Формальный степенной ряд

В математике формальный ряд — это бесконечная сумма, которая рассматривается независимо от какого-либо понятия сходимости и которой можно манипулировать с помощью обычных алгебраических операций над рядами (сложение, вычитание, умножение, деление, частичные суммы и т. д.).

Формальный степенной ряд — это особый вид формального ряда, члены которого имеют вид $ax^{n}$ где $x^{n}$ это $n$степень переменной $x$ ( $n$ является неотрицательным целым числом ), и $a$ называется коэффициентом. Следовательно, степенные ряды можно рассматривать как обобщение полиномов , где число членов может быть бесконечным, без каких-либо требований сходимости. Таким образом, ряд больше не может представлять собой функцию своей переменной, а просто формальную последовательность коэффициентов, в отличие от степенного ряда , который определяет функцию, принимая числовые значения переменной в пределах радиуса сходимости. В формальном степенном ряду $x^{n}$ используются только как держатели позиций для коэффициентов, так что коэффициент $x^{5}$ является шестым членом последовательности. В комбинаторике метод производящих функций использует формальные степенные ряды для представления числовых последовательностей и мультимножеств , например, позволяя краткие выражения для рекурсивно определенных последовательностей независимо от того, может ли рекурсия быть решена явно. В более общем смысле, формальные степенные ряды могут включать ряды с любым конечным (или счетным) числом переменных и с коэффициентами в произвольном кольце .

Кольца формальных степенных рядов являются полными локальными кольцами , что позволяет использовать методы исчисления в чисто алгебраических рамках алгебраической геометрии и коммутативной алгебры . Они во многом аналогичны p -адическим целым числам , которые можно определить как формальные ряды степеней p .

Введение

Формальный степенной ряд можно условно представить как объект, похожий на многочлен , но с бесконечным количеством членов. В качестве альтернативы, для тех, кто знаком со степенным рядом (или рядом Тейлора ), можно думать о формальном степенном ряде как о степенном ряде, в котором мы игнорируем вопросы сходимости , не предполагая, что переменная X обозначает какое-либо числовое значение (даже неизвестное значение). ). Например, рассмотрим серию

$A=1-3X+5X^{2}-7X^{3}+9X^{4}-11X^{5}+\cdots .$

Если бы мы изучали это как степенной ряд, его свойства включали бы, например, то, что его радиус сходимости равен 1. Однако, как формальный степенной ряд, мы можем полностью игнорировать это; все, что имеет значение, это последовательность коэффициентов [1, −3, 5, −7, 9, −11, ...]. Другими словами, формальный степенной ряд — это объект, который просто записывает последовательность коэффициентов. Вполне допустимо рассматривать формальный степенной ряд с факториалами [ 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...] в качестве коэффициентов, даже если соответствующий степенной ряд расходится для любого ненулевого значения X .

Арифметика формальных степенных рядов выполняется путем простого предположения, что эти ряды являются полиномами. Например, если

$B=2X+4X^{3}+6X^{5}+\cdots ,$

затем мы добавляем A и B почленно:

$A+B=1-X+5X^{2}-3X^{3}+9X^{4}-5X^{5}+\cdots .$

Мы можем умножать формальные степенные ряды, опять же, просто рассматривая их как полиномы (см., в частности, произведение Коши ):

$AB=2X-6X^{2}+14X^{3}-26X^{4}+44X^{5}+\cdots .$

что каждый коэффициент в произведении AB зависит только от конечного числа коэффициентов A и B. Обратите внимание , Например, Х ⁵ срок дается

$44X^{5}=(1\times 6X^{5})+(5X^{2}\times 4X^{3})+(9X^{4}\times 2X).$

По этой причине можно умножать формальные степенные ряды, не беспокоясь об обычных вопросах абсолютной , условной и равномерной сходимости , которые возникают при работе со степенными рядами в условиях анализа .

После того как мы определили умножение для формальных степенных рядов, мы можем определить мультипликативные обратные числа следующим образом. Мультипликативным обратным формальным степенным рядом A является формальный степенной ряд C такой, что AC = 1, при условии, что такой формальный степенной ряд существует. Оказывается, если A имеет мультипликативный обратный, то он единственный, и мы обозначаем его A ⁻¹ . Теперь мы можем определить деление формальных степенных рядов, определив B / A как произведение BA. ⁻¹ инверсия A. , при условии, что существует Например, можно использовать приведенное выше определение умножения, чтобы проверить знакомую формулу.

${\frac {1}{1+X}}=1-X+X^{2}-X^{3}+X^{4}-X^{5}+\cdots .$

Важной операцией над формальными степенными рядами является извлечение коэффициентов. В своей самой простой форме оператор извлечения коэффициентов $[X^{n}]$ применительно к формальному степенному ряду $A$ в одну переменную извлекает коэффициент $n$степень переменной, так что $[X^{2}]A=5$ и $[X^{5}]A=-11$. Другие примеры включают

${\begin{aligned}\left[X^{3}\right](B)&=4,\\\left[X^{2}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3Y^{3},\\\left[X^{2}Y^{3}\right](X+3X^{2}Y^{3}+10Y^{6})&=3,\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {1}{1+X}}\right)&=(-1)^{n},\\\left[X^{n}\right]\left({\frac {X}{(1-X)^{2}}}\right)&=n.\end{aligned}}$

Аналогичным образом, многие другие операции, выполняемые с полиномами, могут быть расширены до формального степенного ряда, как описано ниже.

