Геометрическая жесткость

Чтобы узнать о жесткой геометрии, см. «Жесткое аналитическое пространство» . Другие понятия жесткости в геометрии см. в разделе «Теорема о жесткости Мостоу» и «Жесткость (математика)» .

В дискретной геометрии геометрическая жесткость — это теория, позволяющая определить, имеет ли система геометрических ограничений (GCS) конечное число $d$-мерные решения, или каркасы , в некотором метрическом пространстве . Структура GCS жесткая в $d$-размеры, для заданного $d$ если это изолированное решение GCS, исключающее набор тривиальных движений или изометрическую группу метрического пространства, например, сдвигов и вращений в евклидовом пространстве . Другими словами, жесткие рамки $(G,p)$ ГСК не имеет поблизости каркаса НСК, достижимого посредством нетривиального непрерывного движения $(G,p)$ который сохраняет ограничения GCS. Структурная жесткость — это еще одна теория жесткости, которая касается универсальных каркасов , то есть каркасов, свойства жесткости которых репрезентативны для всех каркасов с одинаковым графом ограничений . Результаты по геометрической жесткости применимы ко всем каркасам; в частности, к неуниверсальным фреймворкам.

Слева: обобщенно-жесткий граф в $\mathbb {R} ^{2}$. Назначение края $(b,d)$ расстояние $0$ В результате получается семейство нетиповых гибких систем стержневых соединений. Справа: гибкая основа такой системы.

Геометрическая жесткость была впервые исследована Эйлером , который предположил, что все многогранники в $3$-размеры жесткие. Большая работа была проделана для доказательства этой гипотезы, что привело к множеству интересных результатов, обсуждаемых ниже. Однако в конце концов был найден контрпример. Существуют также некоторые общие результаты по жесткости без комбинаторных компонентов, поэтому они связаны как с геометрической, так и с структурной жесткостью.

Определения

Приведенные ниже определения, которые можно найти в относятся к конструкциям со стержневыми соединениями в $d$-мерное евклидово пространство и при необходимости будет обобщено для других структур и метрических пространств . Рассмотрим связь $(G,\delta )$, т.е. граф ограничений $G=(V,E)$ с ограничениями по расстоянию $\delta$ назначенные его краям, а конфигурационное пространство ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ состоящий из каркасов $(G,p)$ из $(G,\delta )$. Рамки в ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ состоят из карт $p:V\rightarrow \mathbb {R} ^{d|V|}$ которые удовлетворяют

$\|p(u)-p(v)\|^{2}=\delta _{uv},$

для всех краев $(u,v)$ из $G$. Другими словами, $p$ это размещение вершин $G$ как указывает в $d$-размеры, удовлетворяющие всем ограничениям по расстоянию $\delta$. Конфигурационное пространство ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ является алгебраическим множеством .

Непрерывные и тривиальные движения. Непрерывное движение – это непрерывный путь в ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ которое описывает физическое движение между двумя структурами $(G,\delta )$ который сохраняет все ограничения. Тривиальное движение – это непрерывное движение, возникающее в результате $d+1 \choose 2$ Евклидовы изометрии , то есть сдвиги и вращения. В общем, любое метрическое пространство имеет набор тривиальных движений, исходящих из изометрической группы пространства.

Местная жесткость. Каркас ОСК называется локально жестким или просто жестким, если все ее непрерывные движения тривиальны.

Испытание на локальную жесткость является трудным для Co-NP .

Карта жесткости. Карта жесткости $\rho :\mathbb {R} ^{d|V|}\rightarrow \mathbb {R} ^{|E|}$ принимает рамки $(G,p)$ и выводит квадраты расстояний $\|p(u)-p(v)\|^{2}$ между всеми парами точек, соединенных ребром.

Матрица жесткости. Якобиан производная или карты жесткости дает систему линейных уравнений вида

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(v)-p'(u))=0,$

для всех краев $(u,v)$ из $G$. Матрица жесткости $R(G,p)$ это $|E|\times d|V|$ матрица, которая кодирует информацию в этих уравнениях. Каждый край $G$ соответствует ряду $R(G,p)$ и каждая вершина соответствует $d$ столбцы $R(G,p)$. Строка, соответствующая ребру $(u,v)$ определяется следующим образом.

