Теорема Гильберта о неприводимости

В теории чисел теорема о неприводимости Гильберта , придуманная Дэвидом Гильбертом в 1892 году, утверждает, что каждый конечный набор неприводимых многочленов от конечного числа переменных и имеющих рациональные числовые коэффициенты допускает общую специализацию правильного подмножества переменных до рациональных чисел, такую ​​что все многочлены остаются неприводимыми. Эта теорема является выдающейся теоремой теории чисел.

Формулировка теоремы

Теорема Гильберта о неприводимости. Позволять

$f_{1}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(X_{1},\ldots ,X_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})$

— неприводимые многочлены в кольце

$\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r})[Y_{1},\ldots ,Y_{s}].$

Тогда существует r -кортеж рациональных чисел ( a ₁ , ..., a _r ) такой, что

$f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s}),\ldots ,f_{n}(a_{1},\ldots ,a_{r},Y_{1},\ldots ,Y_{s})$

неприводимы в кольце

$\mathbb {Q} [Y_{1},\ldots ,Y_{s}].$

Замечания.

• Из теоремы следует, что существует бесконечно много r -кортежей. На самом деле множество всех неприводимых специализаций, называемое гильбертовым множеством, во многих смыслах велико. Например, это множество плотно по Зарисскому в $\mathbb {Q} ^{r}.$
• Всегда существует (бесконечно много) целочисленных специализаций, т. е. утверждение теоремы справедливо, даже если мы требуем, чтобы ( a ₁ , ..., a _r ) были целыми числами.
• Существует много гильбертовых полей , т. е. полей, удовлетворяющих теореме о неприводимости Гильберта. Например, числовые поля являются гильбертовыми.
• Изложенное в теореме свойство неприводимой специализации является наиболее общим. Существует много сокращений, например, достаточно взять $n=r=s=1$ в определении. Результат Бари-Сорокера показывает, что для того, чтобы поле K было гильбертовым, достаточно рассмотреть случай $n=r=s=1$ и $f=f_{1}$ абсолютно неприводимый , т. е. неприводимый в кольце K ^Алг [ X , Y ], где K ^Алг является алгебраическим замыканием K .

Приложения

Теорема Гильберта о неприводимости имеет многочисленные приложения в теории чисел и алгебре . Например:

• Обратная задача Галуа , первоначальная мотивация Гильберта. Из теоремы почти сразу следует, что если конечная группа G может быть реализована как группа Галуа расширения Галуа N группы

$E=\mathbb {Q} (X_{1},\ldots ,X_{r}),$

тогда его можно специализировать на расширении Галуа N ₀ рациональных чисел с G в качестве группы Галуа. (Чтобы убедиться в этом, выберите унитарный неприводимый полином f ( X ₁ , ..., X _n , Y , корень которого порождает N над E . Если f ( a ₁ , ..., an _, ) Y ) неприводим для некоторого a _i , то его корень будет порождать заявленное N ₀ .)

• Построение эллиптических кривых большого ранга.

• Теорема Гильберта о неприводимости используется в качестве шага в Эндрю Уайлса доказательстве Великой теоремы Ферма .

• Если полином $g(x)\in \mathbb {Z} [x]$ является идеальным квадратом для всех больших целых значений x , тогда g(x) является квадратом полинома от $\mathbb {Z} [x].$ Это следует из теоремы о неприводимости Гильберта с $n=r=s=1$ и

$f_{1}(X,Y)=Y^{2}-g(X).$

(Существуют и более элементарные доказательства.) Тот же результат верен, когда «квадрат» заменяется «кубом», «четвертой степенью» и т. д.

Обобщения

Она была переформулирована и широко обобщена с использованием языка алгебраической геометрии . См. тонкий набор (Серр) .

Ссылки

• Д. Гильберт, «О неприводимости целых рациональных функций с целыми коэффициентами», J. pure angew 110 (1892) 104–129.

• Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Спрингер-Верлаг . ISBN  3-540-61223-8 . Збл   0869.11051 .
• Дж. П. Серр, Лекции по теореме Морделла-Вейля , Vieweg, 1989.
• Доктор медицинских наук Фрид и М. Ярден, Полевая арифметика , Springer-Verlag, Берлин, 2005.
• Х. Фёлкляйн, Группы как группы Галуа , Cambridge University Press, 1996.
• Г. Малле и Б.Х. Мацат, Обратная теория Галуа , Springer, 1999.