Кольцо формального степенного ряда

Если рассмотреть множество всех формальных степенных рядов в X с коэффициентами в коммутативном кольце R , элементы этого набора вместе составляют другое кольцо, которое записывается $R[[X]],$ и называется кольцом формальных степенных рядов переменной X над R. по

формальных степенных

Можно охарактеризовать $R[[X]]$ как пополнение кольца полиномов абстрактно $R[X]$ оснащен определенной метрикой . Это автоматически дает $R[[X]]$ строение топологического кольца (и даже полного метрического пространства). Но общая конструкция пополнения метрического пространства более сложна, чем это необходимо здесь, и заставила бы формальные степенные ряды показаться более сложными, чем они есть на самом деле. Можно описать $R[[X]]$ более явно и определите кольцевую структуру и топологическую структуру отдельно следующим образом.

Кольцевая структура

В комплекте, $R[[X]]$ можно построить как множество $R^{\mathbb {N} }$ всех бесконечных последовательностей элементов $R$, индексированный натуральными числами (включая 0). Обозначение последовательности, член которой по индексу $n$ является $a_{n}$ к $(a_{n})$, сложение двух таких последовательностей определяется выражением

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }+(b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(a_{n}+b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }$

и умножение на

$(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\times (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }=\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)_{\!n\in \mathbb {N} }.$

Этот тип произведения называется произведением Коши двух последовательностей коэффициентов и представляет собой своего рода дискретную свертку . С помощью этих операций $R^{\mathbb {N} }$ становится коммутативным кольцом с нулевым элементом $(0,0,0,\ldots )$ и мультипликативное тождество $(1,0,0,\ldots )$.

Фактически это то же самое произведение, которое используется для определения произведения многочленов от одной неопределенной, что предполагает использование аналогичных обозначений. Один встраивает $R$ в $R[[X]]$ отправив любой (постоянный) $a\in R$ в последовательность $(a,0,0,\ldots )$ и обозначает последовательность $(0,1,0,0,\ldots )$ к $X$; тогда, используя приведенные выше определения, каждая последовательность, содержащая только конечное число ненулевых членов, может быть выражена через эти специальные элементы как

$(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n},0,0,\ldots )=a_{0}+a_{1}X+\cdots +a_{n}X^{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}X^{i};$

это именно полиномы в $X$. Учитывая это, вполне естественно и удобно обозначить общую последовательность $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ по формальному выражению $\textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}$, хотя последнее не является выражением, образованным операциями сложения и умножения, определенными выше (из которых можно составить только конечные суммы). Это соглашение об обозначениях позволяет переформулировать приведенные выше определения как

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)+\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i\in \mathbb {N} }(a_{i}+b_{i})X^{i}$

и

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{n\in \mathbb {N} }\left(\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\right)X^{n}.$

что весьма удобно, но нужно помнить о различии между формальным суммированием (простым соглашением) и действительным сложением.

Топологическая структура

Условно оговорив, что

$(a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},\ldots )=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i},$ ( 1 )

хотелось бы интерпретировать правую часть как четко определенное бесконечное суммирование. С этой целью понятие конвергенции в $R^{\mathbb {N} }$ определена и топология на $R^{\mathbb {N} }$ построен. Существует несколько эквивалентных способов определения желаемой топологии.

• Мы можем дать $R^{\mathbb {N} }$ топология продукта , где каждая копия $R$ задана дискретная топология .
• Мы можем дать $R^{\mathbb {N} }$ I -адическая топология , где $I=(X)$ идеал, порожденный $X$, который состоит из всех последовательностей, первый член которых $a_{0}$ равен нулю.
• Желаемая топология также может быть получена из следующей метрики . Расстояние между отдельными последовательностями $(a_{n}),(b_{n})\in R^{\mathbb {N} },$ определяется как
  $$d((a_{n}),(b_{n}))=2^{-k},$$
  где $k$ — наименьшее натуральное число такое, что $a_{k}\neq b_{k}$; расстояние между двумя равными последовательностями, конечно, равно нулю.

Неформально две последовательности $(a_{n})$ и $(b_{n})$ становятся все ближе и ближе тогда и только тогда, когда все больше и больше их условий точно совпадают. Формально последовательность частичных сумм некоторого бесконечного суммирования сходится, если для каждой фиксированной степени $X$ коэффициент стабилизируется: существует точка, за которой все дальнейшие частичные суммы имеют одинаковый коэффициент. Очевидно, что это справедливо для правой части ( 1 ), независимо от значений $a_{n}$, поскольку включение термина для $i=n$ дает последнее (и фактически единственное) изменение коэффициента $X^{n}$. Также очевидно, что предел последовательности частичных сумм равен левой части.

Эта топологическая структура вместе с описанными выше кольцевыми операциями образует топологическое кольцо. Это называется кольцом формальных степенных рядов над $R$ и обозначается $R[[X]]$. Топология обладает полезным свойством: бесконечное суммирование сходится тогда и только тогда, когда последовательность его членов сходится к 0, что просто означает, что любая фиксированная степень суммирования $X$ происходит только за конечное число членов.

Топологическая структура позволяет гораздо более гибко использовать бесконечные суммирования. Например, правило умножения можно переформулировать просто как

$\left(\sum _{i\in \mathbb {N} }a_{i}X^{i}\right)\times \left(\sum _{i\in \mathbb {N} }b_{i}X^{i}\right)=\sum _{i,j\in \mathbb {N} }a_{i}b_{j}X^{i+j},$

поскольку только конечное число членов справа влияет на любое фиксированное $X^{n}$. Бесконечные произведения также определяются топологической структурой; можно видеть, что бесконечное произведение сходится тогда и только тогда, когда последовательность его факторов сходится к 1 (в этом случае произведение не равно нулю) или бесконечное количество сомножителей не имеют постоянного члена (в этом случае произведение равно нулю).