${\begin{bmatrix}\,&\dots &{\text{columns for }}u&\dots &{\text{columns for }}v&\dots \\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\,\\{\text{row for }}(u,v)&0\dots 0&p(u)-p(v)&0\dots 0&p(v)-p(u)&0\dots 0\\\vdots &\,&\,&\vdots &\,&\,\end{bmatrix}}$

Бесконечно малое движение. Бесконечно малое движение — это задание $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ скоростей к вершинам каркаса $(G,p)$ такой, что $R(G,p)p'=0$. Следовательно, ядром матрицы жесткости является пространство бесконечно малых движений. Тривиальное бесконечно малое движение определяется аналогично тривиальному непрерывному движению.

Стресс. Стресс – это задание $\omega :E\rightarrow \mathbb {R}$ до краев рамки $(G,p)$. Ударение считается правильным, если его элементы неотрицательны, и является самонапряжением, если оно удовлетворяет $\omega R(G,p)=0$. Напряжение, удовлетворяющее этому уравнению, также называют разрешимым напряжением, равновесным напряжением, предварительным напряжением или иногда просто напряжением.

Матрица стресса. Для стресса $\omega$ наносится на края каркаса $(G,p)$ с графом ограничений $G=(V,E)$, определить $|V|\times |V|$ матрица напряжений $\Omega$ как

$\Omega _{uv}={\begin{cases}-\omega _{uv}&{\text{if }}u\neq v\\\sum _{v\in V}{\omega _{uv}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$.

Легко проверить, что для любых двух $p,q\in \mathbb {R} ^{d|V|}$ и любой стресс $\omega$,

$\omega R(p)q=p^{T}\Omega q.$

Матрица жесткости как линейное преобразование

Информацию в этом разделе можно найти. Матрицу жесткости можно рассматривать как линейное преобразование из $\mathbb {R} ^{d|V|}$ к $\mathbb {R} ^{|E|}$. Областью этого преобразования является множество $1\times d|V|$ векторы-столбцы, называемые векторами скорости или смещения, обозначаемые $p'$, а изображение представляет собой набор $1\times |E|$ векторы краевых искажений, обозначаемые $e'$. Записи вектора $p'$ скорости, присвоенные вершинам каркаса $(G,p)$, и уравнение $R(G,p)p'=e'$ описывает, как края сжимаются или растягиваются в результате этих скоростей.

Двойственное линейное преобразование приводит к другой физической интерпретации. Кодоменой линейного преобразования является множество $1\times |E|$ векторы-столбцы или напряжения, обозначаемые $\omega$, которые создают напряжение $\omega _{uv}$ к каждому краю $(u,v)$ структуры $(G,p)$. Стресс $\omega _{uv}$ прикладывает силы к вершинам $(u,v)$ равные по величине, но противоположные по направлению, в зависимости от того, $(u,v)$ сжимается или растягивается $\omega _{uv}$. Рассмотрим уравнение $\omega ^{T}R(p)=f,$ где $f$ это $1\times d|V|$ вектор. Члены слева, соответствующие $d$ столбцы вершины $v$ в $R(p)$ дать запись в $f$ это чистая сила $f_{v}$ применяется к $v$ напряжениями на ребрах, падающих на $v$. Следовательно, областью двойственного линейного преобразования является набор напряжений на ребрах, а изображением — набор результирующих сил на вершинах. Чистая сила $f$ можно рассматривать как способность противодействовать или разрешать силу $-f$, поэтому образ двойственного линейного преобразования на самом деле представляет собой набор разрешимых сил.

Связь между этими двойными линейными преобразованиями описывается работой, совершаемой вектором скорости $p'$ под чистой силой $f$:

$W=fp'=(\omega R(p))p'=\omega (R(p)p')=\omega e',$

где $\omega$ это стресс и $e'$ это краевое искажение. С точки зрения матрицы напряжений это уравнение, приведенное выше, принимает вид $W=p^{T}\Omega p'$.

