Число Тамагавы

В математике Тамагавы число $\tau (G)$ полупростой алгебраической группы , определенной над глобальным полем $k,$ является мерой $G(\mathbb {A} )/G(k)$ , где $\mathbb {A}$ — аделей кольцо $k$ . Числа Тамагавы были введены Тамагавой ( 1966 ) и названы в его честь Вейлем ( 1959 ).

Наблюдение Цунео Тамагавы заключалось в том, что, начиная с инвариантной дифференциальной формы ω на $G$ , определенной над $k$ , используемая мера была четко определена : в то время как $ω$ можно было заменить на $cω$ , где $c$ — ненулевой элемент из $k$ , формула произведения для оценок в $k$ отражает независимость от $c$ меры частного для меры произведения, построенной из $ω$ для каждого эффективного фактора. Вычисление чисел Тамагавы для полупростых групп содержит важные части классической теории квадратичных форм .

Определение [ править ]

Пусть $k$ — глобальное поле, $A —$ его кольцо аделей, а $G —$ полупростая алгебраическая группа, определенная над $k$ .

Выберите меры Хаара на пополнениях $k v поля k$ такие, что $O v$ , кроме конечного числа $имеет объем 1 для всех мест v$ . Затем они индуцируют меру Хаара на $A$ , которая, как мы далее предполагаем, нормирована так, что $A / k$ имеет объем 1 по отношению к индуцированной фактормере.

Мера Тамагавы на адельной алгебраической группе $G (A)$ теперь определяется следующим образом. Возьмем левоинвариантную $n$ -форму $ω$ на $G (k),$ над $k$ где $n$ — размерность G. $определенную$ , Это, вместе с вышеупомянутым выбором меры Хаара на $k v$ , индуцирует меры Хаара на $G (k v)$ для всех мест $v$ . Поскольку $G$ полупроста, произведение этих мер дает меру Хаара на $G (A)$ , называемую мерой Тамагавы . Мера Тамагавы не зависит ни от выбора ω, ни от выбора меры на $k v$ , поскольку умножение $ω$ на элемент $k *$ умножает меру Хаара на $G (A)$ на 1, используя формулу произведения для оценок .

Число Тамагавы $τ (G)$ определяется как мера Тамагавы $G (A)/ G (k)$ .

Вейля о Гипотеза числах Тамагавы

Гипотеза Вейля о числах Тамагавы утверждает, что число Тамагавы $τ (G)$ односвязной (т. е. не имеющей собственного алгебраического покрытия) простой алгебраической группы , определенной над числовым полем, равно 1. Вейль ( 1959 ) вычислил число Тамагавы во многих случаях классических групп и заметил, что во всех рассмотренных случаях оно является целым числом и равно 1 в случаях, когда группа односвязна. Оно (1963) нашел примеры, где числа Тамагавы не являются целыми числами, но гипотеза о числе Тамагавы односвязных групп была в целом доказана несколькими работами, кульминацией которых стала статья Котвитца ( 1988 ), а также для аналога над функциональными полями над конечными поля Гайцгори и Лурье (2019) .

См. также [ править ]

Адельная алгебраическая группа

Ссылки [ править ]

«Число Тамагавы» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Котвитц, Роберт Э. (1988), «Числа Тамагавы», Ann. математики. , 2, 127 (3), Анналы математики: 629–646, doi : 10.2307/2007007 , JSTOR 2007007 , MR 0942522 .
Оно, Такаси (1963), «О числе Тамагавы алгебраических торов», Annals of Mathematics , Second Series, 78 (1): 47–73, doi : 10.2307/1970502 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970502 , MR 0156851
Оно, Такаси (1965), «К относительной теории чисел Тамагавы» , Annals of Mathematics , Second Series, 82 (1): 88–111, doi : 10.2307/1970563 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970563 , MR 0177991
Тамагава, Цунео (1966), «Адель», Алгебраические группы и разрывные подгруппы , Proc. Симпозиумы. Чистая математика., вып. IX, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , стр. 113–121, MR 0212025.
Вейль, Андре (1959), Exp. № 186, Адела и алгебраические группы , Семинар Бурбаки, вып. 5, с. 249–257
Вейль, Андре (1982) [1961], Адели и алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 23, Бостон, Массачусетс: Биркхойзер Бостон, ISBN 978-3-7643-3092-7 , МР 0670072
Лурье, Джейкоб (2014), Числа Тамагавы через неабелеву двойственность Пуанкаре
Гайтсгори, Деннис ; Лурье, Джейкоб (2019), Гипотеза Вейля для функциональных полей (том I) , Анналы математических исследований, том. 199, Принстон: Princeton University Press , стр. viii, 311, ISBN. 978-0-691-18213-1 , МР 3887650 , Збл 1439.14006

Дальнейшее чтение [ править ]

Аравинд Асок, Брент Доран и Фрэнсис Кирван, «Теория Янга-Миллса и числа Тамагавы: очарование неожиданных связей в математике» , 22 февраля 2013 г.
Дж. Лурье, Формула массы Сигела, числа Тамагавы и неабелева двойственность Пуанкаре, опубликовано 8 июня 2012 г.