q}$ и Штикельбергера ( уровня $m$ или K $идеал m$ ) является идеалом в групповом кольце $\mathbb {Z}$ . Они определяются следующим образом. через $ζm й$ Обозначим примитивный $корень m-$ степени из единицы . Изоморфизм из $\mathbb {Z}$ в $G m$ задается путем отправки $a$ в $σ a,$ определенного соотношением

\sigma _{a}(\zeta _{m})=\zeta _{m}^{a}

.

Элемент Штикельбергера уровня $m$ определяется как

\theta (K_{m})={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{m}].

Идеал Стикельбергера уровня $m$ , обозначаемый $I (K m)$ , представляет собой набор целых кратных $θ (K m)$ , которые имеют целые коэффициенты, т.е.

I(K_{m})=\theta (K_{m})\mathbb {Z} [G_{m}]\cap \mathbb {Z} [G_{m}].

В более общем смысле, если $F$ — любое абелево числовое поле, группа Галуа над которым $\mathbb {Q}$ обозначается $GF и$ , то элемент Штикельбергера $F$ Штикельбергера идеал $F.$ можно определить По теореме Кронекера-Вебера существует целое число $такое$ , что $F$ содержится в $Km m$ . Зафиксируйте наименьшее такое $m$ (это (конечная часть проводника F $)$ над $\mathbb {Q}$ ). Существует естественный группы $Gm, \to GF σ$ заданный ограничением, т. е. если $\in Gm, гомоморфизм$ его образ в $GF,$ является его ограничением на $F$ обозначаемым $res m σ$ . Тогда элемент Штикельбергера $F$ определяется как

\theta (F)={\frac {1}{m}}{\underset {(a,m)=1}{\sum _{a=1}^{m}}}a\cdot \mathrm {res} _{m}\sigma _{a}^{-1}\in \mathbb {Q} [G_{F}].

Идеал Штикельбергера $F$ , обозначаемый $I (F)$ , как и в случае $Km, определяется так же$ , т.е.

I(F)=\theta (F)\mathbb {Z} [G_{F}]\cap \mathbb {Z} [G_{F}].

В частном случае, когда $F = K m$ , идеал Штикельбергера $I (K m)$ порождается формулой $(a - σ a) θ (K m),$ когда $a$ изменяется в пределах $\mathbb {Z}$ . не относится к генералу Ф. Это ^{[ 2 ]}

Примеры

Если $F$ — вполне вещественное поле проводника $m$ , то ^{[ 3 ]}

\theta (F)={\frac {\varphi (m)}{2[F:\mathbb {Q} ]}}\sum _{\sigma \in G_{F}}\sigma ,

где $φ$ — функция Эйлера и $\mathbb {Q}$ — степень F $$ по $\mathbb {Q}$ .

Формулировка теоремы

Теорема Стикельбергера ^{[ 4 ]}
Пусть $F$ — абелевое числовое поле. Тогда идеал Штикельбергера $F$ уничтожает группу классов $F$ .

Обратите внимание, что $θ (F)$ не обязательно должен быть аннулятором, а должно быть любым кратным ему в $\mathbb {Z}$ есть.

Явно теорема утверждает, что если $\mathbb {Z}$ таков,

\alpha \theta (F)=\sum _{\sigma \in G_{F}}a_{\sigma }\sigma \in \mathbb {Z} [G_{F}]

и если $J$ — любой идеал F $дробный$ , то

\prod _{\sigma \in G_{F}}\sigma \left(J^{a_{\sigma }}\right)

является главным идеалом .

См. также

Примечания

^ Вашингтон, 1997 , Примечания к главе 6.
^ Вашингтон, 1997 , Лемма 6.9 и последующие комментарии.
^ Вашингтон 1997 , §6.2.
^ Вашингтон, 1997 , Теорема 6.10.

Ссылки

Коэн, Анри (2007). Теория чисел – Том I: Инструменты и диофантовые уравнения . Тексты для аспирантов по математике . Том. 239. Шпрингер-Верлаг . стр. 150–170. ISBN 978-0-387-49922-2 . Збл 1119.11001 .
Боас Эрез, Представления групп в алгебраической теории чисел: введение
Фрелих, А. (1977). «Штикельбергер без сумм Гаусса». В Фрелихе, А. (ред.). Алгебраические числовые поля, Учеб. Симп. Лондонская математика. соц., ун-т. Дарем, 1975 год . Академическая пресса. стр. 589–607. ISBN 0-12-268960-7 . Збл 0376.12002 .
Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990). Классическое введение в современную теорию чисел . Тексты для аспирантов по математике. Том. 84 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4757-2103-4 . ISBN 978-1-4419-3094-1 . МР 1070716 .
Куммер, Эрнст (1847), «О разложении комплексных чисел, образованных из корней из единицы, на их простые множители» , Журнал чистой и прикладной математики , 1847 (35): 327–367, doi : 10.1515/crll.1847.35.327 , S2CID 123230326
Штикельбергер, Людвиг (1890), «Об обобщении разделения кругов» , Mathematical Annals , 37 (3): 321–367, doi : 10.1007/bf01721360 , JFM 22.0100.01 , MR 1510649 , S2CID 121239748
Вашингтон, Лоуренс (1997), Введение в циклотомные поля , Тексты для аспирантов по математике, том. 83 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-94762-4 , МР 1421575

Внешние ссылки

Страница ПланетыМатематики

[1] Вашингтон, 1997 , Примечания к главе 6.

[2] Вашингтон, 1997 , Лемма 6.9 и последующие комментарии.

[3] Вашингтон 1997 , §6.2.

[4] Вашингтон, 1997 , Теорема 6.10.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]