Функция высоты

Функция высоты — это функция , которая количественно определяет сложность математических объектов. В диофантовой геометрии функции высоты количественно определяют размер решений диофантовых уравнений и обычно являются функциями от набора точек на алгебраических многообразиях (или набора алгебраических многообразий) до действительных чисел . ^[1]

Например, классическая или наивная высота над рациональными числами обычно определяется как максимальное из числителей и знаменателей координат (например, $7$ для координат $(3/7, 1/2)$ ), но в логарифмическом масштабе .

Значение

Функции высоты позволяют математикам подсчитывать объекты, такие как рациональные точки , количество которых в противном случае бесконечно. Например, набор рациональных чисел наивной высоты (максимум числителя и знаменателя, выраженный в наименьших терминах ) ниже любой заданной константы конечен, несмотря на то, что набор рациональных чисел бесконечен. ^[2] В этом смысле функции высоты могут использоваться для доказательства асимптотических результатов , таких как теорема Бейкера в теории трансцендентных чисел, доказанная Аланом Бейкером ( 1966 , 1967a , 1967b ).

В других случаях функции высоты могут различать некоторые объекты по их сложности. Например, теорема о подпространстве, доказанная Вольфгангом М. Шмидтом ( 1972 ), демонстрирует, что точки малой высоты (т.е. небольшой сложности) в проективном пространстве лежат в конечном числе гиперплоскостей , и обобщает теорему Зигеля о целых точках и решении S-единицы. уравнение . ^[3]

решающую роль в доказательствах теоремы Морделла-Вейля и теоремы Фалтингса Вейля Функции высоты сыграли ( 1929 ) и Фалтингса ( 1983 ) соответственно. Несколько выдающихся нерешенных проблем о высотах рациональных точек на алгебраических многообразиях, таких как гипотеза Манина и гипотеза Войты , имеют далеко идущие последствия для проблем диофантовой аппроксимации , диофантовых уравнений , арифметической геометрии и математической логики . ^[4]^[5]

История

Ранняя форма функции высоты была предложена Джамбаттистой Бенедетти (около 1563 г.), который утверждал, что созвучие музыкального интервала можно измерить произведением его числителя и знаменателя (в сокращенной форме); см. Джамбаттиста Бенедетти § Музыка . ^{[ нужна ссылка ]}

Высоты в диофантовой геометрии были первоначально разработаны Андре Вейлем и Дугласом Норткоттом в 1920-х годах. ^[6] Новшествами 1960-х годов стали высота Нерона-Тейта и осознание того, что высоты связаны с проективными представлениями почти так же, как обильные расслоения линий в других частях алгебраической геометрии . В 1970-е годы Сурен Аракелов развил аракеловские высоты в теории Аракелова . ^[7] В 1983 году Фалтингс развил свою теорию высот Фалтингса в доказательстве теоремы Фалтингса. ^[8]

Функции высоты в диофантовой геометрии

Наивная высота

Классическая или наивная высота определяется в терминах обычного абсолютного значения в однородных координатах . Обычно это логарифмическая шкала, и поэтому ее можно рассматривать как пропорциональную «алгебраической сложности» или количеству битов, необходимых для хранения точки. ^[2] Обычно его определяют как логарифм максимального абсолютного значения вектора взаимно простых целых чисел, полученного умножением на наименьший общий знаменатель . Это можно использовать для определения высоты точки в проективном пространстве над Q или многочлена, рассматриваемого как вектор коэффициентов, или алгебраического числа, исходя из высоты его минимального многочлена. ^[9]

Наивная высота рационального числа x = p / q (в самых простых терминах) равна

мультипликативная высота $H(p/q)=\max\{|p|,|q|\}$
логарифмическая высота: $h(p/q)=\log H(p/q)$ ^[10]

Следовательно, наивная мультипликативная и логарифмическая высота $4/10$ равна $5$ и $log(5)$ , например, .

Наивная высота H эллиптической кривой E, заданная выражением $y 2 = х 3 + Ax + B$ определяется как $H(E) = log max(4| A | 3, 27| Б | 2)$ .

Высота Нерона – Тейта

Высота Нерона –Тейта , или каноническая высота , представляет собой квадратичную форму группы Морделла–Вейля рациональных точек абелева многообразия, определенного над глобальным полем . Он назван в честь Андре Нерона , который впервые определил его как сумму местных высот. ^[11] и Джон Тейт , который дал ему глобальное определение в неопубликованной работе. ^[12]

Высота Вейля

Пусть X — проективное многообразие над числовым K. полем Пусть L — линейное расслоение на X . определяют Высоту Вейля на X относительно L следующим образом.

