Серия с ограниченной мощностью

В алгебре кольцо ограниченных степенных рядов — это подкольцо формального кольца степенных рядов , состоящее из степенных рядов, коэффициенты которых приближаются к нулю при стремлении степени к бесконечности. ^{[ 1 ]} Над неархимедовым полным полем кольцо . также называется Тейта алгеброй Факторкольца кольца используются при изучении формального алгебраического пространства, а также при жестком анализе , причем последний над неархимедовыми полными полями.

Над дискретным топологическим кольцом кольцо ограниченных степенных рядов совпадает с кольцом многочленов ; таким образом, в этом смысле понятие «ограниченного степенного ряда» является обобщением многочлена .

Определение

Пусть A — линейно топологизированное кольцо , отделённое и полное, и $\{I_{\lambda }\}$ фундаментальная система открытых идеалов. Тогда кольцо ограниченных степенных рядов определяется как проективный предел колец многочленов над $A/I_{\lambda }$ :

A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]

. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}

Другими словами, это пополнение кольца многочленов $A[x_{1},\dots ,x_{n}]$ что касается фильтрации $\{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}$ . Иногда это кольцо ограниченных степенных рядов также обозначают $A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$ .

Понятно, что кольцо $A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle$ можно отождествить с подкольцом кольца формальных степенных рядов $A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ который состоит из серий $\sum c_{\alpha }x^{\alpha }$ с коэффициентами $c_{\alpha }\to 0$ ; то есть каждый $I_{\lambda }$ содержит все коэффициенты, кроме конечного числа $c_{\alpha }$ . Кроме того, кольцо удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальному свойству : ^{[ 4 ]} для (1) каждый непрерывный гомоморфизм колец $A\to B$ к линейно топологизированному кольцу $B$ , разделенные и полные и (2) каждый элемент $b_{1},\dots ,b_{n}$ в $B$ существует единственный непрерывный гомоморфизм колец

A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}

расширение $A\to B$ .

Алгебра Тейта

В жестком анализе , когда базовое кольцо A является кольцом нормирования полного неархимедова поля $(K,|\cdot |)$ , кольцо ограниченных степенных рядов, тензорированное с $K$ ,

T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K

называется алгеброй Тейта, названной в честь Джона Тейта . ^{[ 5 ]} Это эквивалентно подкольцу формального степенного ряда $k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]$ который состоит из рядов, сходящихся к ${\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}$ , где ${\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}$ — кольцо нормирования в алгебраическом замыкании ${\overline {k}}$ .

Максимальный спектр $T_{n}$ тогда это жестко-аналитическое пространство , которое моделирует аффинное пространство в жесткой геометрии .

Определить Гаусса норму $f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }$ в $T_{n}$ к

\|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.

Это делает $T_{n}$ банахова алгебра над k ; т. е. нормированная алгебра , полная как метрическое пространство . С этой нормой любой идеал $I$ из $T_{n}$ закрыто ^{[ 6 ]} и, таким образом, если I радикально, частное $T_{n}/I$ также является (редуцированной) банаховой алгеброй, называемой аффиноидной алгеброй .

Некоторые ключевые результаты:

(дивизия Вейерштрасса) лейтенант $g\in T_{n}$ быть $\xi _{n}$ -выделенная серия ордена s ; то есть, $g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }$ где $g_{\nu }\in T_{n-1}$ , $g_{s}$ является единичным элементом и $|g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|$ для $\nu >s$ . ^{[ 7 ]} Тогда для каждого $f\in T_{n}$ , существует уникальный $q\in T_{n}$ и уникальный полином $r\in T_{n-1}[\xi _{n}]$ степени $<s$ такой, что
$f=qg+r.$ ^{[ 8 ]}
( препарат Вейерштрасса ) Как и выше, пусть $g$ быть $\xi _{n}$ -выделенная серия ордена s . Тогда существует единственный монический полином $f\in T_{n-1}[\xi _{n}]$ степени $s$ и единичный элемент $u\in T_{n}$ такой, что $g=fu$ . ^{[ 9 ]}
(Нетеровская нормализация) Если ${\mathfrak {a}}\subset T_{n}$ является идеалом, то существует конечный гомоморфизм $T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}$ . ^{[ 10 ]}

Как следствие разделения, подготовительных теорем и нормализации Нётер, $T_{n}$ — нётерова уникальная факторизационная область размерности Крулла n . ^{[ 11 ]} Справедлив аналог Nullstellensatz Гильберта : радикал идеала — это пересечение всех максимальных идеалов, содержащих этот идеал (мы говорим, что кольцо Якобсона). ^{[ 12 ]}

Результаты

Результаты для колец полиномов, такие как лемма Гензеля , алгоритмы деления (или теория базисов Грёбнера ), также верны для кольца ограниченных степенных рядов. На протяжении всего раздела пусть A обозначает линейно топологизированное кольцо, отделённое и полное.

(Хензель) Пусть ${\mathfrak {m}}\subset A$ быть максимальным идеалом и $\varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}$ факторная карта. Учитывая $F$ в $A\langle \xi \rangle$ , если $\varphi (F)=gh$ для некоторого монического многочлена $g\in k[\xi ]$ и ограниченный степенной ряд $h\in k\langle \xi \rangle$ такой, что $g,h$ сгенерировать идеал единичный $k\langle \xi \rangle$ , то существуют $G$ в $A[\xi ]$ и $H$ в $A\langle \xi \rangle$ такой, что
$F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h$ . ^{[ 13 ]}