Типы жесткости

В этом разделе рассматриваются различные типы жесткости и их взаимосвязь. Для получения дополнительной информации см.

Иерархия жесткости.

Бесконечно малая жесткость

Бесконечно малая жесткость — это самая сильная форма жесткости, которая не позволяет каркасу допускать даже нетривиальные бесконечно малые движения. Ее также называют жесткостью первого порядка из-за ее связи с матрицей жесткости. Точнее, рассмотрим линейные уравнения

$(p(u)-p(v))\cdot (p'(u)-p'(v))=0$

полученное из уравнения $R(G,p)p'=0$. Эти уравнения показывают, что проекции скоростей $p'(u)$ и $p'(v)$ на край $(u,v)$ отменить. Каждое из следующих утверждений достаточно для $d$-мерная структура должна быть бесконечно жесткой в $d$-размеры:

• все его бесконечно малые движения тривиальны;
• размерность ядра $R(p)$ является $d+1 \choose 2$; или
• ранг $R(p)$ является $d|V|-{d+1 \choose 2}$.

В общем, любой тип структуры является бесконечно жестким в $d$-размерности, если пространство его бесконечно малых движений является пространством тривиальных бесконечно малых движений метрического пространства. Следующая теорема Азимова и Рота связывает бесконечно малую жесткость и жесткость.

Теорема. Если каркас бесконечно жесткий, то он жесткий.

Обратное утверждение этой теоремы, вообще говоря, неверно; однако это верно для общих жестких каркасов (относительно бесконечно малой жесткости), см. Комбинаторные характеристики типично жестких графов .

Статическая жесткость

А $d$трехмерный каркас $(G,p)$ является статически жестким в $d$-размеры, если каждый вектор силы $f$ на вершинах $(G,p)$ которое ортогонально тривиальным движениям, может быть решено с помощью чистой силы некоторого собственного напряжения $\omega$; или записано математически, для каждого такого вектора силы $f$ существует правильный стресс $\omega$ такой, что

$f+\omega R(p)=0.$

Аналогично, ранг $R(p)$ должно быть $d|V|-{d+1 \choose 2}$. Статическая жесткость эквивалентна бесконечно малой жесткости.

Жесткость второго порядка

Жесткость второго порядка слабее бесконечно малой и статической жесткости. Вторая производная карты жесткости состоит из уравнений вида

$(p(u)-p(v))\cdot (p''(u)-p''(v))+(p'(u)-p'(v))\cdot (p'(u)-p'(v))=0.$

Вектор $p''$ присваивает ускорение каждой вершине каркаса $(G,p)$. Эти уравнения можно записать в виде матриц: $R(p)p''=-R(p')p'$,где $R(p')$ определяется аналогично матрице жесткости. Каждое из следующих утверждений достаточно для $d$-мерная структура должна быть жесткой второго порядка по $d$-размеры:

• каждая пара решений $(p',p'')$ к приведенному выше уравнению состоит из тривиального бесконечно малого движения $p'$;
• для всякого нетривиального бесконечно малого движения $p'$, ускорения нет $p''$ удовлетворяющее приведенному выше уравнению; или
• для каждого нетривиального бесконечно малого движения $p'$, существует некоторое равновесное напряжение $\omega$ такой, что $\omega ^{T}R(p')p'>0$.

Третье утверждение показывает, что для каждого такого $p'$, $R(p')p'$ не находится в диапазоне столбцов $R(p)$, т. е. это не краевое искажение, возникающее в результате $p'$. Это следует из альтернативы Фредгольма : поскольку диапазон столбцов $R(p)$ ортогонален ядру $R(p)^{T}$, т. е. совокупность равновесных напряжений, либо $R(p)p''=-R(p')p'$ для некоторого ускорения $p''$ или существует равновесное напряжение $\omega$ удовлетворяющее третьему условию. Третье условие можно записать через матрицу напряжений: $p'^{T}\Omega p'>0$. Решение для $\omega$ является нелинейной задачей $p'$ без известного эффективного алгоритма.

