Гипотеза Манина

В математике гипотеза Манина описывает предположительное распределение рациональных точек на алгебраическом многообразии относительно подходящей функции высоты . Его предложили Ю. И. Манин и его сотрудники. ^[1] в 1989 году, когда они инициировали программу с целью описания распределения рациональных точек на подходящих алгебраических многообразиях.

Гипотеза

Их основная гипотеза состоит в следующем.Позволять $V$ быть многообразием Фано, определеннымнад числовым полем $K$ ,позволять $H$ быть функцией высоты, которая относится к антиканоническому делителю и предположим, что $V(K)$ Плотен ли Зарисский в $V$ . Тогда существуетнепустое открытое подмножество Зариского $U\subset V$ такая, что считающая функцияиз $K$ -рациональные точки ограниченной высоты, определяемые формулой

N_{U,H}(B)=\#\{x\in U(K):H(x)\leq B\}

для $B\geq 1$ , удовлетворяет

N_{U,H}(B)\sim cB(\log B)^{\rho -1},

как $B\to \infty .$ Здесь $\rho$ — ранг Пикара группы $V$ и $c$ – положительная константа, котораяпозже получил предположительное толкование Пейра. ^[2]

Гипотеза Манина была подтверждена для особых семейств многообразий. ^[3] но в целом все еще открыт.

Ссылки

^ Франке, Дж.; Манин Ю.И. ; Чинкель, Ю. (1989). «Рациональные точки ограниченной высоты на многообразиях Фано». Математические изобретения . 95 (2): 421–435. дои : 10.1007/bf01393904 . МР 0974910 . Збл 0674.14012 .
^ Пейр, Э. (1995). «Высота и размеры Тамагавы на сортах Фано». Математический журнал Дьюка . 79 (1): 101–218. дои : 10.1215/S0012-7094-95-07904-6 . МР 1340296 . Збл 0901.14025 .
^ Браунинг, Т.Д. (2007). «Обзор гипотезы Манина для поверхностей дель Пеццо». В Дюке, Уильям (ред.). Аналитическая теория чисел. Дань уважения Гауссу и Дирихле. Материалы конференции Гаусса-Дирихле, Геттинген, Германия, 20–24 июня 2005 г. Клэй Труды по математике. Том. 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 39–55. ISBN 978-0-8218-4307-9 . МР 2362193 . Збл 1134.14017 .

[1] Франке, Дж.; Манин Ю.И. ; Чинкель, Ю. (1989). «Рациональные точки ограниченной высоты на многообразиях Фано». Математические изобретения . 95 (2): 421–435. дои : 10.1007/bf01393904 . МР 0974910 . Збл 0674.14012 .

[2] Пейр, Э. (1995). «Высота и размеры Тамагавы на сортах Фано». Математический журнал Дьюка . 79 (1): 101–218. дои : 10.1215/S0012-7094-95-07904-6 . МР 1340296 . Збл 0901.14025 .

[3] Браунинг, Т.Д. (2007). «Обзор гипотезы Манина для поверхностей дель Пеццо». В Дюке, Уильям (ред.). Аналитическая теория чисел. Дань уважения Гауссу и Дирихле. Материалы конференции Гаусса-Дирихле, Геттинген, Германия, 20–24 июня 2005 г. Клэй Труды по математике. Том. 7. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . стр. 39–55. ISBN 978-0-8218-4307-9 . МР 2362193 . Збл 1134.14017 .

[1]

[2]

[3]