Теорема о подпространстве
В математике теорема о подпространстве гласит, что точки малой высоты в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей . Это результат, полученный Вольфгангом М. Шмидтом ( 1972 ).
Заявление [ править ]
Теорема о подпространстве утверждает, что если L 1 ,..., L n — линейно независимые линейные формы от n переменных с алгебраическими коэффициентами и если ε>0 — любое данное действительное число, тоненулевое целое число точек x с
лежат в конечном числе подпространств Q собственных н .
Количественная форма теоремы, которая определяет количество подпространств, содержащих все решения, также была получена Шмидтом, а теорема была обобщена Шликевеем (1977), чтобы обеспечить более общие абсолютные значения в числовых полях .
Приложения [ править ]
Теорему можно использовать для получения результатов по диофантовым уравнениям , таких как теорема Зигеля о целых точках и решение S-единичного уравнения . [1]
Следствие диофантовой аппроксимации из
Следующее следствие теоремы о подпространстве часто называют теоремой о подпространстве .Если a 1 ,..., an n алгебраические такие, что 1, a 1 ,..., an n линейно независимы над Q и ε>0 — любое данное действительное число, то существует только конечное число рациональных n -кортежей ( x 1 /y,..., x n /y) с
Специализация n = 1 дает теорему Туэ-Зигеля-Рота . Можно также отметить, что показатель 1+1/ n +ε лучше всего соответствует теореме Дирихле о диофантовом приближении .
Ссылки [ править ]
- ^ Бомбьери и Гублер (2006), стр. 176–230.
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3 . МР 2216774 . Збл 1130.11034 .
- Шликкевей, Ганс Петер (1977). «Об уравнениях нормальной формы» . Дж. Теория чисел . 9 (3): 370–380. дои : 10.1016/0022-314X(77)90072-5 . МР 0444562 .
- Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Нормовая форма уравнений». Анналы математики . Вторая серия. 96 (3): 526–551. дои : 10.2307/1970824 . JSTOR 1970824 . МР 0314761 .
- Шмидт, Вольфганг М. (1980). Диофантово приближение . Конспект лекций по математике. Том. 785 (1996 г. с небольшими исправлениями под ред.). Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/978-3-540-38645-2 . ISBN 3-540-09762-7 . МР 0568710 . Збл 0421.10019 .
- Шмидт, Вольфганг М. (1991). Диофантовы приближения и диофантовы уравнения . Конспект лекций по математике. Том. 1467. Берлин: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0098246 . ISBN 3-540-54058-Х . МР 1176315 . S2CID 118143570 . Збл 0754.11020 .