Повороты эллиптических кривых

В математической области алгебраической геометрии эллиптическая кривая E над полем K имеет связанный квадратичный поворот , то есть другую эллиптическую кривую, которая изоморфна E над алгебраическим замыканием K. В частности, изоморфизм между эллиптическими кривыми - это изогения. степени 1, то есть обратимая изогения. Некоторые кривые имеют скручивания более высокого порядка, такие как кубической и скручивание четвертой степени . Кривая и ее изгибы имеют один и тот же j-инвариант .

Приложения твистов включают криптографию, решение диофантовых уравнений , и при обобщении на гиперэллиптические кривые изучение гипотезы Сато – Тейта .

Квадратичный поворот

Сначала предположим $K$ – поле характеристики, отличной от 2. Пусть $E$ быть эллиптической кривой над $K$ формы:

$y^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,$

Данный $d\neq 0$ не квадрат в $K$, поворот квадратичный $E$ это кривая $E^{d}$, определяемый уравнением:

$dy^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,$

или эквивалентно

$y^{2}=x^{3}+da_{2}x^{2}+d^{2}a_{4}x+d^{3}a_{6}.\,$

Две эллиптические кривые $E$ и $E^{d}$ не изоморфны над $K$, а скорее над расширением поля $K({\sqrt {d}})$. Качественно говоря, арифметика кривой и ее квадратичный поворот могут выглядеть совершенно по-разному в области $K$, а комплексный анализ кривых тот же; и поэтому семейство кривых, связанных скручиванием, становится полезным инструментом для изучения арифметических свойств эллиптических кривых.

Повороты также можно определить, когда базовое поле $K$ имеет характеристику 2. Пусть $E$ быть эллиптической кривой над $K$ формы:

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,$

Данный $d\in K$ такой, что $X^{2}+X+d$ является неприводимым полиномом над $K$, поворот квадратичный $E$ это кривая $E^{d}$, определяемый уравнением:

$y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+(a_{2}+da_{1}^{2})x^{2}+a_{4}x+a_{6}+da_{3}^{2}.\,$

Две эллиптические кривые $E$ и $E^{d}$ не изоморфны над $K$, но по расширению поля $K[X]/(X^{2}+X+d)$.

Квадратичный поворот над конечными полями

Если $K$ является конечным полем с $q$ элементы, то для всех $x$ существует $y$ такой, что точка $(x,y)$ принадлежит либо $E$ или $E^{d}$. Фактически, если $(x,y)$ находится только на одной из кривых, существует ровно еще одна $y'$ на той же кривой (что может произойти, если характеристика не $2$).

Как следствие, $|E(K)|+|E^{d}(K)|=2q+2$ или эквивалентно $t_{E^{d}}=-t_{E}$, где $t_{E}$ является следом эндоморфизма Фробениуса кривой.

Квартальный поворот

Эллиптические кривые с j-инвариантом, равным 1728, можно «скрутить» символами четвертой степени; скручивание кривой $E$ поворотом четвертой степени получается ровно четыре кривые: одна изоморфна $E$, один из них представляет собой квадратичный поворот, и только два других действительно новые. Также в этом случае скрученные кривые изоморфны по расширению поля, заданному степенью скручивания.

Кубический поворот

Аналогично случаю скручивания четвертой степени эллиптическая кривая над $K$ с j-инвариантом, равным нулю, можно исказить кубическими символами. Полученные кривые изоморфны исходной кривой над расширением поля, заданным степенью твиста.

Обобщение

Повороты можно определить и для других гладких проективных кривых. Позволять $K$ быть полем и $C$ быть кривой над этим полем, т. е. проективным многообразием размерности 1 над этим полем. $K$ которое неприводимо и геометрически связно. Затем поворот $C'$ из $C$ — еще одна гладкая проективная кривая, для которой существует ${\bar {K}}$-изоморфизм между $C'$ и $C$, где поле ${\bar {K}}$ является алгебраическим замыканием $K$.

Примеры

• Скрученные кривые Гессе
• Скрученная кривая Эдвардса
• Скрученная тройно ориентированная кривая Доша – Икарта – Коэля

Ссылки

• П. Стивенхаген (2008). Эллиптические кривые (PDF) . Лейденский университет.
• К. Л. Стюарт и Дж. Топ (октябрь 1995 г.). «О рангах скручиваний эллиптических кривых и бесстепенных значениях бинарных форм» . Журнал Американского математического общества . 8 (4): 943–973. дои : 10.1090/S0894-0347-1995-1290234-5 . JSTOR   2152834 .