Тензорное произведение полей

В математике тензорное произведение двух полей — это их тензорное произведение как алгебр над общим подполем . Если подполе не указано явно, два поля должны иметь одинаковые характеристики , а общее подполе является их основным подполем .

Тензорное произведение двух полей иногда является полем, а часто — прямым произведением полей; В некоторых случаях он может содержать ненулевые нильпотентные элементы .

Тензорное произведение двух полей выражает в одной структуре разные способы встраивания двух полей в общее поле расширения .

Комбинация полей

Во-первых, определяется понятие композиции полей. Эта конструкция часто встречается в теории поля . Идея композитума состоит в том, чтобы создать наименьшее поле, содержащее два других поля. Чтобы формально определить композитум, нужно сначала указать башню полей . Пусть k — поле, а L и K — два расширения k . Композитум, обозначаемый KL , определяется как $K.L=k(K\cup L)$ где правая часть обозначает расширение, порожденное K и L . Это предполагает некоторое поле, содержащее как K , так и L . Либо кто-то начинает с ситуации, когда окружающее поле легко идентифицировать (например, если K и L являются подполями комплексных чисел ), либо доказывают результат, который позволяет поместить как K , так и L (как изоморфные копии) в какое-то достаточно большое поле.

Во многих случаях можно К. идентифицировать L как векторного пространства тензорное произведение , взятое над полем N которое является пересечением K и L. , Например, если присоединить √2 к рациональному полю $\mathbb {Q}$ чтобы получить K чтобы получить L , это правда, что поле M получается как K. , и √3 , L внутри комплексных чисел $\mathbb {C}$ есть ( с точностью до изоморфизма)

K\otimes _{\mathbb {Q} }L

как векторное пространство над $\mathbb {Q}$ . (Такой тип результатов, вообще говоря, можно проверить, используя ветвления теорию теории алгебраических чисел .)

Подполя K и L поля M ( линейно не пересекаются над подполем N ), когда таким образом естественное N -линейное отображение поля

K\otimes _{N}L

к К. L инъективен . ^[1] это не всегда так, например, когда K = L. Естественно , Когда степени конечны, инъективность здесь эквивалентна биективности . Следовательно, когда K и L — линейно непересекающиеся поля расширения конечной степени над N , $K.L\cong K\otimes _{N}L$ , как и в случае с вышеупомянутыми расширениями рациональных чисел.

Важным случаем в теории круговых полей является то, что для корней n- й степени из единицы , для n составного числа , подполя, порожденные p ^к Корни из единицы для степеней простых чисел , делящих n, линейно не пересекаются для различных p . ^[2]

Тензорное произведение как кольцо

Чтобы получить общую теорию, нужно рассмотреть кольцевую структуру на $K\otimes _{N}L$ . Можно определить продукт $(a\otimes b)(c\otimes d)$ быть $ac\otimes bd$ (см. Тензорное произведение алгебр ). Эта формула полилинейна по N по каждой переменной; и таким образом определяет кольцевую структуру тензорного произведения, делая $K\otimes _{N}L$ в коммутативную N -алгебру , называемую тензорным произведением полей .

Анализ кольцевой структуры

Структуру кольца можно проанализировать, рассмотрев все способы вложения и L в некоторое расширение поля N. K Здесь конструкция предполагает общее подполе N ; но не предполагает априори , что K и L являются подполями некоторого поля M (таким образом обходя предостережения относительно построения составного поля). Всякий раз, когда кто-то вкладывает K и L в такое поле M , скажем, используя вложения α поля K и β поля L , возникает кольцевой гомоморфизм γ из $K\otimes _{N}L$ в M, определяемый:

\gamma (a\otimes b)=(\alpha (a)\otimes 1)\star (1\otimes \beta (b))=\alpha (a).\beta (b).

Ядро ; γ будет простым идеалом тензорного произведения и наоборот, любой простой идеал тензорного произведения будет давать гомоморфизм N -алгебр в область целостности (внутри поля частных таким образом, обеспечивает вложение K и L в некоторое поле как расширение (копии) N. ) и ,

Таким образом, можно проанализировать структуру $K\otimes _{N}L$ : в принципе может существовать ненулевой нильрадикал факторизации по нему можно говорить о произведении всех вложений K и L в различные M N. над и после (пересечение всех простых идеалов) –

В случае, когда K и L являются конечными расширениями N , ситуация особенно проста, поскольку тензорное произведение имеет конечную размерность как N -алгебра (и, следовательно, артиново кольцо ). Тогда можно сказать, что если R является радикалом, то $(K\otimes _{N}L)/R$ как прямое произведение конечного числа полей. Каждое такое поле является представителем класса эквивалентности (существенно различных) вложений полей для K и L в некотором расширении M .

