Теорема Фальтингса

Теорема Фальтингса

Герд Фальтингс
Поле	Арифметическая геометрия
Предполагается	Луи Морделл
Предполагается в	1922
Первое доказательство	Герд Фальтингс
Первое доказательство в	1983
Обобщения	Гипотеза Бомбьери – Ланга Гипотеза Морделла – Ланга
Последствия	Теорема Зигеля о целых точках

Теорема Фальтингса — результат арифметической геометрии , согласно которому кривая рода больше 1 над полем $\mathbb {Q}$ рациональных чисел имеет лишь конечное число рациональных точек . Это предположение было высказано в 1922 году Луисом Морделлом . и известна как гипотеза Морделла до ее доказательства Гердом Фалтингсом в 1983 году . Позднее гипотеза была обобщена заменой $\mathbb {Q}$ по любому числовому полю .

Фон

Позволять $C$ — неособая алгебраическая кривая рода $g$ над $\mathbb {Q}$. Тогда множество рациональных точек на $C$ может быть определено следующим образом:

• Когда $g=0$, точек либо нет, либо их бесконечно много. В таких случаях $C$ можно рассматривать как коническое сечение .
• Когда $g=1$, если есть точки, то $C$ — эллиптическая кривая , и ее рациональные точки образуют конечно порожденную абелеву группу . (Это теорема Морделла , позже обобщенная до теоремы Морделла–Вейля .) Более того, теорема о кручении Мазура ограничивает структуру периодической подгруппы.
• Когда $g>1$, согласно теореме Фалтингса, $C$ имеет лишь конечное число рациональных точек.

Доказательства

Игорь Шафаревич выдвинул гипотезу о том, что существует лишь конечное число классов изоморфизма абелевых многообразий фиксированной размерности и фиксированной степени поляризации над фиксированным числовым полем с хорошей редукцией вне фиксированного конечного множества мест . Алексей Паршин показал, что из гипотезы Шафаревича о конечности следует гипотеза Морделла, используя то, что сейчас называется трюком Паршина.

Герд Фалтингс доказал гипотезу Шафаревича о конечности, используя известное сведение к случаю гипотезы Тейта , вместе с инструментами алгебраической геометрии , включая теорию моделей Нерона . Основная идея доказательства Фалтингса — сравнение высот Фалтингса и наивных высот через модульные многообразия Зигеля .

Более поздние доказательства

• Пауль Войта дал доказательство, основанное на диофантовом приближении . Энрико Бомбьери нашел более элементарный вариант доказательства Войты.
• Брайан Лоуренс и Акшай Венкатеш дали доказательство, основанное на p -адической теории Ходжа , позаимствовав также некоторые из более простых компонентов оригинального доказательства Фалтингса.

Последствия

Статья Фалтингса 1983 года повлекла за собой ряд утверждений, которые предполагались ранее:

• о Гипотеза Морделла том, что кривая рода больше 1 в числовом поле имеет лишь конечное число рациональных точек;
• о Теорема изогении том, что абелевы многообразия с изоморфными модулями Тейта (как $\mathbb {Q} _{\ell }$-модули с действием Галуа) изогенны .

Примером применения теоремы Фалтингса является слабая форма Великой теоремы Ферма : для любого фиксированного $n\geq 4$ существует не более конечного числа примитивных целочисленных решений (попарно взаимно простых решений) задачи $a^{n}+b^{n}=c^{n}$, поскольку для такого $n$ кривая Ферма $x^{n}+y^{n}=1$ имеет род больше 1.

Обобщения

Благодаря теореме Морделла-Вейля теорему Фалтингса можно переформулировать как утверждение о пересечении кривой. $C$ с конечно порожденной подгруппой $\Gamma$ абелевой разновидности $A$. Обобщение путем замены $A$ многообразием полуабелевым , $C$ произвольным подмногообразием $A$, и $\Gamma$ произвольной подгруппой конечного ранга из $A$ приводит к гипотезе Морделла–Ланга , доказанной в 1995 году Маккуилланом. после работ Лорана, Рейно , Хиндри, Войты и Фалтингса .

Другое многомерное обобщение теоремы Фалтингса - это гипотеза Бомбьери-Ланга о том, что если $X$ — псевдоканоническое многообразие (т. е. многообразие общего типа) над числовым полем $k$, затем $X(k)$ не ли Зарисский плотен в $X$. Еще более общие предположения были выдвинуты Полом Войтой .