Преднапряженная стабильность

Устойчивость к предварительному напряжению слабее, чем бесконечно малая и статическая жесткость, но выше, чем жесткость второго порядка. Рассмотрим третье достаточное условие жесткости второго порядка. А $d$трехмерный каркас $(G,p)$ стабильно предварительное напряжение, если существует равновесное напряжение $\omega$ такая, что для всех нетривиальных скоростей $p'$, $p'^{T}\Omega p'>0$. Стабильность предварительного напряжения можно проверить с помощью методов полуопределенного программирования .

Глобальная жесткость

А $d$трехмерный каркас $(G,p)$ связи $(G,\delta )$ является глобально жестким в $d$-размеры всех фреймворков в пространстве конфигурации ${\mathcal {C}}(G,\delta )$ эквивалентны с точностью до тривиальных движений, т. е., исключая тривиальные движения, существует только одна структура $(G,\delta )$.

Теорема. Глобальная жесткость — это общее свойство графов.

Минимальная жесткость

А $d$трехмерный каркас $(G,p)$ является минимально жестким в $d$-размеры, если $(G,p)$ является жестким и удаляет любые края из $(G,p)$ в результате получается нежёсткая структура.

Повышенная жесткость

Существует два типа избыточной жесткости: жесткость с избыточностью вершин и жесткость с избыточностью ребер. А $d$трехмерный каркас $(G,p)$ является избыточно жестким в $d$-размеры, если $(G,p)$ является жестким и удаляет любые края из $(G,p)$ приводит к созданию еще одной жесткой структуры. Вершинно-избыточная жесткость определяется аналогично.

Жесткость для различных типов каркасов

Многогранники

В этом разделе рассматривается жесткость многогранников в $3$-размерности, см. в многогранных системах определение этого типа ГКС . Многогранник является жестким, если лежащий в его основе стержневой каркас является жестким. Одним из первых результатов о жесткости была гипотеза Эйлера , сделанная в 1766 году.

Гипотеза. Замкнутая пространственная фигура не допускает никаких изменений, пока она не разорвана на части.

Много работы было потрачено на доказательство этой гипотезы, ложность которой теперь доказана контрпримерами. Первый крупный результат был получен Коши в 1813 году и известен как теорема Коши .

Теорема Коши. существует изометрия Если между поверхностями двух строго выпуклых многогранников , являющаяся изометрией на каждой из граней, то эти два многогранника конгруэнтны.

В доказательстве Коши были небольшие ошибки. Первое полное доказательство было дано в и был дан несколько обобщенный результат. Следующее следствие теоремы Коши связывает этот результат с жесткостью.

Строго выпуклый многогранный каркас, $2$-скелет жесткий.

Следствие. строго 2-скелет выпуклого многогранного каркаса в $3$-Размеры жесткие.

Другими словами, если рассматривать выпуклые многогранники как набор жестких пластин, т. е. как вариант корпусно -стержнешарнирного каркаса , то каркас является жестким. Следующий результат, полученный Брикаром в 1897 году, показывает, что условие строгой выпуклости можно отбросить для $2$-скелеты октаэдра .

Теорема. $2$-скелет любого многогранного каркаса октаэдра в $3$-Размеры жесткие. Однако существует каркас октаэдра, $1$-скелет не жесткий $3$-размеры.

Доказательство последней части этой теоремы показывает, что эти гибкие каркасы существуют благодаря самопересечениям. Прогресс в разработке гипотезы Эрлера не возобновлялся до конца 19 века. Следующая теорема и следствие касаются триангулированных многогранников.

Теорема. Если вершины вставлены в ребра строго выпуклого многогранника и грани триангулированы, то $1$-скелет полученного многогранника бесконечно мал.

Следствие. Если выпуклый многогранник в $3$-dimensions обладает тем свойством, что набор граней, содержащих данную вершину, не все лежат в одной плоскости, тогда $2$-скелет этого многогранника бесконечно мал.

Следующий результат показывает, что условие триангуляции в приведенной выше теореме необходимо.

Теорема. $1$-скелет строго выпуклого многогранника, вложенный в $3$-размеры, имеющие хотя бы одну нетреугольную грань, не являются жесткими.

Следующая гипотеза распространяет результат Коши на более общие многогранники.

