алгебра Ивасавы

В математике алгебра Ивасавы Λ( G ) проконечной группы G представляет собой вариацию группового G кольца с p -адическими коэффициентами топологию G. , учитывающими Точнее, Λ( G ) является обратным пределом групповых колец Z _p ( G / H ), когда H пробегает открытые нормальные подгруппы группы G . Коммутативные алгебры Ивасавы были введены Ивасавой ( 1959 ) в его исследовании Z _p- расширений в теории Ивасавы , а некоммутативные алгебры Ивасавы компактных p -адических аналитических групп были введены Лазардом (1965) .

Ивасавы p целых чисел Алгебра - адических

В частном случае, когда проконечная группа G изоморфна аддитивной группе кольца p -адических целых чисел Z _p , алгебра Ивасавы Λ( G ) изоморфна кольцу формального степенного ряда Z _p [[ T ]] в одной переменной над Z _p . Изоморфизм задается путем отождествления 1 + T с топологическим генератором G . Это кольцо является двумерным полным нётеровым регулярным локальным кольцом и, в частности, уникальной областью факторизации .

над полным локальным кольцом следует Из подготовительной теоремы Вейерштрасса для формальных степенных рядов , что простые идеалы этого кольца таковы:

Высота 0: нулевой идеал.
Высота 1: идеал ( p ) и идеалы, порожденные неприводимыми выделенными полиномами (многочленами со старшим коэффициентом 1 и всеми остальными коэффициентами, делящимися на p ).
Высота 2: максимальный идеал ( p , T ).

Конечно сгенерированные модули [ править ]

Ранг Z конечно порожденного модуля — это количество раз, когда в нем встречается модуль p _[ [ T ]]. Это четко определено и является аддитивным для коротких точных последовательностей конечно порожденных модулей. Ранг конечно порожденного модуля равен нулю тогда и только тогда, когда модуль является модулем кручения, что происходит тогда и только тогда, когда размерность носителя не превышает 1.

Многие модули над этой алгеброй, встречающиеся в теории Ивасавы, представляют собой конечно порожденные торсионные модули. Структуру таких модулей можно описать следующим образом. Квазиизоморфизм модулей - это гомоморфизм, ядро и коядро которого являются конечными группами, другими словами, модулями с пустым носителем или простым идеалом высоты 2. Для любого конечно порожденного периодического модуля существует квазиизоморфизм конечной суммы модулей вида Z _p [[ T ]]/( f ^н) где f является генератором простого идеала высоты 1. Более того, количество раз, когда любой модуль Z _p [[ T ]]/( f ) встречается в модуле, четко определено и не зависит от композиционного ряда. Таким образом, торсионный модуль имеет характеристический степенной ряд , формальный степенной ряд, определяемый произведением степенного ряда f ^н, однозначно определяемый с точностью до умножения на единицу. Идеал, порожденный характеристическим степенным рядом, называется характеристическим идеалом модуля Ивасавы. В более общем смысле любой генератор характеристического идеала называется характеристическим степенным рядом.

µ -инвариант конечно-порожденного периодического модуля — это количество раз, когда в нем встречается модуль Z _p [[ T ]]/( p ). Этот инвариант аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных периодических модулей (хотя он не аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных модулей). Он обращается в нуль тогда и только тогда, когда конечно порожденный периодический модуль конечно порожден как модуль над подкольцом Z _p . λ -инвариант представляет собой сумму степеней встречающихся выделенных многочленов. Другими словами, если модуль псевдоизоморфен

\bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})

где f _j — выделенные многочлены, то

\mu =\sum _{i}\mu _{i}

и

\lambda =\sum _{j}m_{j}\deg(f_{j}).

С точки зрения характеристического степенного ряда, µ-инвариант представляет собой минимум ( p -адических) оценок коэффициентов, а λ-инвариант представляет собой степень T , при которой этот минимум впервые возникает.

Если ранг, µ-инвариант и λ-инвариант конечно порожденного модуля равны нулю, модуль конечен (и наоборот); другими словами, лежащая в его основе абелева группа является конечной абелевой p -группой. Это конечно порожденные модули, носитель которых имеет размерность не более 0. Такие модули артиновы и имеют четко определенную длину, которая конечна и аддитивна на коротких точных последовательностях.

Теорема Ивасавы [ править ]

Обозначим ν _n для элемента 1+γ+γ ²+...+с ^{п ^н–1}где γ — топологический генератор Γ. Ивасава ( 1959 ) показал, что если X — конечно порожденный периодический модуль над алгеброй Ивасавы и X /ν _n X имеет порядок p ^e_в затем

e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+c

для достаточно большого n , где µ, λ и c зависят только от X , а не от n . Первоначальный аргумент Ивасавы был ad hoc, и Серр (1958) указал, что результат Ивасавы можно вывести из стандартных результатов о структуре модулей над целозамкнутыми нётеровыми кольцами, такими как алгебра Ивасавы.

В частности, это относится к случаю, когда en _— наибольшая степень p , делящая порядок группы идеальных классов кругового поля, порожденной корнями из единицы порядка p ^{п +1}. Теорема Ферреро –Вашингтона утверждает, что в этом случае µ=0.

некоммутативные алгебры Ивасавы Алгебры высшего ранга и

Более общие алгебры Ивасавы имеют вид

\Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]

где G — компактная p -адическая группа Ли. Вышеописанный случай соответствует $G=\mathbf {Z} _{p}$ . Классификация модулей по $\Lambda (G)$ с точностью до псевдоизоморфизма возможен в случае $G=\mathbf {Z} _{p}^{n}.$ ^[1]

Для некоммутативного G , $\Lambda (G)$ -модули классифицируются до так называемых псевдонулевых модулей. ^[2]

Ссылки [ править ]

^ Бурбаки, Николя (1972), Коммутативная алгебра , Париж: Герман , Теоремы 4, 5, §VII.4.4.
^ Коутс, Джон; Шнайдер, Питер; Суджата, Рамдораи (2003), «Модули над алгебрами Ивасавы», J. Inst. Математика. Жюссье , 2 (1): 73–108, arXiv : math/0110342 , doi : 10.1017/S1474748003000045 , Zbl 1061.11060

Ардаков, К.; Браун, К.А. (2006), «Теоретико-кольцевые свойства алгебр Ивасавы: обзор» , Documenta Mathematica : 7–33, arXiv : math/0511345 , Bibcode : 2005math.....11345A , ISSN 1431-0635 , MR 2290583
Ивасава, Кенкичи (1959), «О Γ-расширениях полей алгебраических чисел», Бюллетень Американского математического общества , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN 0002 -9904 , МР 0124316
Лазар, Мишель (1965), «P-адические аналитические группы» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 26 (26): 389–603, ISSN 1618-1913 , MR 0209286
Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), «Глава 5», Когомологии числовых полей , Основы математических наук, том. 323 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-66671-4 , МР 1737196 , Збл 0948.11001
Серр, Жан-Пьер (1958), «Классы круговых тел (по К. Ивасаве) Exp.174», Семинар Бурбаки, Vol. 5 , Париж: Математическое общество Франции , стр. 83–93, МР 1603459

[1] Бурбаки, Николя (1972), Коммутативная алгебра , Париж: Герман , Теоремы 4, 5, §VII.4.4.

[2] Коутс, Джон; Шнайдер, Питер; Суджата, Рамдораи (2003), «Модули над алгебрами Ивасавы», J. Inst. Математика. Жюссье , 2 (1): 73–108, arXiv : math/0110342 , doi : 10.1017/S1474748003000045 , Zbl 1061.11060

[1]

[2]