Высота (абелева группа)
В математике высота существует элемента g абелевой группы A является инвариантом, отражающим его свойства делимости: это наибольшее натуральное число N такое, что уравнение Nx = g имеет решение x ∈ A , или символ ∞, если нет такого N . p - высота учитывает только свойства делимости на степени фиксированного простого числа p . Понятие высоты допускает уточнение, так что p -высота становится порядковым числом . Высота играет важную роль в теоремах Прюфера , а также в теореме Ульма , которая описывает классификацию некоторых бесконечных абелевых групп в терминах их факторов Ульма или инвариантов Ульма .
Определение высоты [ править ]
Пусть A — абелева группа, а — элемент из A. g p - высота g таким , в A , обозначаемая ( hp g ) , является наибольшим натуральным числом n что уравнение p н x = g имеет решение в x ∈ A или символ ∞, если решение существует для всех n . Таким образом, h p ( g ) = n тогда и только тогда, когда g ∈ p н А и г ∉ р п +1 А. Это позволяет уточнить понятие высоты.
Для любого ординала α существует подгруппа p а A из A , который является образом карты умножения, повторенной раз α , определенной с помощью трансфинитная индукция :
- если β — предельный ординал .
Подгруппы p а A образуют убывающую фильтрацию группы A , а их пересечение является подгруппой p -делимых элементов группы A , элементам которой присвоена высота ∞. Модифицированная p -высота h p ∗ ( г ) знак равно α , если г ∈ p а A , но g ∉ p +1 А. Строительство п. а A является функториалом в A ; в частности, подфакторы фильтрации являются инвариантами изоморфизма A .
Ульмские подгруппы [ править ]
Пусть p — фиксированное простое число. (Первая) подгруппа Ульма абелевой группы A , обозначаемая U ( A ) или A 1 , это п ой А = ∩ п п н A , где ω — наименьший бесконечный ординал . Он состоит из всех элементов A бесконечной высоты. Семья { У п ( A )} подгрупп Ульма, индексированных ординалами σ, определяется трансфинитной индукцией:
- если τ — предельный ординал .
Эквивалентно, У п ( А ) знак равно п о.с. A , где ωσ — произведение ординалов ω и σ .
Подгруппы Ульма образуют убывающую фильтрацию группы A , факторы которой U σ ( A ) = U п ( К )/ р +1 ( A называются Ульма A. ) факторами Эта фильтрация стабилизирует и наименьший порядковый номер τ такой, что U т ( А ) = У т +1 ( A ) — Ульма A . длина Наименьшая ульмская подгруппа U т ( A ), также обозначается U ∞ ( А ) и р ∞ A — наибольшая p -делимая подгруппа группы A ; если A — p -группа, то U ∞ ( A ) делится поэтому является прямым слагаемым A. и
Для каждого фактора Ульма U σ ( A ) p -высоты его элементов конечны и неограничены для каждого фактора Ульма, за исключением, возможно, последнего, а именно U τ −1 ( A ), когда длина Ульма τ является порядковым ординалом .
Теорема Ульма [ править ]
Вторая теорема Прюфера обеспечивает прямое распространение фундаментальной теоремы о конечно порожденных абелевых группах на счетные абелевы p -группы без элементов бесконечной высоты: каждая такая группа изоморфна прямой сумме циклических групп, порядки которых являются степенями p . При этом мощность множества слагаемых порядка p н однозначно определяется группой и реализуется каждая последовательность не более чем счетной мощности. Гельмут Ульм (1933) нашел распространение этой теории классификации на общие счетные p -группы: их класс изоморфизма определяется классами изоморфизма факторов Ульма и p -делимой части.
- Теорема Ульма . Пусть A и B — счетные абелевы p - группы такие, что для любого ординала σ их факторы Ульма изоморфны , U σ ( A ) ≅ U σ ( B ) и p - делимые части A и B изоморфны , U ∞ ( А ) ≅ У ∞ ( Б ). Тогда A и B изоморфны.
Существует дополнение к этой теореме, впервые сформулированное Лео Зиппином (1935) и доказанное Курошем (1960), которое касается существования абелевой p -группы с заданными ульмовскими факторами.
- Пусть τ — ординал, а { A σ } — семейство счетных абелевых p - групп, индексированных ординалами σ < τ, таких, что p - высоты элементов каждого A σ конечны и, за исключением, возможно, последнего, равны неограниченный. Тогда существует приведенная абелева p - группа A ульмовой длины τ, ульм-факторы которой изоморфны этим p - группам , U σ ( A ) ≅ A σ .
Первоначальное доказательство Ульма было основано на распространении теории элементарных делителей на бесконечные матрицы .
Альтернативная формулировка
Джордж Макки и Ирвинг Каплански обобщили теорему Ульма на некоторые модули над полным кольцом дискретного нормирования . Они ввели инварианты абелевых групп, что привело к прямой формулировке классификации счетных периодических абелевых групп: для данной абелевой группы A , простого числа p и ординала α соответствующий α -й инвариант Ульма является размерностью фактора
- п а Приложение +1 А [ п ],
где B [ p ] обозначает p -кручение абелевой группы B , т.е. подгруппу элементов порядка p , рассматриваемую как векторное пространство над конечным полем с p элементами.
- Счетная периодическая приведенная абелева группа однозначно с точностью до изоморфизма определяется своими инвариантами Ульма для всех простых чисел p и счетных ординалов α .
Их упрощенное доказательство теоремы Ульма послужило моделью для многих дальнейших обобщений на другие классы абелевых групп и модулей.
Ссылки [ править ]
- Ласло Фукс (1970), Бесконечные абелевы группы, Vol. Я. Чистая и прикладная математика, Vol. 36. Нью-Йорк – Лондон: Academic Press MR. 0255673
- Ирвинг Каплански и Джордж Макки , Обобщение теоремы Ульма . Сумма Бразилии. Математика. 2, (1951), 195–202 МР 0049165
- Курош, А.Г. (1960), Теория групп , Нью-Йорк: Челси, MR 0109842.
- Ульм, Х (1933). «К теории счетно-бесконечных абелевых групп». Математика . 107 :774-803. дои : 10.1007/bf01448919 . ЖФМ 59.0143.03 . S2CID 122867558 .