Гипотеза. Два комбинаторно эквивалентных многогранника с равными соответствующими углами изогональны . двугранными

Эта гипотеза доказана для некоторых частных случаев. Следующий результат применим в общей ситуации, т. е. почти ко всем многогранникам с одинаковой комбинаторной структурой (см. Структурная жесткость) .

Теорема. Всякая замкнутая односвязная многогранная поверхность с $3$-мерная структура в общем случае жесткая.

Эта теорема показывает, что гипотеза Эйлера верна почти для всех многогранников. Однако был найден нетипичный многогранник, который не является жестким в $3$-размеры, опровергающие гипотезу. Этот многогранник топологически представляет собой сферу, что показывает, что приведенный выше общий результат является оптимальным. Подробности о том, как построить эти многогранники, можно найти в . Интересное свойство этого многогранника состоит в том, что его объем остается постоянным на любом пути непрерывного движения, что приводит к следующей гипотезе.

Гипотеза Беллоуза. Любая ориентируемая замкнутая многогранная поверхность изгибается с постоянным объемом.

Впервые эта гипотеза была доказана для сферических многогранников. а потом вообще.

Тенсегрити

Этот раздел посвящен жесткости тенсегрити , в системах тенсегрити определение этого типа ГКС см. .

Определения

Определения, приведенные ниже, можно найти в .

Бесконечно малое движение. Бесконечно малое движение каркаса тенсегрити. $(G,p)$ вектор скорости $p':V\rightarrow \mathbb {R} ^{d}$ такой, что для каждого ребра $(u,v)$ структуры,

• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$, если $(u,v)$ это бар;
• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\leq 0$, если $(u,v)$ это кабель; и
• $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})\geq 0$, если $(u,v)$ это стойка.

Движение второго порядка. Движение второго порядка структуры тенсегрити. $(G,p)$ это решение $(p',p'')$ к следующим ограничениям:

• Ограничение бара: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ и $\|p'_{u}-p'_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p''_{v})=0$;
• Ограничение кабеля: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ и $\|p'_{u}-p_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\leq 0$ или $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})<0$; и
• Ограничение кабеля: $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})=0$ и $\|p'_{u}-p_{v}\|^{2}+(p_{u}-p_{v})\cdot (p''_{u}-p'_{v})\geq 0$ или $(p_{u}-p_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0$.

Глобальная жесткость. ' А $d$трехмерная структура тенсегрити $(G,p)$ тенсегрити-ГСК является глобально жесткой в $d$-размеры, если все остальные $d$трехмерный каркас $(G,q)$ той же ГКС, в которой доминируют $(G,p)$ можно получить тривиальным движением $(G,p)$.

Универсальная жесткость. А $d$трехмерная структура тенсегрити $(G,p)$ тенсегрити-ГСК является универсально жесткой, если она глобально жестка в любом измерении.

Размерная жесткость. А $d$трехмерная структура тенсегрити $(G,p)$ ГКС тенсегрити является размерно жесткой в $d$-размеры, если есть другие $D$трехмерная структура тенсегрити $(G,q)$, для любого $D$ удовлетворяющий ограничениям GCS, имеет аффинную область размерности не более $d$.

Супер стабильный. А $d$трехмерная структура тенсегрити $(G,p)$ очень стабилен в $d$-размеры, если является жестким в $d$-размеры как у каркаса со стержневым соединением и наличие надлежащего равновесного напряжения $\omega$ такая, что матрица напряжений $\Omega$ положительно полуопределен и имеет ранг $|V|-d-1$.

Теоремы жесткости

Общие результаты.

Бесконечно малая жесткость не является общим свойством тенсегрити, см. Структурная жесткость . Другими словами, не все общие тенсегрити с одним и тем же графом ограничений обладают одинаковыми свойствами бесконечно малой жесткости. Следовательно, была проведена некоторая работа по выявлению конкретных классов графов, для которых бесконечно малая жесткость является общим свойством тенсегрити. Графы, удовлетворяющие этому условию, называются сильно жесткими. Проверка графа на высокую жесткость NP-сложна даже для $1$-измерение. Следующий результат приравнивает общую избыточную жесткость графов к бесконечно малым жестким тенсегрити.

