Серия с ограниченной мощностью
В алгебре кольцо ограниченных степенных рядов — это подкольцо формального кольца степенных рядов , состоящее из степенных рядов, коэффициенты которых приближаются к нулю при стремлении степени к бесконечности. [1] Над неархимедовым полным полем кольцо также называется алгеброй Тейта . Факторкольца кольца используются при изучении формального алгебраического пространства , а также при жестком анализе , причем последний над неархимедовыми полными полями.
Над дискретным топологическим кольцом кольцо ограниченных степенных рядов совпадает с кольцом полиномов ; таким образом, в этом смысле понятие «ограниченного степенного ряда» является обобщением многочлена .
Определение [ править ]
Пусть A — линейно топологизированное кольцо , отделённое и полное, и фундаментальная система открытых идеалов. Тогда кольцо ограниченных степенных рядов определяется как проективный предел колец многочленов над :
Другими словами, это пополнение кольца многочленов что касается фильтрации . Иногда это кольцо ограниченных степенных рядов также обозначается как .
Понятно, что кольцо можно отождествить с подкольцом кольца формальных степенных рядов который состоит из серий с коэффициентами ; то есть каждый содержит все коэффициенты, кроме конечного числа . Кроме того, кольцо удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальному свойству : [4] для (1) каждый непрерывный гомоморфизм колец к линейно топологизированному кольцу , разделенные и полные и (2) каждый элемент в существует единственный непрерывный гомоморфизм колец
расширение .
Алгебра Тейта [ править ]
В жестком анализе , когда базовое кольцо A является кольцом нормирования полного неархимедова поля , кольцо ограниченных степенных рядов, тензорированное с ,
называется алгеброй Тейта, названной в честь Джона Тейта . [5] Это эквивалентно подкольцу формального степенного ряда который состоит из рядов, сходящихся к , где — кольцо нормирования в алгебраическом замыкании .
Максимальный спектр тогда это жестко-аналитическое пространство , которое моделирует аффинное пространство в жесткой геометрии .
Определить норму Гаусса в к
Это делает банахова алгебра над k ; т. е. нормированная алгебра как , полная метрическое пространство . С этой нормой любой идеал из закрыто [6] и, таким образом, если I радикально, частное также является (редуцированной) банаховой алгеброй, называемой аффиноидной алгеброй .
Некоторые ключевые результаты:
- (дивизия Вейерштрасса) лейтенант быть -выделенная серия ордена s ; то есть, где , является единичным элементом и для . [7] Тогда для каждого , существует уникальный и уникальный полином степени такой, что
- ( препарат Вейерштрасса ) Как и выше, пусть быть -выделенная серия ордена s . Тогда существует единственный монический полином степени и единичный элемент такой, что . [9]
- (Нетеровская нормализация) Если является идеалом, то существует конечный гомоморфизм . [10]
Как следствие разделения, подготовительных теорем и нормализации Нётер, — нётерова уникальная факторизационная область размерности Крулла n . [11] Справедлив аналог Nullstellensatz Гильберта : радикал идеала — это пересечение всех максимальных идеалов, содержащих этот идеал (мы говорим, что кольцо Якобсона). [12]
Результаты [ править ]
![]() | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив это . ( апрель 2020 г. ) |
Результаты для колец полиномов, такие как лемма Гензеля , алгоритмы деления (или теория базисов Грёбнера ), также верны для кольца ограниченных степенных рядов. На протяжении всего раздела пусть A обозначает линейно топологизированное кольцо, отделённое и полное.
- (Хензель) Пусть максимальный идеал и факторная карта. Учитывая в , если для некоторого монического многочлена и ограниченный степенной ряд такой, что сгенерировать идеал единичный , то существуют в и в такой, что
- . [13]
Примечания [ править ]
- ^ Проект Stacks, тег 0AKZ .
- ^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. 0, § 7.5.1.
- ^ Бурбаки 2006 , Гл. III, § 4. Определение 2 и предложение 3.
- ^ Гротендик и Дьедонне 1960 , гл. 0, § 7.5.3.
- ^ Fujiwara & Kato 2018 , Глава 0, сразу после предложения 9.3.
- ^ Бош 2014 , § 2.3. Следствие 8
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Определение 6.
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Теорема 8.
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Следствие 9.
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Следствие 11.
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Предложение 14, Предложение 15, Предложение 17.
- ^ Бош 2014 , § 2.2. Предложение 16.
- ^ Бурбаки 2006 , Гл. III, § 4. Теорема 1.
Ссылки [ править ]
- Бурбаки, Н. (2006). Коммутативная алгебра: Главы 1-4 . Шпрингер Берлин Гейдельберг. ISBN 9783540339373 .
- Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР 0217083 .
- Босх, Зигфрид; Гюнцер, Ульрих; Реммерт, Рейнхольд (1984), «Глава 5», Неархимедов анализ , Спрингер
- Босх, Зигфрид (2014), Лекции по формальной и жесткой геометрии , ISBN 9783319044170
- Фудзивара, Казухиро, Като, Фумихару (2018), Основы жесткой геометрии I;