Формула номера класса

В теории чисел формула числа классов связывает многие важные инварианты поля алгебраических чисел со специальным значением его дзета-функции Дедекинда .

Общая формулировка формулы номера класса

Начнем со следующих данных:

• K — числовое поле.
• [ K : Q ] = n = r ₁ + 2 r ₂ , где r ₁ обозначает количество вещественных вложений K r , а 2 представляет ₂ собой количество комплексных вложений K .
• ζ _K ( s ) — функция Дедекинда от K. дзета -
• h _K — номер класса количество элементов в идеальной группе классов K. ,
• Reg _K является регулятором K. ​ ​
• w _K — количество корней из единицы, в K. содержащихся
• D _K — дискриминант расширения ​ K / Q .

Затем:

Теорема (формула номера класса). ζ _K ( s ) абсолютно сходится при Re( s ) > 1 и продолжается до мероморфной функции, определенной для всех комплексных s только с одним простым полюсом в точке s = 1 , с вычетом

$\lim _{s\to 1}(s-1)\zeta _{K}(s)={\frac {2^{r_{1}}\cdot (2\pi )^{r_{2}}\cdot \operatorname {Reg} _{K}\cdot h_{K}}{w_{K}\cdot {\sqrt {|D_{K}|}}}}$

Это самая общая «формула номера класса». В частных случаях, например, когда K является круговым расширением Q . , существуют особые и более уточненные формулы числа классов

Доказательство

Идея доказательства формулы числа классов легче всего проявляется при K = Q (i). В этом случае кольцо целых чисел в K представляет собой целые гауссовы числа .

Элементарная манипуляция показывает, что остаток дзета-функции Дедекинда при s = 1 представляет собой среднее значение коэффициентов в ряд Дирихле представления дзета-функции Дедекинда . n - й коэффициент ряда Дирихле по существу представляет собой количество представлений n в виде суммы двух квадратов неотрицательных целых чисел. Таким образом, можно вычислить остаток дзета-функции Дедекинда при s = 1, вычислив среднее количество представлений. Как и в статье о задаче о круге Гаусса , это можно вычислить, аппроксимировав количество точек решетки внутри четверти круга с центром в начале координат, придя к выводу, что остаток составляет одну четверть числа Пи.

Доказательство, когда K — произвольное мнимое поле квадратичных чисел, очень похоже.

В общем случае по теореме Дирихле о единице группа единиц в кольце целых чисел K бесконечна. Тем не менее, можно свести вычисление вычета к задаче подсчета точек решетки, используя классическую теорию вещественных и комплексных вложений, и аппроксимировать количество точек решетки в области объемом области, чтобы завершить доказательство.

Формула числа классов Дирихле

Питер Густав Лежен Дирихле опубликовал доказательство формулы числа классов для квадратичных полей в 1839 году, но оно было сформулировано на языке квадратичных форм, а не классов идеалов . Похоже, что Гаусс уже знал эту формулу в 1801 году.

Эта экспозиция следует за Давенпортом .

Пусть d — фундаментальный дискриминант и через h(d) обозначается количество классов эквивалентности квадратичных форм с дискриминантом d . Позволять $\chi =\left(\!{\frac {d}{m}}\!\right)$ быть символом Кронекера . Затем $\chi$ — персонаж Дирихле . Писать $L(s,\chi )$ для L-серии Дирихле на основе $\chi$. Для d > 0 пусть t > 0 , u > 0 — решение уравнения Пелля $t^{2}-du^{2}=4$ для которого u наименьшее, и напишем

$\varepsilon ={\frac {1}{2}}(t+u{\sqrt {d}}).$

(Затем $\varepsilon$ либо является фундаментальной единицей действительного квадратичного поля $\mathbb {Q} ({\sqrt {d}})$ или квадрат фундаментальной единицы.)При d < 0 через w обозначаем число автоморфизмов квадратичных форм дискриминанта d ; то есть,

$w={\begin{cases}2,&d<-4;\\4,&d=-4;\\6,&d=-3.\end{cases}}$

Затем Дирихле показал, что

$h(d)={\begin{cases}{\dfrac {w{\sqrt {|d|}}}{2\pi }}L(1,\chi ),&d<0;\\{\dfrac {\sqrt {d}}{2\ln \varepsilon }}L(1,\chi ),&d>0.\end{cases}}$

Это частный случай приведенной выше теоремы 1: для квадратичного поля K дзета-функция Дедекинда равна просто $\zeta _{K}(s)=\zeta (s)L(s,\chi )$, а остаток $L(1,\chi )$. Дирихле также показал, что L -ряд может быть записан в конечной форме, что дает конечный вид числа классов. Предполагать $\chi$ примитивен основным с проводником $q$. Затем

$L(1,\chi )={\begin{cases}-{\dfrac {\pi }{q^{3/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}m\left({\dfrac {m}{q}}\right),&q\equiv 3\mod 4;\\-{\dfrac {1}{2q^{1/2}}}\sum _{m=1}^{q-1}\left({\dfrac {m}{q}}\right)\ln \left(\sin {\dfrac {m\pi }{q}}\right),&q\equiv 1\mod 4.\end{cases}}$

Расширения Галуа рациональных чисел

Если K является Галуа расширением Q , теория L-функций Артина применима к $\zeta _{K}(s)$. Он имеет один фактор дзета-функции Римана , который имеет полюс вычета один, и фактор является регулярным при s = 1. Это означает, что правая часть формулы числа классов может быть приравнена к левой части

П Л (1,п) ^{дим ρ}

где ρ пробегает классы неприводимых нетривиальных комплексных линейных представлений Gal( K / Q ) размерности dim(ρ). Это соответствует стандартному разложению регулярного представления .

Абелевы расширения рациональных чисел

Это случай вышеизложенного, когда Gal( K / Q ) является абелевой группой , в которой все ρ могут быть заменены характерами Дирихле (с помощью теории полей классов ) для некоторого модуля f, называемого проводником . Поэтому все значения L (1) встречаются для L-функций Дирихле , для которых существует классическая формула, включающая логарифмы.

По теореме Кронекера-Вебера все значения, необходимые для формулы числа аналитических классов, встречаются уже при рассмотрении круговых полей. В этом случае возможна дальнейшая формулировка, как показал Куммер . Регулятор L , вычисляющий объем в «логарифмическом пространстве», разделенный на логарифмы единиц кругового поля, может быть сопоставлен с величинами из ( 1), распознаваемыми как логарифмы круговых единиц . Приводятся формулы, утверждающие, что номер класса определяется индексом круговых единиц во всей группе единиц.

В теории Ивасавы эти идеи дополнительно объединены с теоремой Стикельбергера .

См. также

• Гипотеза Брумера – Старка
• Формула массы Смита – Минковского – Зигеля

Ссылки

• В. Наркевич (1990). Элементарная и аналитическая теория алгебраических чисел (2-е изд.). Springer-Verlag / Польское научное издательство PWN . стр. 324–355 . ISBN  3-540-51250-0 .

Эта статья включает в себя материал из формулы номера класса на PlanetMath , которая лицензируется по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike .