Тонкий набор (Серр)
В математике тонкое множество в смысле Серра , названное в честь Жана-Пьера Серра , представляет собой определенный вид подмножества, построенного в алгебраической геометрии над заданным полем K с помощью разрешенных операций, которые в определенном смысле являются «маловероятными». Двумя фундаментальными из них являются: решение полиномиального уравнения, которое может иметь место, а может и не быть; решение внутри K многочлена, который не всегда факторизуется. Также разрешено брать конечные объединения.
Формулировка [ править ]
Точнее, пусть V — алгебраическое многообразие над K (предположения здесь таковы: V — неприводимое множество , квазипроективное многообразие и K имеет нулевую характеристику ). Тонкое множество типа I — это подмножество V ( K ), которое не является плотным по Зарисскому . что он лежит в алгебраическом множестве которое представляет собой конечное объединение алгебраических многообразий размерности меньше d , размерности V. Это означает , , Тонкое множество типа II — это образ алгебраического морфизма (по существу полиномиального отображения) φ, примененного к K -точкам некоторого другого d -мерного алгебраического многообразия V ′, который по существу отображается на V как разветвленное накрытие со степенью e > 1. Говоря более технически, тонким множеством типа II является любое подмножество
- φ( V ′( К ))
где V ′ удовлетворяет тем же предположениям, что и V , и φ в общем случае сюръективен с точки зрения геометра. Таким образом, на уровне функциональных полей мы имеем
- [ К ( V ): К ( V ′)] = е > 1.
Хотя типичной точкой v из V является φ( u ) с u в V ′, из v , лежащего в V ( K ), мы обычно можем заключить только то, что координаты u получаются в результате решения уравнения степени e над K . Вся цель теории тонких множеств состоит в том, чтобы понять, что рассматриваемая разрешимость — явление редкое. Это переформулирует в более геометрических терминах классическую теорему о неприводимости Гильберта .
Тонкое множество , вообще говоря, является подмножеством конечного объединения тонких множеств типов I и II.
Терминология «тонкая» может быть оправдана тем фактом, что если A — тонкое подмножество прямой над Q , то количество точек A высоты не выше H равно ≪ H : количество целых точек высоты не выше H равно , и этот результат является наилучшим из возможных. [1]
Результат С. Д. Коэна, основанный на методе большого сита , расширяет этот результат, подсчитывая точки по функции высоты и показывая, в строгом смысле, что тонкое множество содержит небольшую их долю (это подробно обсуждается в Лекции Серра по теорема Морделла-Вейля ). Пусть A — тонкое множество в аффинном n -пространстве над Q и пусть N ( H ) обозначает количество целых точек наивной высоты не H. выше Затем [2]
Гильбертовы поля [ править ]
V Гильбертово многообразие над K — для которого ( K ) не является тонким : это бирациональный инвариант V. это многообразие , V [3] Гильбертово поле K — это поле, для которого существует гильбертово многообразие положительной размерности над K : [3] этот термин был введен Лангом в 1962 году. [4] Если K гильбертово, то проективная прямая над K гильбертова, поэтому это можно принять за определение. [5] [6]
Поле рациональных чисел Q гильбертово, потому что из теоремы о неприводимости Гильберта следствием является то, что проективная прямая над Q гильбертова: действительно, любое поле алгебраических чисел гильбертово, опять же по теореме Гильберта о неприводимости. [5] [7] В более общем смысле расширение гильбертова поля конечной степени является гильбертовым. [8] и любое конечно порожденное бесконечное поле гильбертово. [6]
Есть несколько результатов о критериях постоянства гильбертовых полей. Примечательно, что гильбертовость сохраняется при конечных сепарабельных расширениях. [9] и абелевы расширения. Если N является расширением Галуа гильбертова поля, то, хотя N само не обязательно должно быть гильбертовым, результаты Вейссауэра утверждают, что любое собственное конечное расширение N гильбертово. Наиболее общим результатом в этом направлении является теорема Харана об алмазе . Обсуждение этих и других результатов можно найти в книге Фрида-Жардена « Полевая арифметика» .
Гильбертианство находится на другом конце шкалы по сравнению с алгебраически замкнутым : комплексных чисел например, у все множества тонкие. Они, как и другие локальные поля ( действительные числа , p-адические числа являются ), не гильбертовыми. [5]
собственность WWA [ править ]
Свойство WWA (слабое «слабое приближение», так в оригинале ) для многообразия V над числовым полем является слабым приближением (ср. аппроксимация в алгебраических группах ) для конечных наборов мест из K , избегающих некоторого заданного конечного множества. Например, возьмем K = Q : требуется, чтобы V ( Q ) было плотно в
- Π V ( Q п )
для всех произведений по конечным наборам простых чисел p , не включая какой-либо набор { p 1 , ..., p M }, заданный раз и навсегда. Экедаль доказал, что из WWA для V следует, что V гильбертово. [10] Фактически, гипотеза Коллио-Телена WWA верна для любого унирационального многообразия , что, следовательно, является более сильным утверждением. Эта гипотеза подразумевала бы положительный ответ на обратную задачу Галуа . [10]
Ссылки [ править ]
- ^ Серр (1992) стр.26
- ^ Серр (1992) стр.27
- ^ Перейти обратно: а б Серр (1992) стр.19
- ^ Шинцель (2000) стр.312
- ^ Перейти обратно: а б с Серр (1992) стр.20
- ^ Перейти обратно: а б Шинцель (2000) стр.298
- ^ Ланг (1997) стр.41
- ^ Серр (1992) стр.21
- ^ Фрид и Джарден (2008) стр.224
- ^ Перейти обратно: а б Серр (1992) стр.29
- Фрид, Майкл Д.; Джарден, Моше (2008). Полевая арифметика . Результаты математики и ее пограничные области. 3-й эпизод. Том 11 (3-е исправленное изд.). Издательство Спрингер . ISBN 978-3-540-77269-9 . Збл 1145.12001 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN 3-540-61223-8 . Збл 0869.11051 .
- Серр, Жан Пьер (1989). Лекции по теореме Морделла-Вейля . Аспекты математики. Том Е15. Переведено и отредактировано Мартином Брауном на основе заметок Мишеля Вальдшмидта. Брауншвейг и др.: Фридр. Вьюег и сын. Збл 0676.14005 .
- Серр, Жан-Пьер (1992). Темы теории Галуа . Исследования по математике. Том. 1. Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6 . Артикул 0746.12001 .
- Шинцель, Анджей (2000). Полиномы с особым учетом сводимости . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 77. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-66225-7 . Збл 0956.12001 .