Jump to content

Высота (абелева группа)

В математике высота существует элемента g абелевой группы A является инвариантом, отражающим его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx = g имеет решение x A , или символ ∞, если нет такого N . p - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера , а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп в терминах их факторов Ульма или инвариантов Ульма .

Определение высоты [ править ]

Пусть A — абелева группа, а элемент из A. g p - высота g таким , в A , обозначаемая ( hp g ) , является наибольшим натуральным числом n что уравнение p н x = g имеет решение в x A или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом, h p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g p н А и г р п +1 А. ​ Это позволяет уточнить понятие высоты.

Для любого ординала α существует подгруппа p а A из A , который является образом карты умножения, повторенной раз α , определенной с помощью трансфинитная индукция :

  • если β предельный ординал .

Подгруппы p а A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение является подгруппой p -делимых элементов группы A , элементам которой присвоена высота ∞. Модифицированная p -высота h p ( г ) знак равно α , если г p а A , но g p +1 А. ​Строительство п. а A является функториалом в A ; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .

Ульмские подгруппы [ править ]

Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A 1 , это п ой А = ∩ п п н A , где ω наименьший бесконечный ординал . Он состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семья { У п ( A )} подгрупп Ульма, индексированных ординалами σ, определяется трансфинитной индукцией:

  • если τ предельный ординал .

Эквивалентно, У п ( А ) знак равно п о.с. A , где ωσ — произведение ординалов ω и σ .

Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A , факторы которой U σ ( A ) = U п ( К )/р +1 ( A называются Ульма A. ) факторами Эта фильтрация стабилизирует и наименьший порядковый номер τ такой, что U т ( А ) = У т +1 ( A ) — Ульма A . длина Наименьшая ульмская подгруппа U т ( A ), также обозначается U ( А ) и р A — наибольшая p -делимая подгруппа группы A ; если A p -группа, то U ( A ) делится поэтому является прямым слагаемым A. и

Для каждого фактора Ульма U σ ( A ) p -высоты его элементов конечны и неограничены для каждого фактора Ульма, за исключением, возможно, последнего, а именно U τ −1 ( A ), когда длина Ульма τ является порядковым ординалом .

Теорема Ульма [ править ]

Вторая теорема Прюфера обеспечивает прямое распространение фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на счетные абелевы p -группы без элементов бесконечной высоты: каждая такая группа изоморфна прямой сумме циклических групп, порядки которых являются степенями p . При этом мощность множества слагаемых порядка p н однозначно определяется группой и реализуется каждая последовательность не более чем счетной мощности. Гельмут Ульм (1933) нашел распространение этой теории классификации на общие счетные p -группы: их класс изоморфизма определяется классами изоморфизма факторов Ульма и p -делимой части.

Теорема Ульма . Пусть A и B — счетные абелевы p - группы такие, что для любого ординала σ их факторы Ульма изоморфны , U σ ( A ) ≅ U σ ( B ) и p - делимые части A и B изоморфны , U ( А ) ≅ У ( Б ). Тогда A и B изоморфны.

Существует дополнение к этой теореме, впервые сформулированное Лео Зиппином (1935) и доказанное Курошем (1960), которое касается существования абелевой p -группы с заданными ульмовскими факторами.

Пусть τ — ординал, а { A σ } — семейство счетных абелевых p - групп, индексированных ординалами σ < τ, таких, что p - высоты элементов каждого A σ конечны и, за исключением, возможно, последнего, равны неограниченный. Тогда существует приведенная абелева p - группа A ульмовой длины τ, ульм-факторы которой изоморфны этим p - группам , U σ ( A ) ≅ A σ .

Первоначальное доказательство Ульма было основано на распространении теории элементарных делителей на бесконечные матрицы .

Альтернативная формулировка

Джордж Макки и Ирвинг Каплански обобщили теорему Ульма на некоторые модули над полным кольцом дискретного нормирования . Они ввели инварианты абелевых групп, что привело к прямой формулировке классификации счетных периодических абелевых групп: для данной абелевой группы A , простого числа p и ординала α соответствующий α -й инвариант Ульма является размерностью фактора

п а Приложение +1 А [ п ],

где B [ p ] обозначает p -кручение абелевой группы B , т.е. подгруппу элементов порядка p , рассматриваемую как векторное пространство над конечным полем с p элементами.

Счетная периодическая приведенная абелева группа однозначно с точностью до изоморфизма определяется своими инвариантами Ульма для всех простых чисел p и счетных ординалов α .

Их упрощенное доказательство теоремы Ульма послужило моделью для многих дальнейших обобщений на другие классы абелевых групп и модулей.

Ссылки [ править ]

  • Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, Vol. Я. ​Чистая и прикладная математика, Vol. 36. Нью-Йорк – Лондон: Academic Press MR. 0255673
  • Ирвинг Каплански и Джордж Макки , Обобщение теоремы Ульма . Сумма Бразилии. Математика. 2, (1951), 195–202 МР 0049165
  • Курош, А.Г. (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR   0109842.
  • Ульм, Х (1933). «К теории счетно-бесконечных абелевых групп». Математика . 107 :774-803. дои : 10.1007/bf01448919 . ЖФМ   59.0143.03 . S2CID   122867558 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 86005711aff6faf00fced41d953a765e__1706029620
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/86/5e/86005711aff6faf00fced41d953a765e.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Height (abelian group) - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)