Альтернативные топологии

Вышеуказанная топология является наилучшей топологией , для которой

$\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}X^{i}$

всегда сходится как суммирование к формальному степенному ряду, обозначаемому одним и тем же выражением, и этого часто достаточно, чтобы придать смысл бесконечным суммам и произведениям или другим видам пределов, которые кто-то хочет использовать для обозначения конкретного формального степенного ряда. Однако иногда может случиться так, что кто-то захочет использовать более грубую топологию, чтобы некоторые выражения стали сходящимися, которые в противном случае расходились бы. Это относится, в частности, к случаям, когда базовое кольцо $R$ уже имеет топологию, отличную от дискретной, например, если оно также является кольцом формальных степенных рядов.

В кольце формальных степенных рядов $\mathbb {Z} [[X]][[Y]]$, топология приведенной выше конструкции относится только к неопределенному $Y$, поскольку топология, которая была поставлена ​​на $\mathbb {Z} [[X]]$ была заменена дискретной топологией при определении топологии всего кольца. Так

$\sum _{i=0}^{\infty }XY^{i}$

сходится (и его сумму можно записать как ${\tfrac {X}{1-Y}}$); однако

$\sum _{i=0}^{\infty }X^{i}Y$

будет считаться расходящимся, поскольку каждое слагаемое влияет на коэффициент $Y$. Эта асимметрия исчезает, если степенной ряд зазвенит. $Y$ задана топология продукта, в которой каждая копия $\mathbb {Z} [[X]]$ задается его топология как кольцо формальных степенных рядов, а не дискретная топология. В этой топологии последовательность элементов $\mathbb {Z} [[X]][[Y]]$ сходится, если коэффициент при каждой степени $Y$ сходится к формальному степенному ряду $X$, более слабое состояние, чем полная стабилизация. Например, при такой топологии во втором примере, приведенном выше, коэффициент $Y$сходится к ${\tfrac {1}{1-X}}$, поэтому все суммирование сходится к ${\tfrac {Y}{1-X}}$.

Этот способ определения топологии фактически является стандартным для повторяющихся конструкций колец формальных степенных рядов и дает ту же топологию, которую можно было бы получить, взяв формальные степенные ряды сразу со всеми неопределенными. В приведенном выше примере это будет означать построение $\mathbb {Z} [[X,Y]]$ и здесь последовательность сходится тогда и только тогда, когда коэффициент при каждом мономе $X^{i}Y^{j}$ стабилизируется. Эта топология, которая также является $I$-адическая топология, где $I=(X,Y)$ идеал, порожденный $X$ и $Y$, по-прежнему обладает тем свойством, что суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0.

Тот же принцип можно использовать для сближения других расходящихся пределов. Например в $\mathbb {R} [[X]]$ предел

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {X}{n}}\right)^{\!n}$

не существует, поэтому, в частности, он не сходится к

$\exp(X)=\sum _{n\in \mathbb {N} }{\frac {X^{n}}{n!}}.$

Это потому, что для $i\geq 2$ коэффициент ${\tbinom {n}{i}}/n^{i}$ из $X^{i}$ не стабилизируется, так как $n\to \infty$. Однако он сходится в обычной топологии $\mathbb {R}$, и фактически к коэффициенту ${\tfrac {1}{i!}}$ из $\exp(X)$. Поэтому, если бы кто-то дал $\mathbb {R} [[X]]$ топология продукта $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$ где топология $\mathbb {R}$ является обычной топологией, а не дискретной, то приведенный выше предел будет сходиться к $\exp(X)$. Однако этот более либеральный подход не является стандартом при рассмотрении формальных степенных рядов, поскольку он привел бы к соображениям сходимости, которые столь же тонки, как и в анализе , в то время как философия формальных степенных рядов, напротив, делает вопросы сходимости столь же тривиальными, как и в анализе. они вполне могут быть. При такой топологии не суммирование сходится тогда и только тогда, когда его члены стремятся к 0.

Универсальная собственность

Кольцо $R[[X]]$ можно охарактеризовать следующим универсальным свойством . Если $S$ является коммутативной ассоциативной алгеброй над $R$, если $I$ является идеалом $S$ такой, что $I$-адическая топология на $S$ завершено, и если $x$ является элементом $I$, то существует единственное $\Phi :R[[X]]\to S$ со следующими свойствами:

• $\Phi$ это $R$-алгебра гомоморфизм

• $\Phi$ является непрерывным

• $\Phi (X)=x$.

Операции над формальными степенными рядами

Можно выполнять алгебраические операции над степенными рядами для создания новых степенных рядов. Помимо определенных выше операций кольцевой структуры, мы имеем следующее.

Степенной ряд,

Для любого натурального числа n имеем

$$\left(\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}X^{k}\right)^{\!n}=\,\sum _{m=0}^{\infty }c_{m}X^{m},$$

где

$${\begin{aligned}c_{0}&=a_{0}^{n},\\c_{m}&={\frac {1}{ma_{0}}}\sum _{k=1}^{m}(kn-m+k)a_{k}c_{m-k},\ \ \ m\geq 1.\end{aligned}}$$

(Эту формулу можно использовать только в том случае, если m и a ₀ обратимы в кольце коэффициентов.)

В случае формальных степенных рядов с комплексными коэффициентами комплексные степени корректно определены, по крайней мере, для ряда f с постоянным членом, равным 1. В этом случае $f^{\alpha }$ может быть определен либо композицией с биномиальным рядом (1+ x ) ^а , или композицией с экспоненциальным и логарифмическим рядом, $f^{\alpha }=\exp(\alpha \log(f)),$ или как решение дифференциального уравнения $f(f^{\alpha })'=\alpha f^{\alpha }f'$ с постоянным членом 1, причем три определения эквивалентны. Правила исчисления $(f^{\alpha })^{\beta }=f^{\alpha \beta }$ и $f^{\alpha }g^{\alpha }=(fg)^{\alpha }$ легко следовать.

