Серия с ограниченной мощностью

В алгебре кольцо ограниченных степенных рядов — это подкольцо формального кольца степенных рядов , состоящее из степенных рядов, коэффициенты которых приближаются к нулю при стремлении степени к бесконечности. Над неархимедовым полным полем кольцо также называется алгеброй Тейта . Факторкольца кольца используются при изучении формального алгебраического пространства , а также при жестком анализе , причем последний над неархимедовыми полными полями.

Над дискретным топологическим кольцом кольцо ограниченных степенных рядов совпадает с кольцом полиномов ; таким образом, в этом смысле понятие «ограниченного степенного ряда» является обобщением многочлена .

Определение

Пусть A — линейно топологизированное кольцо , отделённое и полное, и $\{I_{\lambda }\}$фундаментальная система открытых идеалов. Тогда кольцо ограниченных степенных рядов определяется как проективный предел колец многочленов над $A/I_{\lambda }$:

$A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle =\varprojlim _{\lambda }A/I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]$.

Другими словами, это пополнение кольца многочленов $A[x_{1},\dots ,x_{n}]$ что касается фильтрации $\{I_{\lambda }[x_{1},\dots ,x_{n}]\}$. Иногда это кольцо ограниченных степенных рядов также обозначается как $A\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$.

Понятно, что кольцо $A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle$ можно отождествить с подкольцом кольца формальных степенных рядов $A[[x_{1},\dots ,x_{n}]]$ который состоит из серий $\sum c_{\alpha }x^{\alpha }$ с коэффициентами $c_{\alpha }\to 0$; то есть каждый $I_{\lambda }$ содержит все коэффициенты, кроме конечного числа $c_{\alpha }$. Кроме того, кольцо удовлетворяет (и фактически характеризуется) универсальному свойству : для (1) каждый непрерывный гомоморфизм колец $A\to B$ к линейно топологизированному кольцу $B$, разделенные и полные и (2) каждый элемент $b_{1},\dots ,b_{n}$ в $B$существует единственный непрерывный гомоморфизм колец

$A\langle x_{1},\dots ,x_{n}\rangle \to B,\,x_{i}\mapsto b_{i}$

расширение $A\to B$.

Алгебра Тейта

В жестком анализе , когда базовое кольцо A является кольцом нормирования полного неархимедова поля $(K,|\cdot |)$, кольцо ограниченных степенных рядов, тензорированное с $K$,

$T_{n}=K\langle \xi _{1},\dots \xi _{n}\rangle =A\langle \xi _{1},\dots ,\xi _{n}\rangle \otimes _{A}K$

называется алгеброй Тейта, названной в честь Джона Тейта . Это эквивалентно подкольцу формального степенного ряда $k[[\xi _{1},\dots ,\xi _{n}]]$ который состоит из рядов, сходящихся к ${\mathfrak {o}}_{\overline {k}}^{n}$, где ${\mathfrak {o}}_{\overline {k}}:=\{x\in {\overline {k}}:|x|\leq 1\}$ — кольцо нормирования в алгебраическом замыкании ${\overline {k}}$.

Максимальный спектр ​ $T_{n}$ тогда это жестко-аналитическое пространство , которое моделирует аффинное пространство в жесткой геометрии .

Определить норму Гаусса $f=\sum a_{\alpha }\xi ^{\alpha }$ в $T_{n}$ к

$\|f\|=\max _{\alpha }|a_{\alpha }|.$

Это делает $T_{n}$банахова алгебра над k ; т. е. нормированная алгебра как , полная метрическое пространство . С этой нормой любой идеал $I$ из $T_{n}$ закрыто и, таким образом, если I радикально, частное $T_{n}/I$ также является (редуцированной) банаховой алгеброй, называемой аффиноидной алгеброй .

Некоторые ключевые результаты:

• (дивизия Вейерштрасса) лейтенант $g\in T_{n}$ быть $\xi _{n}$-выделенная серия ордена s ; то есть, $g=\sum _{\nu =0}^{\infty }g_{\nu }\xi _{n}^{\nu }$ где $g_{\nu }\in T_{n-1}$, $g_{s}$ является единичным элементом и $|g_{s}|=\|g\|>|g_{v}|$ для $\nu >s$. Тогда для каждого $f\in T_{n}$, существует уникальный $q\in T_{n}$ и уникальный полином $r\in T_{n-1}[\xi _{n}]$ степени ​ $<s$ такой, что

  $f=qg+r.$

• ( препарат Вейерштрасса ) Как и выше, пусть $g$ быть $\xi _{n}$-выделенная серия ордена s . Тогда существует единственный монический полином $f\in T_{n-1}[\xi _{n}]$ степени $s$ и единичный элемент $u\in T_{n}$ такой, что $g=fu$.
• (Нетеровская нормализация) Если ${\mathfrak {a}}\subset T_{n}$ является идеалом, то существует конечный гомоморфизм $T_{d}\hookrightarrow T_{n}/{\mathfrak {a}}$.

Как следствие разделения, подготовительных теорем и нормализации Нётер, $T_{n}$ — нётерова уникальная факторизационная область размерности Крулла n . Справедлив аналог Nullstellensatz Гильберта : радикал идеала — это пересечение всех максимальных идеалов, содержащих этот идеал (мы говорим, что кольцо Якобсона).

Результаты

Результаты для колец полиномов, такие как лемма Гензеля , алгоритмы деления (или теория базисов Грёбнера ), также верны для кольца ограниченных степенных рядов. На протяжении всего раздела пусть A обозначает линейно топологизированное кольцо, отделённое и полное.

• (Хензель) Пусть ${\mathfrak {m}}\subset A$ максимальный идеал и $\varphi :A\to k:=A/{\mathfrak {m}}$факторная карта. Учитывая $F$ в $A\langle \xi \rangle$, если $\varphi (F)=gh$ для некоторого монического многочлена $g\in k[\xi ]$ и ограниченный степенной ряд $h\in k\langle \xi \rangle$ такой, что $g,h$ сгенерировать идеал единичный $k\langle \xi \rangle$, то существуют $G$ в $A[\xi ]$ и $H$ в $A\langle \xi \rangle$ такой, что

  $F=GH,\,\varphi (G)=g,\varphi (H)=h$.

Ссылки

• Бурбаки, Н. (2006). Коммутативная алгебра: Главы 1-4 . Шпрингер Берлин Гейдельберг. ISBN  9783540339373 .
• Гротендик, Александр ; Дьедонне, Жан (1960). «Элементы алгебраической геометрии: I. Язык диаграмм» . Публикации IHÉS по математике . 4 . дои : 10.1007/bf02684778 . МР   0217083 .
• Босх, Зигфрид; Гюнцер, Ульрих; Реммерт, Рейнхольд (1984), «Глава 5», Неархимедов анализ , Спрингер
• Босх, Зигфрид (2014), Лекции по формальной и жесткой геометрии , ISBN  9783319044170
• Фудзивара, Казухиро, Като, Фумихару (2018), Основы жесткой геометрии I;

См. также

• Подготовительная теорема Вейерштрасса

Внешние ссылки

• https://ncatlab.org/nlab/show/restricted+formal+power+series
• http://math.stanford.edu/~conrad/papers/aws.pdf
• https://web.archive.org/web/20060916051553/http://www-math.mit.edu/~kedlaya//18.727/tate-algebras.pdf