Во-первых, предположим, что L очень обилен . Выбор основы пространства $\Gamma (X,L)$ глобальных сечений определяет морфизм φ из X в проективное пространство, а для всех точек p на X определяется $h_{L}(p):=h(\phi (p))$ , где h — наивная высота в проективном пространстве. ^[13]^[14] Для фиксированных X и L выбор другой основы глобальных разделов меняет $h_{L}$ , но только ограниченной функцией от p . Таким образом $h_{L}$ корректно определен с точностью до добавления функции O(1) .

В общем, можно записать L как разность двух очень обильных линейных расслоений L ₁ и L ₂ на X и определить $h_{L}:=h_{L_{1}}-h_{L_{2}},$ что снова четко определено с точностью до O(1) . ^[13]^[14]

Высота Аракелова

Высота Аракелова в проективном пространстве над полем алгебраических чисел представляет собой глобальную функцию высоты с локальными вкладами, поступающими от метрик Фубини–Студи на архимедовых полях и обычной метрики на неархимедовых полях . ^[15]^[16] Это обычная высота Вейля, оснащенная другой метрикой. ^[17]

Высота фальтинга

абелева Высота Фальтингса многообразия , определенного над числовым полем, является мерой его арифметической сложности. Она определяется высотой метризованного линейного жгута . Оно было введено Фалтингсом ( 1983 ) при доказательстве гипотезы Морделла .

Функции высоты в алгебре

Высота многочлена

Для полинома P степени n, заданного формулой

P=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},

высота H : ( P ) определяется как максимальная из величин ее коэффициентов ^[18]

H(P)={\underset {i}{\max }}\,|a_{i}|.

Аналогичным образом можно определить длину L ( P ) как сумму величин коэффициентов:

L(P)=\sum _{i=0}^{n}|a_{i}|.

Связь с мерой Малера

Мера Малера M ( P ) P также является мерой P. сложности ^[19] Три функции H ( P ), L ( P ) и M ( P ) связаны неравенствами

{\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}^{-1}H(P)\leq M(P)\leq H(P){\sqrt {n+1}};

L(p)\leq 2^{n}M(p)\leq 2^{n}L(p);

H(p)\leq L(p)\leq (n+1)H(p)

где $\scriptstyle {\binom {n}{\lfloor n/2\rfloor }}$ – биномиальный коэффициент .

Функции высоты в автоморфных формах

Одним из условий определения автоморфной формы на полной линейной группе адельной алгебраической группы является умеренный рост , который является асимптотическим условием роста функции высоты на полной линейной группе, рассматриваемой как аффинное многообразие . ^[20]

Другие функции высоты

Высота неприводимого рационального числа x = p / q , q > 0 равна $|p|+q$ (эта функция используется для построения биекции между $\mathbb {N}$ и $\mathbb {Q}$ ). ^[21]

См. также

Ссылки

^ Ланг ( 1997 , стр. 43–67)
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 15–21).
^ Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 176–230)
^ Пустой ( 1987 )
^ Фальтингс ( 1991 )
^ Потому что ( 1929 )
^ Ланг ( 1988 )
^ Фальтингс ( 1983 )
^ Бейкер и Вюстхольц ( 2007 , стр. 3)
^ вопрос mathoverflow: средняя высота рациональных точек на кривой
^ Нерон ( 1965 )
^ Ланг ( 1997 )
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сильверман ( 1994 , III.10)
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бомбьери и Гублер ( 2006 , разделы 2.2–2.4)
^ Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 66–67)
^ Ланг ( 1988 , стр. 156–157)
^ Фили, Петше и Прицкер ( 2017 , стр. 441).
^ Борвейн ( 2002 )
^ Малер ( 1963 )
^ Бамп ( 1998 )
^ Kolmogorov and Fomin ( 1957 , p. 5)