Мультипликативное обратное

Серия

$A=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}\in R[[X]]$

обратима в $R[[X]]$ тогда и только тогда, когда его постоянный коэффициент $a_{0}$ обратима в $R$. Это условие необходимо по следующей причине: если предположить, что $A$ имеет обратную $B=b_{0}+b_{1}x+\cdots$ тогда постоянный член $a_{0}b_{0}$ из $A\cdot B$ – постоянный член тождественного ряда, т. е. равен 1. Это условие также является достаточным; мы можем вычислить коэффициенты обратного ряда $B$ с помощью явной рекурсивной формулы

${\begin{aligned}b_{0}&={\frac {1}{a_{0}}},\\b_{n}&=-{\frac {1}{a_{0}}}\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{n-i},\ \ \ n\geq 1.\end{aligned}}$

Важным частным случаем является то, что формула геометрической прогрессии справедлива в $R[[X]]$:

$(1-X)^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }X^{n}.$

Если $R=K$ является полем, то ряд обратим тогда и только тогда, когда постоянный член не равен нулю, т. е. тогда и только тогда, когда ряд не делится на $X$. Это означает, что $K[[X]]$ — кольцо дискретного нормирования с униформизирующим параметром $X$.

Дивизия

Вычисление частного $f/g=h$

${\frac {\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},$

предполагая, что знаменатель обратим (т. е. $a_{0}$ обратима в кольце скаляров), может быть представлена ​​в виде произведения $f$ и обратное $g$, или непосредственно приравнивая коэффициенты в $f=gh$:

$c_{n}={\frac {1}{a_{0}}}\left(b_{n}-\sum _{k=1}^{n}a_{k}c_{n-k}\right).$

Извлечение коэффициентов

Оператор извлечения коэффициентов, примененный к формальному степенному ряду

$f(X)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}$

в Х написано

$\left[X^{m}\right]f(X)$

и извлекает коэффициент X ^м , так что

$\left[X^{m}\right]f(X)=\left[X^{m}\right]\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{m}.$

Состав

Учитывая формальный степенной ряд

$f(X)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}X^{n}=a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots$

$g(X)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}X^{n}=b_{0}+b_{1}X+b_{2}X^{2}+\cdots ,$

можно составить композицию

$g(f(X))=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(f(X))^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}X^{n},$

где коэффициенты cn ₍ определяются путем «разложения» степеней f ) X :

$c_{n}:=\sum _{k\in \mathbb {N} ,|j|=n}b_{k}a_{j_{1}}a_{j_{2}}\cdots a_{j_{k}}.$

Здесь сумма распространяется на все ( k , j ) с $k\in \mathbb {N}$ и $j\in \mathbb {N} _{+}^{k}$ с $|j|:=j_{1}+\cdots +j_{k}=n.$

Более явное описание этих коэффициентов дает формула Фаа ди Бруно , по крайней мере, в том случае, когда кольцо коэффициентов представляет собой поле характеристики 0 .

Композиция действительна только тогда, когда $f(X)$ не имеет постоянного члена , так что каждый $c_{n}$ зависит только от конечного числа коэффициентов $f(X)$ и $g(X)$. Другими словами, сериал для $g(f(X))$ в топологии сходится $R[[X]]$.

Пример

Предположим, что кольцо $R$ имеет характеристику 0, а ненулевые целые числа обратимы в $R$. Если мы обозначим через $\exp(X)$ формальный степенной ряд

$\exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}+\cdots ,$

тогда выражение

$\exp(\exp(X)-1)=1+X+X^{2}+{\frac {5X^{3}}{6}}+{\frac {5X^{4}}{8}}+\cdots$

имеет смысл как формальный степенной ряд. Однако заявление

$\exp(\exp(X))\ {\stackrel {?}{=}}\ e\exp(\exp(X)-1)\ =\ e+eX+eX^{2}+{\frac {5eX^{3}}{6}}+\cdots$

не является допустимым применением операции композиции для формальных степенных рядов. Скорее, это сбивает с толку понятия конвергенции в $R[[X]]$ и конвергенция в $R$; действительно, кольцо $R$ может даже не содержать никакого числа $e$ с соответствующими свойствами.

Композиция обратная

Всякий раз, когда официальная серия

$f(X)=\sum _{k}f_{k}X^{k}\in R[[X]]$

имеет f ₀ = 0 и f ₁ является обратимым элементом R , существует ряд

$g(X)=\sum _{k}g_{k}X^{k}$

это обратная композиция , $f$, то есть составление $f$ с $g$ дает ряд, представляющий тождественную функцию $x=0+1x+0x^{2}+0x^{3}+\cdots$. Коэффициенты $g$ могут быть найдены рекурсивно, используя приведенную выше формулу для коэффициентов композиции, приравнивая их к коэффициентам идентичности композиции X (то есть 1 в степени 1 и 0 в каждой степени, большей 1). В случае, когда кольцо коэффициентов представляет собой поле характеристики 0, формула обращения Лагранжа (обсуждаемая ниже) предоставляет мощный инструмент для вычисления коэффициентов g , а также коэффициентов (мультипликативных) степеней g .

Формальная дифференциация

Учитывая формальный степенной ряд

$f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],$

мы определяем его формальную производную , обозначаемую Df или f ′, через

$Df=f'=\sum _{n\geq 1}a_{n}nX^{n-1}.$

Символ D называется оператором формального дифференцирования . Это определение просто имитирует почленное дифференцирование полинома.

