Гипотеза о равномерной ограниченности рациональных точек

В арифметической геометрии гипотеза о равномерной ограниченности рациональных точек утверждает, что для данного числового поля $K$ и положительное целое число $g\geq 2$ , существует число $N(K,g)$ в зависимости только от $K$ и $g$ такая, что для любой алгебраической кривой $C$ определено более $K$ имеющий род, равный $g$ имеет не более $N(K,g)$ $K$ - рациональные точки . Это уточнение теоремы Фалтингса , которая утверждает, что множество $K$ -рациональные точки $C(K)$ обязательно конечно.

Прогресс

Первый значительный прогресс в направлении этой гипотезы был достигнут Капорасо , Харрисом и Мазуром . ^[1] Они доказали, что гипотеза верна, если принять гипотезу Бомбьери–Ланга .

Гипотеза Мазура B

Гипотеза Мазура B представляет собой более слабый вариант гипотезы равномерной ограниченности, которая утверждает, что должно существовать число $N(K,g,r)$ такая, что для любой алгебраической кривой $C$ определено более $K$ имеющий род $g$ и чья якобианская разновидность $J_{C}$ имеет рейтинг Морделла-Вейля выше $K$ равный $r$ , количество $K$ -рациональные точки зрения $C$ самое большее $N(K,g,r)$ .

Майкл Столл доказал, что гипотеза Мазура B справедлива для гиперэллиптических кривых с дополнительной гипотезой, что $r\leq g-3$ . ^[2] Результат Столла был дополнительно уточнен Кацем , Рабиноффом и Цюрейком-Брауном в 2015 году. ^[3] Обе эти работы опираются на метод Шаботи .

Гипотеза B Мазура была решена Димитровым , Гао и Хабеггером в 2021 году с использованием более ранней работы Гао и Хабеггера по геометрической гипотезе Богомолова вместо метода Шаботи. ^[4]

Ссылки

^ Капорасо, Люсия; Харрис, Джо; Мазур, Барри (1997). «Единство рациональных точек» . Журнал Американского математического общества . 10 (1): 1–35. дои : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 .
^ Столл, Майкл (2019). «Равномерные оценки числа рациональных точек на гиперэллиптических кривых малого ранга Морделла – Вейля» . Журнал Европейского математического общества . 21 (3): 923–956. arXiv : 1307.1773 . дои : 10.4171/JEMS/857 .
^ Кац, Эрик; Рабинов, Джозеф; Зурейк-Браун, Дэвид (2016). «Равномерные оценки количества рациональных точек на кривых малого ранга Морделла – Вейля». Математический журнал Дьюка . 165 (16): 3189–3240. arXiv : 1504.00694 . дои : 10.1215/00127094-3673558 . S2CID 42267487 .
^ Димитров, Весилин; Гао, Цзыян; Хабеггер, Филипп (2021). «Однородность по Морделлу – Лангу для кривых» (PDF) . Анналы математики . 194 : 237–298. дои : 10.4007/анналы.2021.194.1.4 . S2CID 210932420 .

[1] Капорасо, Люсия; Харрис, Джо; Мазур, Барри (1997). «Единство рациональных точек» . Журнал Американского математического общества . 10 (1): 1–35. дои : 10.1090/S0894-0347-97-00195-1 .

[2] Столл, Майкл (2019). «Равномерные оценки числа рациональных точек на гиперэллиптических кривых малого ранга Морделла – Вейля» . Журнал Европейского математического общества . 21 (3): 923–956. arXiv : 1307.1773 . дои : 10.4171/JEMS/857 .

[3] Кац, Эрик; Рабинов, Джозеф; Зурейк-Браун, Дэвид (2016). «Равномерные оценки количества рациональных точек на кривых малого ранга Морделла – Вейля». Математический журнал Дьюка . 165 (16): 3189–3240. arXiv : 1504.00694 . дои : 10.1215/00127094-3673558 . S2CID 42267487 .

[4] Димитров, Весилин; Гао, Цзыян; Хабеггер, Филипп (2021). «Однородность по Морделлу – Лангу для кривых» (PDF) . Анналы математики . 194 : 237–298. дои : 10.4007/анналы.2021.194.1.4 . S2CID 210932420 .

[1]

[2]

[3]

[4]