алгебра Ивасавы

В математике алгебра Ивасавы Λ( G ) проконечной группы G представляет собой вариацию группового кольца G коэффициентами , с p -адическими топологию G. учитывающими Точнее, Λ( G ) является обратным пределом групповых колец Z _p ( G / H ), когда H пробегает открытые нормальные подгруппы группы G . Коммутативные алгебры Ивасавы были введены Ивасавой ( 1959 ) в его исследовании Z _p- расширений в теории Ивасавы , а некоммутативные алгебры Ивасавы компактных p -адических аналитических групп были введены Лазардом (1965) .

Ивасавы p адических целых

В частном случае, когда проконечная группа G изоморфна аддитивной группе кольца p целых чисел Zp _, алгебра Ивасавы Λ( G ) изоморфна кольцу формального степенного ряда Zp _{- адических} [[ T ]] в одной переменной над Z _p . Изоморфизм задается путем отождествления 1 + T с топологическим генератором G . Это кольцо является двумерным полным нётеровым регулярным локальным кольцом и, в частности, уникальной областью факторизации .

над полным локальным кольцом следует Из подготовительной теоремы Вейерштрасса для формальных степенных рядов , что простые идеалы этого кольца таковы:

• Высота 0: нулевой идеал.
• Высота 1: идеал ( p ) и идеалы, порожденные неприводимыми выделенными полиномами (многочленами со старшим коэффициентом 1 и всеми остальными коэффициентами, делящимися на p ).
• Высота 2: максимальный идеал ( p , T ).

Конечно сгенерированные модули

Ранг Z конечно порожденного модуля — это количество раз, когда в нем встречается модуль p _[ [ T ]]. Это четко определено и является аддитивным для коротких точных последовательностей конечно порожденных модулей. Ранг конечно порожденного модуля равен нулю тогда и только тогда, когда модуль является модулем кручения, что происходит тогда и только тогда, когда размерность носителя не превышает 1.

Многие из модулей этой алгебры, встречающихся в теории Ивасавы, представляют собой конечно порожденные торсионные модули. Структуру таких модулей можно описать следующим образом. Квазиизоморфизм модулей - это гомоморфизм, ядро ​​и коядро которого являются конечными группами, другими словами, модулями с пустым носителем или простым идеалом высоты 2. Для любого конечно порожденного периодического модуля существует квазиизоморфизм конечной суммы модулей вида Z _p [[ T ]]/( f ^н ) где f является генератором простого идеала высоты 1. Более того, количество раз, когда любой модуль Z _p [[ T ]]/( f ) встречается в модуле, четко определено и не зависит от композиционного ряда. Таким образом, торсионный модуль имеет характеристический степенной ряд , формальный степенной ряд, определяемый произведением степенного ряда f ^н , однозначно определяемый с точностью до умножения на единицу. Идеал, порожденный характеристическим степенным рядом, называется характеристическим идеалом модуля Ивасавы. В более общем смысле любой генератор характеристического идеала называется характеристическим степенным рядом.

µ -инвариант конечно-порожденного периодического модуля — это количество раз, когда в нем встречается модуль Z _p [[ T ]]/( p ). Этот инвариант аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных периодических модулей (хотя он не аддитивен на коротких точных последовательностях конечно порожденных модулей). Он обращается в нуль тогда и только тогда, когда конечно порожденный периодический модуль конечно порожден как модуль над подкольцом Z _p . λ -инвариант представляет собой сумму степеней встречающихся выделенных многочленов. Другими словами, если модуль псевдоизоморфен

$\bigoplus _{i}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(p^{\mu _{i}})\oplus \bigoplus _{j}\mathbf {Z} _{p}[\![T]\!]/(f_{j}^{m_{j}})$

где f _j — выделенные многочлены, то

$\mu =\sum _{i}\mu _{i}$

и

$\lambda =\sum _{j}m_{j}\deg(f_{j}).$

С точки зрения характеристического степенного ряда, µ-инвариант представляет собой минимум ( p -адических) оценок коэффициентов, а λ-инвариант представляет собой степень T, при которой этот минимум впервые возникает.

Если ранг, µ-инвариант и λ-инвариант конечно порожденного модуля равны нулю, модуль конечен (и наоборот); другими словами, лежащая в его основе абелева группа является конечной абелевой p -группой. Это конечно порожденные модули, носитель которых имеет размерность не более 0. Такие модули артиновы и имеют четко определенную длину, которая конечна и аддитивна на коротких точных последовательностях.

Теорема Ивасавы

Обозначим ν _n для элемента 1+γ+γ ² +...+с ^{п н –1} где γ — топологический генератор Γ. Ивасава ( 1959 ) показал, что если X — конечно порожденный периодический модуль над алгеброй Ивасавы и X /ν _n X имеет порядок p ^e_в затем

$e_{n}=\mu p^{n}+\lambda n+c$

для достаточно большого n , где µ, λ и c зависят только от X , а не от n . Первоначальный аргумент Ивасавы был ad hoc, и Серр (1958) указал, что результат Ивасавы можно вывести из стандартных результатов о структуре модулей над целозамкнутыми нётеровыми кольцами, такими как алгебра Ивасавы.

В частности, это относится к случаю, когда en _p — наибольшая степень , делящая порядок группы идеальных классов кругового поля, порожденной корнями из единицы порядка p ^{п +1} . Теорема Ферреро–Вашингтона утверждает, что в этом случае µ=0.

некоммутативные алгебры

Более общие алгебры Ивасавы имеют вид

$\Lambda (G):=\varprojlim _{H}\mathbf {Z} _{p}[G/H]$

где G — компактная p -адическая группа Ли. Вышеописанный случай соответствует $G=\mathbf {Z} _{p}$. Классификация модулей по $\Lambda (G)$ с точностью до псевдоизоморфизма возможен в случае $G=\mathbf {Z} _{p}^{n}.$

Для некоммутативного G , $\Lambda (G)$-модули классифицируются до так называемых псевдонулевых модулей.

Ссылки

• Ардаков, К.; Браун, К.А. (2006), «Теоретико-кольцевые свойства алгебр Ивасавы: обзор» , Documenta Mathematica : 7–33, arXiv : math/0511345 , Bibcode : 2005math.....11345A , ISSN   1431-0635 , MR   2290583
• Ивасава, Кенкичи (1959), «О Γ-расширениях полей алгебраических чисел», Бюллетень Американского математического общества , 65 (4): 183–226, doi : 10.1090/S0002-9904-1959-10317-7 , ISSN   0002 -9904 , МР   0124316
• Лазар, Мишель (1965), «П-адические аналитические группы» , Publications Mathématiques de l'IHÉS , 26 (26): 389–603, ISSN   1618-1913 , MR   0209286
• Нойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), «Глава 5», Когомологии числовых полей , Основы математических наук, том. 323 (1-е изд.), Берлин: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-66671-4 , МР   1737196 , Збл   0948.11001
• Серр, Жан-Пьер (1958), «Классы круговых тел (по К. Ивасаве) Exp.174», Семинар Бурбаки, Vol. 5 , Париж: Математическое общество Франции , стр. 83–93, МР   1603459