Эта операция является R - линейной :

$D(af+bg)=a\cdot Df+b\cdot Dg$

для любых a , b в R и любых f , g в $R[[X]].$ Кроме того, формальная производная обладает многими свойствами обычной производной исчисления. Например, правило продукта действует :

$D(fg)\ =\ f\cdot (Dg)+(Df)\cdot g,$

и правило цепочки тоже работает:

$D(f\circ g)=(Df\circ g)\cdot Dg,$

всякий раз, когда определены соответствующие составы серий (см. выше раздел «Состав серий »).

Таким образом, в этом отношении формальные степенные ряды ведут себя как ряды Тейлора . Действительно, для f, определенного выше, мы находим, что

$(D^{k}f)(0)=k!a_{k},$

где Д ^к обозначает k- ю формальную производную (т.е. результат формального дифференцирования k раз).

Формальная

Если $R$ — кольцо с нулевой характеристикой, а ненулевые целые числа обратимы в $R$, тогда задан формальный степенной ряд

$f=\sum _{n\geq 0}a_{n}X^{n}\in R[[X]],$

мы определяем его формальную первообразную или формальный неопределенный интеграл по формуле

$D^{-1}f=\int f\ dX=C+\sum _{n\geq 0}a_{n}{\frac {X^{n+1}}{n+1}}.$

для любой константы $C\in R$.

Эта операция является R - линейной :

$D^{-1}(af+bg)=a\cdot D^{-1}f+b\cdot D^{-1}g$

для любых a , b в R и любых f , g в $R[[X]].$ Кроме того, формальная первообразная обладает многими свойствами обычной первообразной исчисления. Например, формальная первообразная является правой обратной формальной производной:

$D(D^{-1}(f))=f$

для любого $f\in R[[X]]$.

Свойства

кольца формальных степенных

$R[[X]]$ является ассоциативной алгеброй над $R$ в котором находится кольцо $R[X]$ полиномов по $R$; полиномы соответствуют последовательностям, оканчивающимся нулями.

Джекобсона Радикал ​ $R[[X]]$ идеал , порожденный $X$ и радикал Джекобсона $R$; это подразумевается критерием обратимости элемента, обсуждавшимся выше.

Максимальные идеалы ​ $R[[X]]$ все возникают из-за тех, кто в $R$ следующим образом: идеал $M$ из $R[[X]]$ является максимальным тогда и только тогда, когда $M\cap R$ является максимальным идеалом $R$ и $M$ порождается как идеал $X$ и $M\cap R$.

Некоторые алгебраические свойства $R$ наследуются $R[[X]]$:

• если $R$ это локальное кольцо , то так оно и есть $R[[X]]$ (с множеством неединиц - единственным максимальным идеалом),
• если $R$ нётерово , то и так $R[[X]]$ (вариант базовой теоремы Гильберта ),
• если $R$ является областью целостности , то также $R[[X]]$, и
• если $K$ это поле , то $K[[X]]$ — кольцо дискретного нормирования .

кольца формальных степенных

Метрическое пространство $(R[[X]],d)$ завершен ​ .

Кольцо $R[[X]]$ компактен , тогда и только тогда R конечно когда . Это следует из теоремы Тихонова и характеристики топологии на $R[[X]]$ как топология продукта.

Препарат Вейерштрасса

Основная статья: Подготовительная теорема Вейерштрасса § Формальные степенные ряды в полных локальных кольцах

Кольцо формальных степенных рядов с коэффициентами в полном локальном кольце удовлетворяет подготовительной теореме Вейерштрасса .

Приложения

Формальные степенные ряды можно использовать для решения повторяющихся задач, возникающих в теории чисел и комбинаторике. Пример поиска выражения в замкнутой форме для чисел Фибоначчи см. в статье « Примеры производящих функций» .

Можно использовать формальные степенные ряды, чтобы доказать несколько отношений, знакомых из анализа, в чисто алгебраическом контексте. Рассмотрим, например, следующие элементы $\mathbb {Q} [[X]]$:

$\sin(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}$

$\cos(X):=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}$

Тогда можно будет показать, что

$\sin ^{2}(X)+\cos ^{2}(X)=1,$

${\frac {\partial }{\partial X}}\sin(X)=\cos(X),$

$\sin(X+Y)=\sin(X)\cos(Y)+\cos(X)\sin(Y).$

Последний действителен на ринге $\mathbb {Q} [[X,Y]].$

Для K кольцо поля $K[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]$ часто используется как «стандартное, наиболее общее» полное локальное кольцо над K в алгебре.

степенных рядов как

В математическом анализе каждый сходящийся степенной ряд определяет функцию со значениями в действительных или комплексных числах. Формальные степенные ряды над некоторыми специальными кольцами также можно интерпретировать как функции, но нужно быть осторожными с областью определения и кодоменом . Позволять

$f=\sum a_{n}X^{n}\in R[[X]],$

и предположим $S$ является коммутативной ассоциативной алгеброй над $R$, $I$ является идеалом в $S$ такая, что I-адическая топология на $S$ является полным, и $x$ является элементом $I$. Определять:

$f(x)=\sum _{n\geq 0}a_{n}x^{n}.$

Этот ряд гарантированно сходится в $S$ учитывая вышеизложенные предположения о $x$. Кроме того, у нас есть

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$

и

$(fg)(x)=f(x)g(x).$

В отличие от случая с истинными функциями, эти формулы не являются определениями, а требуют доказательства.

Поскольку топология на $R[[X]]$ это $(X)$-адическая топология и $R[[X]]$ является полным, мы можем, в частности, применять степенные ряды к другим степенным рядам при условии, что аргументы не имеют постоянных коэффициентов (так что они принадлежат идеальному $(X)$): $f(0)$, $f(X^{2}-X)$ и $f((1-X)^{-1}-1)$ все четко определены для любого формального степенного ряда $f\in R[[X]].$

С помощью этого формализма мы можем дать явную формулу для мультипликативного обращения степенного ряда $f$ постоянный коэффициент которого $a=f(0)$ обратима в $R$:

$f^{-1}=\sum _{n\geq 0}a^{-n-1}(a-f)^{n}.$

Если формальный степенной ряд $g$ с $g(0)=0$ неявно задается уравнением

$f(g)=X$

где $f$ – известный степенной ряд с $f(0)=0$, то коэффициенты $g$ может быть явно вычислено с использованием формулы обращения Лагранжа .