Теорема. График $G$ имеет бесконечно жесткую структуру тенсегрити в $d$-размеры, для некоторого разбиения краев $G$ на стержни, тросы и стойки тогда и только тогда, когда $G$ в общем случае жестко избыточно по краям в $d$-размеры.

Два бесконечно жестких тенсегрити с поменянными местами стойками (отмеченные края) и тросами (пунктирные края).

Первый результат демонстрирует, когда жесткость и бесконечно малая жесткость тенсегрити эквивалентны.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерная структура тенсегрити, где: вершины $G$ реализуются в виде строго выпуклого многоугольника; стержни образуют цикл Гамильтона на границе этого многоугольника; и стоек нет. Затем, $(G,p)$ является жестким в $d$-размерности тогда и только тогда, когда она бесконечно жестка в $d$-размеры.

Следующее является необходимым условием жесткости.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерный каркас тенсегрити, по крайней мере, с одним тросом или стойкой. Если $(G,p)$ является жестким в $d$-размеры, то оно имеет ненулевое собственное равновесное напряжение.

Жесткость тенсегрити также можно записать в терминах стержневых каркасов следующим образом.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерный каркас тенсегрити, по крайней мере, с одним тросом или стойкой. Затем $(G,p)$ является бесконечно жестким в $d$-размеры, если он жесткий в $d$-размеры как у стержневого каркаса и имеет строгое необходимое напряжение.

Следующее является достаточным условием жесткости второго порядка.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерная структура тенсегрити. Если для всех нетривиальных бесконечно малых движений $p'$ из $(G,p)$, существует собственное равновесное напряжение $\omega$ такой, что

$\sum _{u,v\in V}\omega _{uv}(p'_{u}-p'_{v})\cdot (p'_{u}-p'_{v})>0,$

затем $(G,p)$ является жестким второго порядка.

Интересное применение тенсегрити – сферическая упаковка в многогранных контейнерах. Такую упаковку можно смоделировать как тенсегрити с перемычками между парами касательных сфер и между границами контейнера и касательными к ним сферами. Эта модель была изучена для расчета локальных максимальных плотностей этих упаковок.

Следующий результат демонстрирует, когда каркасы тенсегрити имеют одинаковые равновесные напряжения.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерная структура тенсегрити с правильным напряжением $\omega$ такая, что матрица напряжений $\Omega$ является положительно полуопределенным . Затем, $\omega$ это правильный стресс для всех $d$-мерные структуры тенсегрити, в которых доминируют $(G,p)$.

Теоремы глобальной жесткости

Следующее является достаточным условием глобальной жесткости общих структур тенсегрити, основанных на матрицах напряжений.

Теорема. Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерная общая структура тенсегрити с правильным равновесным напряжением $\omega$. Если матрица напряжений $\Omega$ имеет ранг $|V|-d-1$, затем $(G,p)$ является глобально жестким в $d$ размеры.

Хотя эта теорема относится к общей ситуации, она не предлагает комбинаторной характеристики общей глобальной жесткости, поэтому она не совсем является результатом структурной жесткости .

Универсальная и размерная жесткость

Позволять $(G,p)$ быть $d$-мерная общая структура тенсегрити, такая, что аффинный диапазон $p$ является $\mathbb {R} ^{d}$, с соответствующим равновесным напряжением $\omega$ и матрица напряжений $\Omega$. Конечное множество ненулевых векторов в $\mathbb {R} ^{d}$ лежат на бесконечной конике, если рассматривать их как точки в $(d-1)$В многомерном проективном пространстве они лежат на конике. Рассмотрим следующие три утверждения:

1. $\Omega$ является положительно полуопределенным.
2. $rank(\Omega )=|V|-d-1$.
3. Краевые направления $(G,p)$ с ненулевым напряжением и стержни не лежат на бесконечной конике.

Если утверждения 1 и 2 верны, то $(G,p)$ является размерно жестким в $d$-размеры, и если верно и утверждение 3, то $(G,p)$ является универсально жестким в $d$-размеры.