Примеры

Чтобы дать явный пример, рассмотрим поля $K=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)$ и $L=\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)$ . Четко $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L\neq K$ являются изоморфными, но технически неравными полями, их (теоретико-множественное) пересечение является простым полем. $N=\mathbb {Q}$ . Их тензорное произведение

K\otimes L=K\otimes _{N}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})

это не поле, а 4-мерное $\mathbb {Q}$ -алгебра. Более того, эта алгебра изоморфна прямой сумме полей

K\otimes L\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})[z]/(z^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\oplus \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})

через карту, индуцированную $1\mapsto (1,1),z\mapsto ({\sqrt {2}},-{\sqrt {2}})$ .Морально ${\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})$ считать наибольшим общим подполем с точностью до изоморфизма K и следует L через изоморфизмы ${\tilde {N}}=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})\cong K\cong L$ . Когда кто-то выполняет тензорное произведение над этим лучшим кандидатом на наибольшее общее подполе, мы фактически получаем (довольно тривиальное) поле

K\otimes _{\tilde {N}}L=\mathbb {Q} [x]/(x^{2}-2)\otimes _{\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}\mathbb {Q} [y]/(y^{2}-2)\cong \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})={\tilde {N}}\cong K\cong L

.

Другой пример, если K генерируется по $\mathbb {Q}$ на кубический корень из 2, то $K\otimes _{\mathbb {Q} }K$ является суммой (копией) K и расщепления полем

Х ³ − 2,

степени 6 более $\mathbb {Q}$ . Это можно доказать, вычислив размерность тензорного произведения по $\mathbb {Q}$ как 9, и замечая, что поле расщепления действительно содержит две (на самом деле три) копии K и является композицией двух из них. Это, кстати, показывает, что в данном случае R = {0}.

Пример, ведущий к ненулевому нильпотенту: пусть

п ( Икс ) = Икс ^п − Т

где K - поле рациональных функций в неопределенном T над конечным полем с p элементами (см. Разделимый многочлен : дело здесь в том, что P не отделим ). Если L — расширение поля K ( T ^{1/ п}) ( поле расщепления P L ), то / K является примером чисто неразделимого расширения поля . В $L\otimes _{K}L$ элемент

T^{1/p}\otimes 1-1\otimes T^{1/p}

нильпотентен: взяв его p- ю степень, можно получить 0, используя K -линейность.

Классическая теория вещественных и комплексных вложений

В алгебраической теории чисел тензорные произведения полей являются (часто неявно) основным инструментом. Если K является расширением $\mathbb {Q}$ конечной степени n , $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {R}$ всегда является произведением полей, изоморфных $\mathbb {R}$ или $\mathbb {C}$ . Полностью вещественные числовые поля — это те, для которых встречаются только действительные поля: вообще существует r ₁ действительных и r ₂ комплексных полей, причем r ₁ + 2 r ₂ = n , как можно увидеть, подсчитав размерности. Факторы поля находятся в 1–1 соответствии с действительными вложениями и парами комплексно-сопряженных вложений , описанными в классической литературе.

Эта идея применима и к $K\otimes _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} _{p},$ где $\mathbb {Q}$ _p — поле p -адических чисел . Это произведение конечных расширений $\mathbb {Q}$ _p , в 1–1 соответствии с пополнениями K для расширений p -адической метрики на $\mathbb {Q}$ .

Последствия для теории Галуа

Это дает общую картину и даже способ развития теории Галуа. (аналогично теории Галуа Гротендика ). Можно показать, что для сепарабельных расширений радикал всегда равен {0}; поэтому случай теории Галуа является полупростым и состоит только из произведений полей.

См. также

Расширение скаляров - тензорное произведение расширения поля и векторного пространства над этим полем.

Примечания

^ «Линейно-дизъюнктные расширения» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
^ «Циклотомное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

Ссылки

«Композитум» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
Кемпф, Джордж Р. (2012) [1995]. «9.2 Разложение тензорных произведений полей» . Алгебраические структуры . Спрингер. стр. 85–87. ISBN 978-3-322-80278-1 .
Милн, Дж.С. (18 марта 2017 г.). Алгебраическая теория чисел (PDF) . п. 17. 3.07.
Штейн, Уильям (2004). «Краткое введение в классическую и адельную алгебраическую теорию чисел» (PDF) . стр. 140–2.
Зариски, Оскар ; Самуэль, Пьер (1975) [1958]. Коммутативная алгебра I . Тексты для аспирантов по математике. Том. 28. Шпрингер-Верлаг . ISBN 978-0-387-90089-6 . МР 0090581 .

Внешние ссылки

Тема MathOverflow по определению линейной непересекаемости

[1] «Линейно-дизъюнктные расширения» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[2] «Циклотомное поле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[1]

[2]