Обобщения

Лорана

Формальный ряд Лорана по кольцу $R$ определяются аналогично формальным степенным рядам, за исключением того, что мы также допускаем конечное число членов отрицательной степени. То есть это ряды, которые можно записать как

$f=\sum _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n}$

для некоторого целого числа $N$, так что существует лишь конечное число отрицательных $n$ с $a_{n}\neq 0$. (Это отличается от классического ряда Лорана комплексного анализа .) Для ненулевого формального ряда Лорана минимальное целое число $n$ такой, что $a_{n}\neq 0$ называется порядком ​ $f$ и обозначается $\operatorname {ord} (f).$ (Порядок нулевого ряда равен $+\infty$.)

Можно определить умножение таких рядов. Действительно, аналогично определению формального степенного ряда, коэффициент при $X^{k}$ двух рядов с соответствующими последовательностями коэффициентов $\{a_{n}\}$ и $\{b_{n}\}$ является

$$\sum _{i\in \mathbb {Z} }a_{i}b_{k-i}.$$

Эта сумма имеет лишь конечное число ненулевых членов из-за предполагаемого обращения в нуль коэффициентов при достаточно отрицательных индексах.

Формальные ряды Лорана образуют кольцо формальных рядов Лорана над $R$, обозначенный $R((X))$. Оно равно локализации кольца $R[[X]]$ формальных степенных рядов по множеству положительных степеней $X$. Если $R=K$ это поле , то $K((X))$ на самом деле это поле, которое альтернативно может быть получено как поле дробей области целостности $K[[X]]$.

Как и в случае с $R[[X]]$, кольцо $R((X))$ формальных рядов Лорана можно придать структуру топологического кольца введением метрики

$$d(f,g)=2^{-\operatorname {ord} (f-g)}.$$

Формальное дифференцирование формальных рядов Лорана можно определить естественным (почленным) способом. А именно, формальная производная формального ряда Лорана $f$ выше это

$$f'=Df=\sum _{n\in \mathbb {Z} }na_{n}X^{n-1},$$

что снова является формальным рядом Лорана. Если $f$ является непостоянным формальным рядом Лорана и с коэффициентами в поле характеристики 0, то имеем

$$\operatorname {ord} (f')=\operatorname {ord} (f)-1.$$

Однако в целом это не так, поскольку фактор $n$ для члена низшего порядка может быть равно 0 в $R$.

Формальный остаток

Предположим, что $K$ является полем характеристики 0. Тогда отображение

$D\colon K((X))\to K((X))$

определенное выше, представляет собой $K$- вывод , удовлетворяющий

$\ker D=K$

$\operatorname {im} D=\left\{f\in K((X)):[X^{-1}]f=0\right\}.$

Последнее показывает, что коэффициент $X^{-1}$ в $f$ представляет особый интерес; это называется формальным остатком $f$ и обозначил $\operatorname {Res} (f)$. Карта

$\operatorname {Res} :K((X))\to K$

является $K$-линейна, и согласно приведенному выше наблюдению имеется точная последовательность

$0\to K\to K((X)){\overset {D}{\longrightarrow }}K((X))\;{\overset {\operatorname {Res} }{\longrightarrow }}\;K\to 0.$

Некоторые правила исчисления . Как совершенно прямое следствие приведенного выше определения и правил формального вывода, для любого $f,g\in K((X))$

1. $\operatorname {Res} (f')=0;$
2. $\operatorname {Res} (fg')=-\operatorname {Res} (f'g);$
3. $\operatorname {Res} (f'/f)=\operatorname {ord} (f),\qquad \forall f\neq 0;$
4. $\operatorname {Res} \left((g\circ f)f'\right)=\operatorname {ord} (f)\operatorname {Res} (g),$ если $\operatorname {ord} (f)>0;$
5. $[X^{n}]f(X)=\operatorname {Res} \left(X^{-n-1}f(X)\right).$

Свойство (i) является частью точной последовательности, приведенной выше. Свойство (ii) следует из (i) применительно к $(fg)'=f'g+fg'$. Свойство (iii): любое $f$ можно записать в форме $f=X^{m}g$, с $m=\operatorname {ord} (f)$ и $\operatorname {ord} (g)=0$: затем $f'/f=mX^{-1}+g'/g.$ $\operatorname {ord} (g)=0$ подразумевает $g$ обратима в $K[[X]]\subset \operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),$ откуда $\operatorname {Res} (f'/f)=m.$ Свойство (iv): Поскольку $\operatorname {im} (D)=\ker(\operatorname {Res} ),$ мы можем написать $g=g_{-1}X^{-1}+G',$ с $G\in K((X))$. Следовательно, $(g\circ f)f'=g_{-1}f^{-1}f'+(G'\circ f)f'=g_{-1}f'/f+(G\circ f)'$ и (iv) следует из (i) и (iii). Свойство (v) ясно из определения.

Формула

Основная статья: Теорема обращения Лагранжа

Как уже говорилось выше, любой формальный ряд $f\in K[[X]]$ с f ₀ = 0 и f ₁ ≠ 0 имеет обратную композицию $g\in K[[X]].$ Следующее соотношение между коэффициентами g ^н и е ^{- к} держится (" Формула обращения Лагранжа "):

$k[X^{k}]g^{n}=n[X^{-n}]f^{-k}.$

В частности, для n = 1 и всех k ≥ 1,

$[X^{k}]g={\frac {1}{k}}\operatorname {Res} \left(f^{-k}\right).$

Поскольку доказательство формулы обращения Лагранжа представляет собой очень короткое вычисление, стоит сообщить о нем здесь. Отмечая $\operatorname {ord} (f)=1$, мы можем применить приведенные выше правила исчисления, особенно Правило (iv), заменяющее $X\rightsquigarrow f(X)$, получить:

${\begin{aligned}k[X^{k}]g^{n}&\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(g^{n}X^{-k-1}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(iv)} }{=}}\ k\operatorname {Res} \left(X^{n}f^{-k-1}f'\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ -\operatorname {Res} \left(X^{n}(f^{-k})'\right)\\&\ {\stackrel {\mathrm {(ii)} }{=}}\ \operatorname {Res} \left(\left(X^{n}\right)'f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {chain} }{=}}\ n\operatorname {Res} \left(X^{n-1}f^{-k}\right)\ {\stackrel {\mathrm {(v)} }{=}}\ n[X^{-n}]f^{-k}.\end{aligned}}$

Обобщения. Можно заметить, что приведенное выше вычисление можно повторить в более общих условиях, чем K (( X )): обобщение формулы обращения Лагранжа уже доступно при работе в $\mathbb {C} ((X))$-модули $X^{\alpha }\mathbb {C} ((X)),$ где α — комплексный показатель. Как следствие, если f и g такие же, как указано выше, с $f_{1}=g_{1}=1$, мы можем связать комплексные степени f / X и g / X : именно, если α и β — ненулевые комплексные числа с отрицательной целой суммой, $m=-\alpha -\beta \in \mathbb {N} ,$ затем

${\frac {1}{\alpha }}[X^{m}]\left({\frac {f}{X}}\right)^{\alpha }=-{\frac {1}{\beta }}[X^{m}]\left({\frac {g}{X}}\right)^{\beta }.$

Например, таким образом можно найти степенной ряд для комплексных степеней функции Ламберта .

Степенной ряд от нескольких переменных

Могут быть определены формальные степенные ряды с любым количеством неопределенных (даже с бесконечным числом). Если I — множество индексов, а X _I — множество неопределенных величин X _i для i ∈ I , то моном X ^а — любое конечное произведение элементов X _I (повторение допускается); формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами из кольца R определяется любым отображением из множества мономов X ^а соответствующему коэффициенту c _α и обозначается ${\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }}$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается $R[[X_{I}]],$ и ему придается кольцевая структура путем определения

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }$

и

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\beta }d_{\beta }X^{\beta }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha +\beta }$

Топология

Топология на $R[[X_{I}]]$ такова, что последовательность ее элементов сходится только в том случае, если для каждого монома X ^а соответствующий коэффициент стабилизируется. Если I конечно, то это J -адическая топология, где J — идеал $R[[X_{I}]]$ порожденный всеми неопределенными из X _I . Это неверно, если I бесконечно. Например, если $I=\mathbb {N} ,$ тогда последовательность $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ с $f_{n}=X_{n}+X_{n+1}+X_{n+2}+\cdots$ не сходится ни к какой J -адической топологии на R , но, очевидно, для каждого монома соответствующий коэффициент стабилизируется.

Как отмечалось выше, топология на кольце повторяющихся формальных степенных рядов вида $R[[X]][[Y]]$ обычно выбирается таким образом, что оно становится изоморфным как топологическое кольцо $R[[X,Y]].$

Операции

Все операции, определенные для рядов с одной переменной, могут быть распространены на случай нескольких переменных.

• Ряд обратим тогда и только тогда, когда его постоянный член обратим R. в
• Композиция f ( g ( X )) двух серий f и g определяется, если f - ряд с одной неопределенной величиной, а постоянный член g равен нулю. Для ряда f, состоящего из нескольких неопределенных, аналогичным образом может быть определена форма «композиции», в которой вместо g будет столько отдельных серий , сколько имеется неопределенных.

В случае формальной производной теперь существуют отдельные операторы частной производной , которые дифференцируются по каждой из неопределенных величин. Они все ездят друг с другом.

Универсальная собственность

В случае нескольких переменных универсальное свойство, характеризующее $R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]$ становится следующим. Если S — коммутативная ассоциативная алгебра над , если I — идеал S такой, что I -адическая топология на S полна, и если x1 _R , …, xr _— элементы I , то существует единственное отображение $\Phi :R[[X_{1},\ldots ,X_{r}]]\to S$ со следующими свойствами:

• Φ — гомоморфизм R -алгебры
• Φ непрерывен
• Φ( Икс _я ) знак равно Икс _я для я знак равно 1, …, р .

Некоммутирующие переменные

Случай с несколькими переменными можно дополнительно обобщить, взяв некоммутирующие переменные X _i в качестве i ∈ I , где I — набор индексов, а затем моном X ^а любое слово в X _I ; формальный степенной ряд в X _I с коэффициентами из кольца R определяется любым отображением из множества мономов X ^а соответствующему коэффициенту c _α и обозначается $\textstyle \sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }$. Множество всех таких формальных степенных рядов обозначается R « X _I », и ему придается кольцевая структура путем определения поточечного сложения.

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)+\left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha }(c_{\alpha }+d_{\alpha })X^{\alpha }$

и умножение на

$\left(\sum _{\alpha }c_{\alpha }X^{\alpha }\right)\times \left(\sum _{\alpha }d_{\alpha }X^{\alpha }\right)=\sum _{\alpha ,\beta }c_{\alpha }d_{\beta }X^{\alpha }\cdot X^{\beta }$

где · обозначает объединение слов. Эти формальные степенные ряды над R образуют Магнуса над R. кольцо

На полукольце

Учитывая алфавит $\Sigma$ и полукольцо $S$. Формальный степенной ряд закончился $S$ поддерживается на языке $\Sigma ^{*}$ обозначается $S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle$. Он состоит из всех отображений $r:\Sigma ^{*}\to S$, где $\Sigma ^{*}$ — свободный моноид, порожденный непустым множеством $\Sigma$.

Элементы $S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle$ можно записать в виде формальных сумм

$r=\sum _{w\in \Sigma ^{*}}(r,w)w.$

где $(r,w)$ обозначает значение $r$ по слову $w\in \Sigma ^{*}$. Элементы $(r,w)\in S$ называются коэффициентами $r$.

Для $r\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle$ поддержка $r$ это набор

$\operatorname {supp} (r)=\{w\in \Sigma ^{*}|\ (r,w)\neq 0\}$

Ряд, в котором каждый коэффициент либо $0$ или $1$ называется характеристическим рядом его носителя.

Подмножество $S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle$ состоящий из всех рядов с конечным носителем, обозначается $S\langle \Sigma ^{*}\rangle$ и называются полиномами.

Для $r_{1},r_{2}\in S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle$ и $s\in S$, сумма $r_{1}+r_{2}$ определяется

$(r_{1}+r_{2},w)=(r_{1},w)+(r_{2},w)$

Продукт (Коши) $r_{1}\cdot r_{2}$ определяется

$(r_{1}\cdot r_{2},w)=\sum _{w_{1}w_{2}=w}(r_{1},w_{1})(r_{2},w_{2})$

Произведение Адамара $r_{1}\odot r_{2}$ определяется

$(r_{1}\odot r_{2},w)=(r_{1},w)(r_{2},w)$

И произведения по скалярной величине $sr_{1}$ и $r_{1}s$ к

$(sr_{1},w)=s(r_{1},w)$ и $(r_{1}s,w)=(r_{1},w)s$, соответственно.

С помощью этих операций $(S\langle \langle \Sigma ^{*}\rangle \rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )$ и $(S\langle \Sigma ^{*}\rangle ,+,\cdot ,0,\varepsilon )$ представляют собой полукольца, где $\varepsilon$ это пустое слово в $\Sigma ^{*}$.

Эти формальные степенные ряды используются для моделирования поведения взвешенных автоматов в теоретической информатике , когда коэффициенты $(r,w)$ ряда принимаются за вес пути с меткой $w$ в автоматах.

Замена набора индексов упорядоченной абелевой группой

Основная статья: сериал Хана

Предполагать $G$ - упорядоченная абелева группа, то есть абелева группа с полным порядком $<$ с учетом добавления группы, так что $a<b$ тогда и только тогда, когда $a+c<b+c$ для всех $c$. Пусть я — хорошо упорядоченное подмножество $G$, что означает, что я не содержит бесконечной нисходящей цепи. Рассмотрим множество, состоящее из

$\sum _{i\in I}a_{i}X^{i}$

для всех таких я , с $a_{i}$ в коммутативном кольце $R$, где мы предполагаем, что для любого набора индексов, если все $a_{i}$ равны нулю, то сумма равна нулю. Затем $R((G))$ — кольцо формальных степенных рядов на $G$; из-за того, что набор индексов упорядочен, произведение корректно определено, и мы, конечно, предполагаем, что два элемента, отличающиеся на ноль, одинаковы. Иногда обозначения $[[R^{G}]]$ используется для обозначения $R((G))$.

Различные свойства $R$ перевод в $R((G))$. Если $R$ это поле, то и оно $R((G))$. Если $R$ это упорядоченное поле, мы можем заказать $R((G))$ установив для любого элемента тот же знак, что и его старший коэффициент, определяемый как наименьший элемент набора индексов, который я ассоциировал с ненулевым коэффициентом. Наконец, если $G$ является делимой группой и $R$ является реальным замкнутым полем , то $R((G))$ является реальным замкнутым полем, и если $R$ , алгебраически замкнуто то и $R((G))$.

Эта теория принадлежит Гансу Хану , который также показал, что подполя получаются, когда количество (ненулевых) терминов ограничено некоторой фиксированной бесконечной мощностью.

Примеры и связанные темы

• Ряды Белла используются для изучения свойств мультипликативных арифметических функций.
• Формальные группы используются для определения абстрактного группового закона с использованием формальных степенных рядов.
• Ряды Пюизо являются расширением формальных рядов Лорана, позволяющим дробные показатели.
• Рациональная серия

См. также

• Кольцо серии ограниченной мощности

Ссылки

• Берстель, Жан ; Ройтенауэр, Кристоф (2011). Некоммутативные рациональные ряды с приложениями . Энциклопедия математики и ее приложений. Том. 137. Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-19022-0 . Збл   1250.68007 .
• Николя Бурбаки : Алгебра , IV, §4. Спрингер-Верлаг 1988.

Дальнейшее чтение

• В. Куич. Полукольца и формальные степенные ряды: их отношение к формальным языкам и теории автоматов. В редакторах Г. Розенберга и А. Саломаа, «Справочник по формальным языкам», том 1, глава 9, страницы 609–677. Шпрингер, Берлин, 1997 г., ISBN   3-540-60420-0
• Дросте М. и Куич В. (2009). Полукольца и формальный степенной ряд. Справочник по взвешенным автоматам , 3–28. дои : 10.1007/978-3-642-01492-5_1
• Арто Саломаа (1990). «Формальные языки и степенные ряды». Ян ван Леувен (ред.). Формальные модели и семантика . Справочник по теоретической информатике. Том. Б. Эльзевир. стр. 103–132. ISBN  0-444-88074-7 .