Источники

Бейкер, Алан (1966). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. I». Математика . 13 (2): 204–216. дои : 10.1112/S0025579300003971 . ISSN 0025-5793 . МР 0220680 .
Бейкер, Алан (1967a). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. II». Математика . 14 : 102–107. дои : 10.1112/S0025579300008068 . ISSN 0025-5793 . МР 0220680 .
Бейкер, Алан (1967b). «Линейные формы в логарифмах алгебраических чисел. III». Математика . 14 (2): 220–228. дои : 10.1112/S0025579300003843 . ISSN 0025-5793 . МР 0220680 .
Бейкер, Алан; Вюстхольц, Гисберт (2007). Логарифмические формы и диофантова геометрия . Новые математические монографии. Том. 9. Издательство Кембриджского университета . п. 3. ISBN 978-0-521-88268-2 . Збл 1145.11004 .
Бомбьери, Энрико ; Габлер, Уолтер (2006). Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. Том. 4. Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-71229-3 . Збл 1130.11034 .
Борвейн, Питер (2002). Вычислительные экскурсы по анализу и теории чисел . Книги CMS по математике. Спрингер-Верлаг . стр. 2 , 3, 14148. ISBN. 0-387-95444-9 . Збл 1020.12001 .
Бамп, Дэниел (1998). Автоморфные формы и представления . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 55. Издательство Кембриджского университета. п. 300. ИСБН 9780521658188 .
Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. (1986). Арифметическая геометрия . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 0387963111 . → Содержит английский перевод Faltings (1983).
Фальтингс, Герд (1983). «Теоремы конечности абелевых многообразий над числовыми полями». Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Бибкод : 1983InMat..73..349F . дои : 10.1007/BF01388432 . МР 0718935 . S2CID 121049418 .
Фальтингс, Герд (1991). «Диофантово приближение абелевых многообразий». Анналы математики . 123 (3): 549–576. дои : 10.2307/2944319 . JSTOR 2944319 . МР 1109353 .
Фили, Пол; Петше, Клейтон; Прицкер, Игорь (2017). «Интегралы энергии и малые точки для высоты Аракелова». Архив математики . 109 (5): 441–454. arXiv : 1507.01900 . дои : 10.1007/s00013-017-1080-x . S2CID 119161942 .
Малер, К. (1963). «О двух экстремальных свойствах многочленов» . Иллинойсский математический журнал . 7 (4): 681–701. дои : 10.1215/ijm/1255645104 . Збл 0117.04003 .
Нерон, Андре (1965). «Квазифункции и высоты на абелевых многообразиях». Анналы математики (на французском языке). 82 (2): 249–331. дои : 10.2307/1970644 . JSTOR 1970644 . МР 0179173 .
Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 77. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . п. 212 . ISBN 0-521-66225-7 . Збл 0956.12001 .
Шмидт, Вольфганг М. (1972). «Нормовая форма уравнений». Анналы математики . Вторая серия. 96 (3): 526–551. дои : 10.2307/1970824 . JSTOR 1970824 . МР 0314761 .
Ланг, Серж (1988). Введение в теорию Аракелова . Нью-Йорк: Springer Verlag . ISBN 0-387-96793-1 . МР 0969124 . Збл 0667.14001 .
Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
Вейль, Андре (1929). «Арифметика на алгебраических кривых» . Акта Математика . 52 (1): 281–315. дои : 10.1007/BF02592688 . МР 1555278 .
Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-1-4612-0851-8 .
Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения значений . Конспект лекций по математике. Том. 1239. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3 . МР 0883451 . Збл 0609.14011 .
Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Нью-Йорк: Graylock Press.

Внешние ссылки

Полиномиальная высота в Mathworld

[1] Ланг ( 1997 , стр. 43–67)

[ReferenceA-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 15–21).

[3] Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 176–230)

[4] Пустой ( 1987 )

[5] Фальтингс ( 1991 )

[6] Потому что ( 1929 )

[7] Ланг ( 1988 )

[8] Фальтингс ( 1983 )

[9] Бейкер и Вюстхольц ( 2007 , стр. 3)

[10] вопрос mathoverflow: средняя высота рациональных точек на кривой

[11] Нерон ( 1965 )

[12] Ланг ( 1997 )

[Silverman-13] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Сильверман ( 1994 , III.10)

[Gubler-14] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Бомбьери и Гублер ( 2006 , разделы 2.2–2.4)

[15] Бомбьери и Гублер ( 2006 , стр. 66–67)

[16] Ланг ( 1988 , стр. 156–157)

[17] Фили, Петше и Прицкер ( 2017 , стр. 441).

[18] Борвейн ( 2002 )

[19] Малер ( 1963 )

[20] Бамп ( 1998 )

[21] Kolmogorov and Fomin ( 1957 , p. 5)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]