Гипотезу Морделла для функциональных полей доказал Юрий Иванович Манин. и Ганс Грауэрт . В 1990 году Роберт Ф. Коулман нашел и исправил пробел в доказательстве Манина.

Ссылки

• Бомбьери, Энрико (1990). «Возвращение к гипотезе Морделла» . Энн. Скуола Норм. Как дела. Пиза Кл. Наука . 17 (4): 615–640. МР   1093712 .
• Коулман, Роберт Ф. (1990). «Доказательство Манина гипотезы Морделла о функциональных полях» . L'Enseignement Mathématique . 2e Серия. 36 (3): 393–427. ISSN   0013-8584 . МР   1096426 .
• Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Материалы конференции, состоявшейся в Университете Коннектикута, Сторрс, Коннектикут, 30 июля – 10 августа 1984 г. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4613-8655-1 . ISBN  0-387-96311-1 . МР   0861969 . → Содержит английский перевод Faltings (1983).
• Фальтингс, Герд (1983). «Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР   0718935 .
• Фальтингс, Герд (1984). «Ошибка: теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями» . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. дои : 10.1007/BF01388572 . МР   0732554 .
• Фальтингс, Герд (1991). «Диофантово приближение абелевых многообразий». Энн. математики. 133 (3): 549–576. дои : 10.2307/2944319 . JSTOR   2944319 . МР   1109353 .
• Фальтингс, Герд (1994). «Общий случай гипотезы С. Ланга». В Кристанте, Валентино; Мессинг, Уильям (ред.). Симпозиум Барсотти по алгебраической геометрии. Материалы симпозиума, проходившего в Абано-Терме 24–27 июня 1991 г. Перспективы в математике. Academic Press, Inc. Сан-Диего, Калифорния: ISBN  0-12-197270-4 . МР   1307396 .
• Грауэрт, Ганс (1965). «Гипотеза Морделла о рациональных точках на алгебраических кривых и функциональных полях» . Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 25 (25): 131–149. дои : 10.1007/BF02684399 . ISSN   1618-1913 . МР0222087   .
• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-1210-2 . ISBN  0-387-98981-1 . МР   1745599 . → Дает доказательство Войты теоремы Фальтингса.
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . стр. 101–122 . ISBN  3-540-61223-8 .
• Лоуренс, Брайан; Венкатеш, Акшай (2020). «Диофантовы проблемы и p -адические отображения периодов». Изобретать. Математика . 221 (3): 893–999. arXiv : 1807.02721 . дои : 10.1007/s00222-020-00966-7 .
• Manin, Ju. I. (1963). "Rational points on algebraic curves over function fields" . Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya (in Russian). 27 : 1395–1440. ISSN  0373-2436 . MR  0157971 . (Translation: Манин, Ю. (1966). «Рациональные точки на алгебраических кривых над функциональными полями». Переводы Американского математического общества . Серия 2. 59 : 189–234. дои : 10.1090/trans2/050/11 . ISBN  9780821817506 . ISSN   0065-9290 . )
• Маккуиллан, Майкл (1995). «Точки деления полуабелевых многообразий». Изобретать. Математика . 120 (1): 143–159. дои : 10.1007/BF01241125 .
• Морделл, Луи Дж. (1922). «О рациональных решениях неопределенного уравнения третьей и четвертой степени» . Учеб. Кембриджская философия. Соц . 21 : 179–192.
• Паршин, А.Н. (1970). «Некоторые гипотезы конечности в диофантовой геометрии» (PDF) . Материалы Международного конгресса математиков . Полет. Том 1. Ницца: Готье-Виллар (опубликовано в 1971 г.). стр. 467–471. МР   0427323 . Архивировано из оригинала (PDF) 24 сентября 2016 г. Проверено 11 июня 2016 г.
• Паршин А.Н. (2001) [1994]. «Гипотеза Морделла» . Энциклопедия математики . ЭМС Пресс .
• Паршин, А.Н. (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I». Изв. Акад. Наук СССР сер. Мат. 32 (5): 1191–1219. Бибкод : 1968ИзМат...2.1145П . дои : 10.1070/IM1968v002n05ABEH000723 .
• Шафаревич, И.Р. (1963). «Поля алгебраических чисел». Труды Международного конгресса математиков : 163–176.
• Войта, Пол (1991). «Теорема Зигеля в компактном случае». Энн. математики. 133 (3): 509–548. дои : 10.2307/2944318 . JSTOR   2944318 . МР   1109352 .