Специальные значения L -функций

В математике изучение специальных значений L -функций является разделом теории чисел, посвященным обобщению таких формул, как формула Лейбница для числа пи , а именно: $$1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!$$

признанием того, что выражение в левой части также $L(1)$ где $L(s)$ — Дирихле L -функция для поля гауссовских рациональных чисел. Эта формула является частным случаем аналитической формулы числа классов и в этих терминах означает, что гауссово поле имеет номер класса 1 . Фактор ${\tfrac {1}{4}}$ в правой части формулы соответствует тому, что это поле содержит четыре корня из единицы .

Догадки

Существует два семейства гипотез, сформулированных для общих классов L -функций (наиболее общая постановка относится к L -функциям, связанным с мотивами Чоу над числовыми полями ), разделение на два, отражающее вопросы:

1. как заменить $\pi$ в формуле Лейбница каким-то другим «трансцендентным» числом (независимо от того, возможно ли в настоящее время теории трансцендентных чисел предоставить доказательство трансцендентности); и
2. как обобщить рациональный множитель в формуле (номер класса, разделенный на количество корней из единицы) некоторой алгебраической конструкцией рационального числа, которая будет представлять собой отношение значения L -функции к «трансцендентному» множителю.

Дополнительные пояснения даны для целочисленных значений $n$ для которых формулы такого типа, включающие $L(n)$ можно ожидать, что он удержится.

Гипотезы для (а) называются гипотезами Бейлинсона , для Александра Бейлинсона . Идея состоит в том, чтобы абстрагироваться от регулятора числового поля до некоторого «высшего регулятора» ( регулятор Бейлинсона ), определителя, построенного на реальном векторном пространстве, пришедшего из алгебраической K-теории .

Гипотезы для (b) называются гипотезами Блоха–Като для специальных значений (для Спенсера Блоха и Казуи Като ; этот круг идей отличается от гипотезы Блоха–Като K-теории, расширяющей гипотезу Милнора , доказательство которой было объявлено в 2009 году). Их также называют гипотезой числа Тамагавы , название, возникшее из гипотезы Берча-Суиннертона-Дайера и ее формулировки как эллиптической кривой аналога проблемы числа Тамагавы для линейных алгебраических групп . В дальнейшем расширении была сформулирована гипотеза эквивариантного числа Тамагавы (ETNC), чтобы закрепить связь этих идей с теорией Ивасавы и ее так называемой Основной гипотезой .

Текущий статус

Известно, что все эти гипотезы верны лишь в особых случаях.

См. также

• Гипотеза Брумера – Старка

Ссылки

• Кингс, Гвидо (2003), «Гипотеза Блоха – Като о специальных значениях L -функций. Обзор известных результатов» , Journal de théorie des nombres de Bordeaux , 15 (1): 179–198, doi : 10.5802/jtnb .396 , ISSN   1246-7405 , МР   2019010
• «Гипотезы Бейлинсона» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «К-функтор в алгебраической геометрии» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2010), «Таблица L-рядов Дирихле и простых дзета-функций для малых модулей», arXiv : 1008.2547 [ math.NT ]

Внешние ссылки

• L-функции и гипотезы Делиня и Бейлинсона