Jump to content

Жесткое аналитическое пространство

(Перенаправлено из «Жесткая геометрия »)

Тейт со своей стороны написал мне о своих рассказах об эллиптических кривых и спросил, есть ли у меня какие-либо идеи относительно глобального определения аналитических многообразий полных тел. Должен признаться, что я совершенно не понимал, почему его результаты позволяют предположить существование такого определения, и до сих пор отношусь к этому скептически.

Александр Гротендик в письме Жан-Пьеру Серру от 18 августа 1959 года , в котором выражается скептицизм по поводу существования теории Джона Тейта о глобальных аналитических многообразиях над полными полями.

В математике жесткое аналитическое пространство — это аналог комплексного аналитического пространства над неархимедовым полем . Такие пространства были введены Джоном Тейтом в 1962 году как результат его работы по униформизации p -адических эллиптических кривых с плохой редукцией с использованием мультипликативной группы . В отличие от классической теории p -адических аналитических многообразий , жесткие аналитические пространства допускают содержательные понятия аналитического продолжения и связности .

Определения

[ редактировать ]

Базовым жестким аналитическим объектом является n -мерный единичный поликруг , кольцом функций которого является алгебра Тейта. , составленный из степенных рядов от n переменных, коэффициенты которых приближаются к нулю в некотором полном неархимедовом поле k . Алгебра Тейта представляет собой пополнение кольца многочленов от n переменных по норме Гаусса (с учетом супремума коэффициентов), а полидиск играет роль, аналогичную роли аффинного n - пространства в алгебраической геометрии . Точки на поликруге определяются как максимальные идеалы в алгебре Тейта, и если k , алгебраически замкнуто они соответствуют точкам в чьи координаты имеют норму не более единицы.

Аффиноидная алгебра — это k - банахова алгебра , изоморфная фактору алгебры Тейта по идеалу . Тогда аффиноидом называется подмножество единичного полидиска, на котором элементы этого идеала обращаются в нуль, т. е. это множество максимальных идеалов, содержащее рассматриваемый идеал. Топология допустимых аффиноидов является тонкой, в ней используются понятия аффиноидных подобластей (которые удовлетворяют свойству универсальности по отношению к отображениям аффиноидных алгебр) и открытых множеств (которые удовлетворяют условию конечности покрытий аффиноидными подобластями). Фактически допустимые отверстия в аффиноиде, вообще говоря, не наделяют его структурой топологического пространства , но образуют топологию Гротендика (называемую G -топологией), и это позволяет определить хорошие понятия пучков и склейки. пространств.

Жесткое аналитическое пространство над k — это пара описывающее локально окольцованное G -топологизированное пространство с пучком k -алгебр, такое, что существует покрытие открытыми подпространствами, изоморфными аффиноидам. Это аналогично представлению о том, что многообразия покрываются открытыми подмножествами, изоморфными евклидову пространству, или что схемы покрываются аффинами. Схемы над k можно анализировать функториально, так же, как многообразия над комплексными числами можно рассматривать как комплексные аналитические пространства, и существует аналогичная формальная GAGA теорема . Функтор анализа учитывает конечные пределы.

Другие составы

[ редактировать ]

Примерно в 1970 году Мишель Рейно дал интерпретацию некоторых жестких аналитических пространств как формальных моделей, т. е. как типичных слоев формальных схем над кольцом нормирования R поля k . В частности, он показал, что категория квазикомпактных квазиотдельных жестких пространств над k эквивалентна локализации категории квазикомпактных допустимых формальных схем над R относительно допустимых формальных раздутий. При этом формальная схема допустима, если она покрывается формальными спектрами топологически конечно определенных R- алгебр, локальные кольца которых R -плоские.

Формальные модели страдают от проблемы уникальности, поскольку раздутия позволяют более чем одной формальной схеме описывать одно и то же жесткое пространство. Чтобы решить эту проблему, Хубер разработал теорию адических пространств , приняв предел для всех раздутий. Эти пространства квазикомпактны, квазиразделены и функториальны в жестком пространстве, но лишены многих хороших топологических свойств.

Владимир Беркович переформулировал большую часть теории жестких аналитических пространств в конце 1980-х годов, используя обобщение понятия спектра Гельфанда для коммутативных единичных C* -алгебр . Спектр Берковича банаховой k -алгебры A представляет собой множество мультипликативных полунорм на A ограниченных относительно заданной нормы на k , и он имеет топологию, индуцированную вычислением этих полунорм на элементах A. , Поскольку топология отодвинута от реальной линии, спектры Берковича обладают множеством хороших свойств, таких как компактность, линейность и метризуемость. Многие теоретико-кольцевые свойства отражаются в топологии спектров, например, если A дедекинд , то его спектр сжимаем. Однако даже самые простые пространства имеют тенденцию быть громоздкими: проективная линия над C p представляет собой компактификацию индуктивного предела аффинных зданий Брюа–Титса для PGL 2 ( F ), поскольку F меняется на конечных расширениях Q p , когда здания имеют достаточно грубую топологию .

См. также

[ редактировать ]
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 8ae194588dba3009a95be20ab7da0521__1649779680
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/8a/21/8ae194588dba3009a95be20ab7da0521.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Rigid analytic space - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)