Кривая Тейта

В математике кривая Тейта — это кривая, определенная над кольцом формальных степенных рядов. $\mathbb {Z} [[q]]$ с целыми коэффициентами. Над открытой подсхемой, где q обратимо, кривая Тейта представляет собой эллиптическую кривую . Кривая Тейта также может быть определена для q как элемент полного поля с нормой меньше 1, и в этом случае формальный степенной ряд сходится.

Кривая Тейта была представлена ​​Джоном Тейтом ( 1995 ) в рукописи 1959 года, первоначально озаглавленной «Рациональные точки на эллиптических кривых над полными полями»; он опубликовал свои результаты лишь много лет спустя, и его работа впервые появилась в Roquette (1970) .

Определение

Кривая Тейта — это кривая проективной плоскости над кольцом Z [[ q ]] формальных степенных рядов с целыми коэффициентами, заданными (в аффинном открытом подмножестве проективной плоскости) уравнением

$y^{2}+xy=x^{3}+a_{4}x+a_{6}$

где

$-a_{4}=5\sum _{n}{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}=5q+45q^{2}+140q^{3}+\cdots$

$-a_{6}=\sum _{n}{\frac {7n^{5}+5n^{3}}{12}}\times {\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}=q+23q^{2}+154q^{3}+\cdots$

представляют собой степенные ряды с целыми коэффициентами.

Кривая Тейта по всему полю

Предположим, что поле k полно относительно некоторой абсолютной величины | |, а q — ненулевой элемент поля k с | q |<1. Тогда все ряды сходятся и определяют эллиптическую кривую над k . Если при этом q не равно нулю, то существует изоморфизм групп из k ^* / д ^С к этой эллиптической кривой, принимая w к ( x ( w ), y ( w )) для w не степени q , где

$x(w)=-y(w)-y(w^{-1})$

$y(w)=\sum _{m\in \mathbf {Z} }{\frac {(q^{m}w)^{2}}{(1-q^{m}w)^{3}}}+\sum _{m\geq 1}{\frac {q^{m}}{(1-q^{m})^{2}}}$

и переносим степени q в точку бесконечности эллиптической кривой. Ряды x ( w ) и y ( w ) не являются формальными степенными рядами по w .

Интуитивный пример

В случае кривой над полным полем $k^{*}/q^{\mathbb {Z} }$, самый простой случай для визуализации $\mathbb {C} ^{*}/q^{\mathbb {Z} }$, где $q^{\mathbb {Z} }$ — дискретная подгруппа, порожденная одним мультипликативным периодом $e^{2\pi i\tau }$, где период $\tau =\omega _{1}/\omega _{2}$. Обратите внимание, что $\mathbb {C} ^{*}$ изоморфен ${\mathbb {C} +}/\mathbb {Z} +$, где $\mathbb {C} +$ – это сложенные комплексные числа.

Чтобы понять, почему кривая Тейта морально соответствует тору, когда поле имеет форму C с обычной нормой, $q$ уже является однопериодическим; модифицируя целыми степенями q, вы модифицируете $\mathbb {C}$ к $\mathbb {Z} ^{2}$, который является тором. Другими словами, у нас есть кольцо, и мы склеиваем внутренние и внешние края.

Но кольцо не соответствует кругу минус точка: кольцо — это набор комплексных чисел между двумя последовательными степенями q; скажем, все комплексные числа с величиной от 1 до q. Это дает нам два круга, то есть внутренний и внешний края кольца.

Приведенное здесь изображение тора представляет собой группу вставленных кругов, которые становятся все уже и уже по мере приближения к началу координат.

Это немного отличается от обычного метода, начиная с плоского листа бумаги. $\mathbb {C}$и склеиваем стороны, чтобы получился цилиндр. $\mathbb {C} /\mathbb {Z}$, а затем склеить края цилиндра, чтобы получился тор, $\mathbb {C} /\mathbb {Z} ^{2}$.

Это немного упрощенно. Кривая Тейта на самом деле представляет собой кривую над кольцом формальных степенных рядов, а не кривую над C. Интуитивно это семейство кривых, зависящих от формального параметра. Когда этот формальный параметр равен нулю, он вырождается в защемленный тор, а когда он не равен нулю, он является тором).

Свойства

кривой j-инвариант Тейта задается степенным рядом по q со старшим членом q ⁻¹ . над p -адическим локальным полем Поэтому j нецелочислен и кривая Тейта имеет полустабильную редукцию мультипликативного типа. Обратно, каждая полустабильная эллиптическая кривая над локальным полем изоморфна кривой Тейта (с точностью до квадратичного поворота ).

Ссылки

• Ланг, Серж (1987), Эллиптические функции , Тексты для аспирантов по математике, том. 112 (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-4752-4 , ISBN  978-0-387-96508-6 , МР   0890960 , Збл   0615.14018
• Манин, Ю. Я .; Панчишкин А.А. (2007). Введение в современную теорию чисел . Энциклопедия математических наук. Том. 49 (Второе изд.). ISBN  978-3-540-20364-3 . ISSN   0938-0396 . Збл   1079.11002 .
• Роберт, Ален (1973), Эллиптические кривые , Конспекты лекций по математике, том. 326, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , номер номера : 10.1007/978-3-540-46916-2 , ISBN.  978-3-540-06309-4 , МР   0352107 , Збл   0256.14013
• Рокетт, Питер (1970), Аналитическая теория эллиптических функций над локальными полями , Гамбургские математические индивидуальные сочинения (NF), выпуск 1, Геттинген: Ванденхук и Рупрехт, ISBN  9783525403013 , МР   0260753 , Збл   0194.52002
• Сильверман, Джозеф Х. (1994). Дополнительные темы по арифметике эллиптических кривых . Тексты для аспирантов по математике . Том. 151. Шпрингер-Верлаг . ISBN  0-387-94328-5 . Збл   0911.14015 .
• Тейт, Джон (1995) [1959], «Обзор неархимедовых эллиптических функций» , в Коутс, Джон; Яу, Шинг-Тунг (ред.), Эллиптические кривые, модулярные формы и последняя теорема Ферма (Гонконг, 1993) , Серии по теории чисел, том. Я, Инт. Press, Кембридж, Массачусетс, стр. 162–184, CiteSeerX   10.1.1.367.7205 , ISBN.  978-1-57146-026-4 , МР   1363501