Дзета-функция высоты

В математике дзета-функция высоты алгебраического многообразия или, в более общем смысле, подмножества многообразия кодирует распределение точек заданной высоты .

Определение

Если S - набор с функцией высоты H , такой, что существует только конечное число элементов ограниченной высоты, определите считающую функцию

$N(S,H,B)=\#\{x\in S:H(x)\leq B\}.$

и дзета-функция

$Z(S,H;s)=\sum _{x\in S}H(x)^{-s}.$

Характеристики

Если Z имеет абсциссу сходимости β и существует константа c такая, что N имеет скорость роста

$N\sim cB^{a}(\log B)^{t-1}$

тогда справедлива версия теоремы Винера–Икехары : Z имеет t -кратный полюс в точке s = β с вычетом c . а .Γ( т ).

Абсцисса сходимости имеет формальные свойства, аналогичные инварианту Неванлинны , и предполагается, что они по существу одинаковы. Точнее, Батырев-Манин предположил следующее. Пусть X — проективное многообразие над числовым полем K с обильным дивизором D, функцию вложения и высоты H , и пусть U обозначает открытое по Зарисскому подмножество X. порождающим Пусть α = α ( D ) — инвариант Неванлинны D , а β — абсцисса сходимости Z ( U , H ; s ). Тогда для любого ε > 0 существует U такое, что β < α + ε : в противоположном направлении, если α > 0, то α = β для всех достаточно больших полей K и достаточно малых U .

Ссылки

• Хиндри, Марк; Сильверман, Джозеф Х. (2000). Диофантова геометрия: Введение . Тексты для аспирантов по математике . Том. 201. ИСБН  0-387-98981-1 . Збл   0948.11023 .
• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .