Подготовительная теорема Вейерштрасса

В математике инструментом подготовительная теорема Вейерштрасса для работы с аналитическими функциями нескольких комплексных переменных в заданной точке P. является В нем говорится, что такая функция, с точностью до умножения на функцию, не нулевую в точке P , является многочленом от одной фиксированной переменной z , которая является моникической , и коэффициенты точке P. которой при членах более низкой степени являются аналитическими функциями в остальных переменных и нулем в

Существует также ряд вариантов теоремы, которые расширяют идею факторизации в некотором кольце R как u · w , где u — единица , а w — своего рода выделенный полином Вейерштрасса . Карл Сигел оспорил приписывание этой теоремы Вейерштрассу , заявив, что она встречалась под нынешним названием в некоторых «Traités d'analyse» конца девятнадцатого века без оправдания.

Комплексные аналитические функции

Для одной переменной локальная форма аналитической функции f ( z ) вблизи 0 равна z ^кh ( z ), где h (0) не равен 0, а k — порядок нуля f в точке 0. Это результат, который обобщает подготовительная теорема. Мы выбираем одну переменную z , которая, как мы можем предположить, является первой, и записываем наши комплексные переменные как ( z , z ₂ , ..., z _n ). Полином Вейерштрасса W ( z ) — это

С ^к + г _{k −1} z ^{к -1} + ... + г ₀

где gi _{аналитическое} ( z ₂ , ..., n ₎ и gi _z (0, ..., 0) = 0.

Тогда теорема утверждает, что для аналитических функций f , если

е (0, ...,0) = 0,

и

ж ( z , z ₂ , ..., z _n )

поскольку в степенном ряду есть член, включающий только z , мы можем написать (локально около (0, ..., 0))

ж ( z , z ₂ , ..., z _п ) знак равно W ( z ) час ( z , z ₂ , ..., z _п )

где h аналитический, h (0, ..., 0) не равен 0, а W - полином Вейерштрасса.

Непосредственным следствием этого является то, что набор нулей f вблизи (0, ..., 0) можно найти, зафиксировав любые малые значения z ₂ , ..., z _n и затем решив уравнение W(z )=0 . Соответствующие значения z образуют ряд непрерывно меняющихся ветвей , количество которых равно степени W по z . В частности, f не может иметь изолированного нуля.

Теорема о делении

Связанным с этим результатом является теорема о делении Вейерштрасса , которая утверждает, что если f и g — аналитические функции, а g — полином Вейерштрасса степени N , то существует уникальная пара h и j такая, что f = gh + j , где j — это многочлен степени меньше N . Фактически, многие авторы доказывают препарат Вейерштрасса как следствие теоремы о делении. Также возможно доказать теорему деления на основе подготовительной теоремы, так что обе теоремы фактически эквивалентны. ^[1]

Приложения

Подготовительную теорему Вейерштрасса можно использовать, чтобы показать, что кольцо ростков аналитических функций от n переменных является нётеровым кольцом, которое также называют базовой теоремой Рюккерта . ^[2]

Плавные функции

Существует более глубокая подготовительная теорема для гладких функций , принадлежащая Бернару Мальгранжу , называемая подготовительной теоремой Мальгранжа . С ней также связана теорема деления, названная в честь Джона Мэзера .

Формальный степенной ряд в полных локальных кольцах

Аналогичный результат, также называемый подготовительной теоремой Вейерштрасса, имеется для кольца формальных степенных рядов над полными локальными кольцами A : ^[3] для любого степенного ряда $f=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}\in A[[t]]$ такое, что не все $a_{n}$ находятся в максимальном идеале ${\mathfrak {m}}$ из A существует единственная единица u в $A[[t]]$ и полином F вида $F=t^{s}+b_{s-1}t^{s-1}+\dots +b_{0}$ с $b_{i}\in {\mathfrak {m}}$ (так называемый выделенный многочлен) такой, что

f=uF.

С $A[[t]]$ снова является полным локальным кольцом, результат можно повторять и, следовательно, дает аналогичные результаты факторизации для формальных степенных рядов от нескольких переменных.

Например, это относится к кольцу целых чисел в p-адическом поле. В этом случае теорема гласит, что степенной ряд f ( z ) всегда можно однозначно факторизовать как π ^н· u ( z ) · p ( z ), где u ( z ) — единица в кольце степенных рядов, p ( z ) — отмеченный полином (монический, с коэффициентами неглавных членов каждого в максимальном идеал), а π — фиксированный униформизатор .

Применение теоремы Вейерштрасса о подготовке и делении кольца $\mathbf {Z} _{p}[[t]]$ (также называемая алгеброй Ивасавы ) встречается в теории Ивасавы при описании конечно порожденных модулей над этим кольцом. ^[4]

Существует некоммутативная версия деления и подготовки Вейерштрасса, в которой A не обязательно является коммутативным кольцом и с формальным косым степенным рядом вместо формального степенного ряда. ^[5]

Алгебры Тейта

Существует также подготовительная теорема Вейерштрасса для алгебр Тейта.

T_{n}(k)=\left\{\sum _{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}\geq 0}a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}X_{1}^{\nu _{1}}\cdots X_{n}^{\nu _{n}},|a_{\nu _{1},\dots ,\nu _{n}}|\to 0{\text{ for }}\nu _{1}+\dots +\nu _{n}\to \infty \right\}

над полным неархимедовым полем k . ^[6] Эти алгебры являются основными строительными блоками жесткой геометрии . Одним из применений этой формы подготовительной теоремы Вейерштрасса является тот факт, что кольца $T_{n}(k)$ являются нетеровцами .

См. также

Теорема Оки о когерентности

Ссылки

^ Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1971), Алгебры аналитического положения (на немецком языке), Springer, стр. 43, номер домена : 10.1007/978-3-642-65033-8 , ISBN 978-3-642-65034-5
^ Эбелинг, Вольфганг (2007), Функции нескольких комплексных переменных и их особенности , Предложение 2.19: Американское математическое общество {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Николя Бурбаки (1972), Коммутативная алгебра , глава VII, §3, вып. 9, Предложение 6: Германн {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Лоуренс Вашингтон (1982), Введение в круговые поля , Теорема 13.12: Спрингер {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )
^ Отмар Венякоб (2003). «Некоммутативная подготовительная теорема Вейерштрасса и приложения к теории Ивасавы» . Дж. Рейн Анжью. Математика . 2003 (559): 153–191. arXiv : math/0204358 . дои : 10.1515/crll.2003.047 . S2CID 14265629 . Проверено 27 января 2022 г. Теорема 3.1, следствие 3.2.
^ Босх, Зигфрид ; Гюнцер, Ульрих; Реммерт, Рейнхольд (1984), Неархимедов анализ , главы 5.2.1, 5.2.2: Спрингер {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

Льюис, Эндрю, Заметки о глобальном анализе
Сигел, CL (1969), «О доказательствах подготовительной теоремы Вейерштрасса», Теория чисел и анализ (Документы в честь Эдмунда Ландау) , Нью-Йорк: Пленум, стр. 297–306, MR 0268402 , перепечатано в Сигел, Карл Людвиг (1979), Чандрасекхаран, К.; Маасс, Х. (ред.), Сборник трактатов. Том IV , Берлин-Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 1–8, ISBN. 0-387-09374-5 , МР 0543842
Соломенцев, Е.Д. (2001) [1994], «Теорема Вейерштрасса» , Энциклопедия Математики , EMS Press
Стикельбергер, Л. (1887), «Об одной теореме г-на Нётера» , Mathematical Annals , 30 (3): 401–409, doi : 10.1007/BF01443952 , S2CID 121360367
Вейерштрасс, К. (1895), Математические труды. II. Papers 2 , Берлин: Майер и Мюллер, стр. 135–142 , перепечатано Джонсоном, Нью-Йорк, 1967.

Внешние ссылки

Лебл, Иржи (6 июля 2021 г.). «Теоремы о подготовке и делении Вейерштрасса. (5 сентября 2021 г.)» . Либретексты .

[1] Грауэрт, Ганс ; Реммерт, Рейнхольд (1971), Алгебры аналитического положения (на немецком языке), Springer, стр. 43, номер домена : 10.1007/978-3-642-65033-8 , ISBN 978-3-642-65034-5

[2] Эбелинг, Вольфганг (2007), Функции нескольких комплексных переменных и их особенности , Предложение 2.19: Американское математическое общество {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[3] Николя Бурбаки (1972), Коммутативная алгебра , глава VII, §3, вып. 9, Предложение 6: Германн {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[4] Лоуренс Вашингтон (1982), Введение в круговые поля , Теорема 13.12: Спрингер {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[5] Отмар Венякоб (2003). «Некоммутативная подготовительная теорема Вейерштрасса и приложения к теории Ивасавы» . Дж. Рейн Анжью. Математика . 2003 (559): 153–191. arXiv : math/0204358 . дои : 10.1515/crll.2003.047 . S2CID 14265629 . Проверено 27 января 2022 г. Теорема 3.1, следствие 3.2.

[6] Босх, Зигфрид ; Гюнцер, Ульрих; Реммерт, Рейнхольд (1984), Неархимедов анализ , главы 5.2.1, 5.2.2: Спрингер {{citation}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]