Подготовительная теорема Мальгранжа

В математике подготовительная теорема Мальгранжа является аналогом подготовительной теоремы Вейерштрасса для гладких функций . Она была высказана Рене Томом и доказана Б. Мальгранжем ( 1962–1963 , 1964 , 1967 ).

Формулировка подготовительной теоремы Мальгранжа

Предположим, что f ( t , x ) — гладкая комплексная функция от t ∈ R и x ∈ R. ^н вблизи начала координат, и пусть k — наименьшее целое число такое, что

$f(0,0)=0,{\partial f \over \partial t}(0,0)=0,\dots ,{\partial ^{k-1}f \over \partial t^{k-1}}(0,0)=0,{\partial ^{k}f \over \partial t^{k}}(0,0)\neq 0.$

Тогда одна из форм подготовительной теоремы утверждает, что вблизи начала координат f можно записать как произведение гладкой функции c , отличной от нуля в начале координат, и гладкой функции, которая как функция от t является многочленом степени k . Другими словами,

$f(t,x)=c(t,x)\left(t^{k}+a_{k-1}(x)t^{k-1}+\cdots +a_{0}(x)\right)$

где функции c и a гладкие, а c не равен нулю в начале координат.

Вторая форма теоремы, иногда называемая теоремой деления Мазера , представляет собой своего рода теорему о «делении с остатком»: она гласит, что если f и k удовлетворяют указанным выше условиям, а g — гладкая функция вблизи начала координат, то мы можем написать

$g=qf+r$

где q и r как функция t r k является многочленом степени меньше гладкие, и . Это означает, что

$r(x)=\sum _{0\leq j<k}t^{j}r_{j}(x)$

для некоторых гладких функций r _j ( x ).

Две формы теоремы легко подразумевают друг друга: первая форма представляет собой частный случай формы «деление с остатком», где g равно t. ^к , а деление с формой остатка следует из первой формы теоремы, поскольку мы можем предположить, что f как функция от t является многочленом степени k .

Если функции f и g вещественны, то функции c , a , q и r также можно считать вещественными. В случае подготовительной теоремы Вейерштрасса эти функции однозначно определяются посредством f и g , но для подготовительной теоремы Мальгранжа единственность уже не сохраняется.

Доказательство подготовительной теоремы Мальгранжа.

Подготовительную теорему Мальгранжа можно вывести из подготовительной теоремы Вейерштрасса. Очевидный способ сделать это не работает: хотя гладкие функции имеют разложение в формальный степенной ряд в начале координат, а подготовительная теорема Вейерштрасса применима к формальным степенным рядам , формальные степенные ряды обычно не сходятся к гладким функциям вблизи начала координат. Вместо этого можно использовать идею разложения гладкой функции как суммы аналитических функций, применяя разбиение единицы к ее преобразованию Фурье.Доказательство в этом направлении см. ( Mather 1968 ) или ( Hörmander 1983a , раздел 7.5).

Алгебраическая версия подготовительной теоремы Мальгранжа

Подготовительную теорему Мальгранжа можно переформулировать как теорему о модулях над кольцами гладких вещественнозначных ростков . Если X — многообразие с p ∈ X , пусть C ^∞ _p ( X ) обозначает кольцо вещественных ростков гладких функций в точке p на X . Пусть M _p ( X единственный максимальный идеал C ) обозначает ^∞ _p ( X ), состоящее из ростков, исчезающих в точке p. Пусть А будет С ^∞ _p ( X )-модуль, и пусть f : X → Y — гладкая функция между многообразиями. Пусть q = f ( p ). f индуцирует кольцевой гомоморфизм f ^* : С ^∞ _q (Y) → С ^∞ _p ( X ) по композиции справа с f . Таким образом, мы можем рассматривать A как C. ^∞ _q ( ​​Y )-модуль. Тогда подготовительная теорема Мальгранжа гласит, что если A — конечно порожденный C ^∞ _p ( X )-модуль, то A — конечно порожденный C ^∞ _q ( ​​Y )-модуль тогда и только тогда, когда A / M _q ( Y )A — конечномерное вещественное векторное пространство.

Ссылки

• Голубицкий, Мартин ; Гиймен, Виктор (1973), Стабильные отображения и их особенности , Тексты для аспирантов по математике 14, Springer-Verlag , ISBN  0-387-90073-Х
• Хёрмандер, Л. (1983a), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, ISBN  978-3-540-00662-6
• Мальгранж, Бернар (1962–1963), Подготовительная теорема в дифференцируемой геометрии I – IV , Семинар Анри Картана , 1962/63, том. 11–14, Математический секретариат, Париж, MR   0160234
• Мальгранж, Бернар (1964), Подготовительная теорема для дифференцируемых функций. 1964 Дифференциальный анализ, Бомбейский коллоквиум. , Лондон: Оксфордский университет. Пресс, стр. 203–208, МР   0182695.
• Мальгранж, Бернар (1967), Идеалы дифференцируемых функций , Институт фундаментальных исследований в области математики Таты, том. 3, Лондон: Oxford University Press, стр. vii+106, MR   0212575.
• Мазер, Джон Н. (1968), «Стабильность C ^∞ отображения. I. Теорема деления.», Ann. of Math. , 2, 87 (1), The Annals of Mathematics, Vol. 87, No. 1: 89–104, doi : 10.2307/1970595 , JSTOR   1970595 , MR   0232401