Скрученные кривые Гессе

В математике скрученная кривая Гессе представляет собой обобщение кривых Гессе ; он был введен в криптографию эллиптических кривых для ускорения формул сложения и удвоения и обеспечения строго унифицированной арифметики. В некоторых операциях (см. последние разделы) он по скорости близок к кривым Эдвардса .

Определение

Пусть К — поле . В соответствии с ^[1] скрученные кривые Гессе были введены Бернштейном , Ланге,и Кохель.

Скрученная гессианская форма в аффинных координатах определяется выражением:

$a\cdot x^{3}+y^{3}+1=d\cdot x\cdot y$

и в проективных координатах :

$a\cdot X^{3}+Y^{3}+Z^{3}=d\cdot X\cdot Y\cdot Z$

где $x={\frac {X}{Z}}$ и $y={\frac {Y}{Z}}$ и a , d в K

Заметим, что эти кривые бирационально эквивалентны кривым Гессе .

Кривая Гессе — это частный случай скрученной кривой Гессе с a = 1.

Учитывая уравнение a · x ³ + и ³ + 1 = d · x · y , обратите внимание, что:

если a имеет кубический корень в K , существует единственный b такой, что a = b ³.В противном случае необходимо рассматривать расширения поле K (например, K ( a ^1/3)). Тогда, поскольку б ³ · х ³ = бх ³, определяя t = b · x , для выполнения преобразования необходимо следующее уравнение (в форме Гессе):

$t^{3}+y^{3}+1=d\cdot x\cdot y$ .

Это означает, что скрученные кривые Гессе бирационально эквивалентны эллиптической кривой в форме Вейерштрасса .

Групповое право

Интересно проанализировать групповой закон эллиптической кривой, определяя формулы сложения и удвоения (поскольку атаки простого анализа мощности и дифференциального анализа мощности основаны на времени выполнения этих операций). В общем, групповой закон определяется следующим образом: если три точки лежат на одной прямой, то их сумма равна нулю. Таким образом, в силу этого свойства явные формулы группового закона зависят от формы кривой.

Пусть P = ( x ₁ , y ₁ ) — точка, тогда ее обратная точка — − P = ( x ₁ / y ₁ , 1/ y ₁ ) на плоскости.В проективных координатах пусть P = ( X : Y : Z ) — одна точка, тогда — P = ( X ₁ / Y ₁ : 1/ Y ₁ : Z ) является обратной точкой P.

Кроме того, нейтральный элемент (в аффинной плоскости) равен: θ = (0, −1) и в проективных координатах: θ = (0 : −1 : 1).

В некоторых приложениях криптографии эллиптических кривых и метода факторизации целых чисел ( ECM эллиптических кривых необходимо вычислить скалярные умножения P ) на основе , скажем, [n]P для некоторого целого числа n , и они основаны на методе двойного сложения. метод; поэтому нужны формулы сложения и удвоения.

Формулы сложения и удвоения для этой эллиптической кривой можно определить, используя аффинные координаты для упрощения обозначений:

Формулы сложения

Пусть p = ( x ₁ , y ₁ ) и Q = ( x ₂ , y ₂ ); тогда R = P + Q = ( x ₃ , y ₃ ) определяется следующими уравнениями:

$x_{3}={\frac {x_{1}-y_{1}^{2}\cdot x_{2}\cdot y_{2}}{a\cdot x_{1}\cdot y_{1}\cdot x_{2}^{2}-y_{2}}}$

$y_{3}={\frac {y_{1}\cdot y_{2}^{2}-a\cdot x_{1}^{2}\cdot x_{2}}{a\cdot x_{1}\cdot y_{1}\cdot x_{2}^{2}-y_{2}}}$

Формулы удвоения

Пусть P = ( x , y ); тогда [2] P = ( x ₁ , y ₁ ) определяется следующими уравнениями:

$x_{1}={\frac {x-y^{3}\cdot x}{a\cdot y\cdot x^{3}-y}}$

$y_{1}={\frac {y^{3}-a\cdot x^{3}}{a\cdot y\cdot x^{3}-y}}$

Алгоритмы и примеры

Здесь приведены некоторые эффективные алгоритмы закона сложения и удвоения; они могут быть важны в криптографических вычислениях, и для этой цели используются проективные координаты.