Совершенно неотделимое расширение

В алгебре полей чисто неразделимым расширением называется > 0 такое , расширение k ⊆ K полей характеристики p что каждый элемент K является корнем уравнения вида x ^д = a , где q — степень p и a в k . Совершенно неразделимые расширения иногда называют радикальными расширениями , которые не следует путать с похожим по звучанию, но более общим понятием радикальных расширений .

Совершенно неотделимые расширения

Алгебраическое расширение $E\supseteq F$ является чисто неотделимым расширением тогда и только тогда, когда для каждого $\alpha \in E\setminus F$ , минимальный полином $\alpha$ над F является не многочленом сепарабельным . ^[1] Если F — любое поле, тривиальное расширение $F\supseteq F$ совершенно неразделим; Чтобы поле F обладало нетривиальным чисто неразделимым расширением, оно должно быть несовершенным, как указано в предыдущем разделе.

Известно несколько эквивалентных и более конкретных определений понятия чисто неотделимого расширения. Если $E\supseteq F$ является алгебраическим расширением с (ненулевой) простой характеристикой p , то следующие условия эквивалентны: ^[2]

E совершенно неотделима над F.
Для каждого элемента $\alpha \in E$ , существует $n\geq 0$ такой, что $\alpha ^{p^{n}}\in F$ .
Каждый элемент E имеет минимальный полином над F вида $X^{p^{n}}-a$ для некоторого целого числа $n\geq 0$ и какой-то элемент $a\in F$ .

Из приведенных выше эквивалентных характеристик следует, что если $E=F[\alpha ]$ (для F — поле простой характеристики) такой, что $\alpha ^{p^{n}}\in F$ для некоторого целого числа $n\geq 0$ , то E чисто неотделимо над F . ^[3] (Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что набор всех x таких, что $x^{p^{n}}\in F$ для некоторых $n\geq 0$ образует поле; поскольку это поле содержит оба $\alpha$ и F , это должно быть E , и по условию 2 выше, $E\supseteq F$ должны быть совершенно неразделимы.)

Если F — несовершенное поле простой характеристики p , выберите $a\in F$ такой, что a не является p -й степенью в F , и пусть f ( X ) = X ^п − а . Тогда f не имеет корня в F , и поэтому, если E является полем расщепления для f над F , можно выбрать $\alpha$ с $f(\alpha )=0$ . В частности, $\alpha ^{p}=a$ а из свойства, указанного в абзаце непосредственно выше, следует, что $F[\alpha ]\supseteq F$ является нетривиальным чисто неотделимым расширением (фактически, $E=F[\alpha ]$ , и так $E\supseteq F$ автоматически является чисто неотделимым расширением). ^[4]

Совершенно неотделимые расширения возникают естественным образом; например, они встречаются в алгебраической геометрии над полями простой характеристики. Если K — поле характеристики p , и если V — алгебраическое многообразие над K размерности больше нуля, функциональное поле K ( V ) является чисто неотделимым расширением над подполем K ( V ) ^п p - х степеней (это следует из условия 2 выше). Такие расширения происходят в контексте умножения на p на эллиптической кривой над конечным полем характеристики p .

Характеристики

Если характеристикой поля F является (ненулевое) простое число p и если $E\supseteq F$ является чисто неотделимым расширением, то если $F\subseteq K\subseteq E$ , K чисто неотделима над F а E чисто неотделима над K. , если [ E : F ] конечно, то это степень p , характеристика F. Более того , ^[5]
И наоборот, если $F\subseteq K\subseteq E$ таков, что $F\subseteq K$ и $K\subseteq E$ являются чисто неразделимыми расширениями, то E чисто неотделима над F . ^[6]
Алгебраическое расширение $E\supseteq F$ является неотделимым расширением тогда и только тогда, когда существует некоторое $\alpha \in E\setminus F$ такой, что минимальный полином $\alpha$ над F является не ( сепарабельным многочленом т. е. алгебраическое расширение неотделимо тогда и только тогда, когда оно не сепарабельно; обратите, однако, внимание, что неотделимое расширение — это не то же самое, что чисто неотделимое расширение). Если $E\supseteq F$ — нетривиальное неразделимое расширение конечной степени, то [ E : F обязательно делится на характеристику F. ] ^[7]
Если $E\supseteq F$ является нормальным расширением конечной степени, и если $K={\mbox{Fix}}({\mbox{Gal}}(E/F))$ , то K чисто неотделима над F и E сепарабельна над K . ^[8]

Соответствие Галуа для чисто неразделимых расширений

Джейкобсон ( 1937 , 1944 ) представил вариант теории Галуа для чисто неразделимых расширений показателя 1, в котором группы Галуа полевых автоморфизмов в теории Галуа заменены ограниченными алгебрами Ли дифференцирований. Самый простой случай - это чисто неразделимые расширения конечного индекса K ⊆ L с показателем не более 1 (это означает, что p -я степень каждого элемента L находится в K ). В этом случае алгебра Ли K -дифференцирований L является ограниченной алгеброй Ли, которая также является векторным пространством размерности n над L , где [ L : K ] = p ^н, а промежуточные поля в L, содержащие K, соответствуют ограниченным подалгебрам Ли этой алгебры Ли, которые являются векторными пространствами над L . Хотя алгебра Ли дифференцирований является векторным пространством над L , она вообще не является алгеброй Ли над L , а является алгеброй Ли над K размерности n [ L : K ] = np ^н.

Чисто неотделимое расширение называется модульным расширением , если оно является тензорным произведением простых расширений, поэтому, в частности, каждое расширение показателя 1 является модулярным, но существуют немодулярные расширения показателя 2 ( Weisfeld 1965 ). Свидлер (1968) и Герстенхабер и Заромп (1970) расширили соответствие Галуа до модульных чисто неразделимых расширений, где дифференцирования заменяются более высокими дифференцированиями.

См. также

Теорема Джейкобсона – Бурбаки.

Ссылки

^ Айзекс, с. 298
^ Айзекс, Теорема 19.10, с. 298
^ Айзекс, Следствие 19.11, с. 298
^ Айзекс, с. 299
^ Айзекс, Следствие 19.12, с. 299
^ Айзекс, Следствие 19.13, с. 300
^ Айзекс, Следствие 19.16, с. 301
^ Айзекс, Теорема 19.18, с. 301

Герстенхабер, Мюррей ; Заромп, Авигдор (1970), «О теории Галуа чисто неразделимых расширений полей», Бюллетень Американского математического общества , 76 (5): 1011–1014, doi : 10.1090/S0002-9904-1970-12535-6 , ISSN 0002-9904 , МР 0266904
Айзекс, И. Мартин (1993), Алгебра, аспирантура (1-е изд.), Brooks/Cole Publishing Company, ISBN 0-534-19002-2
Джейкобсон, Натан (1937), «Абстрактный вывод и алгебры лжи», Труды Американского математического общества , 42 (2), Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество : 206–224, doi : 10.2307/1989656 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1989656
Джейкобсон, Натан (1944), «Теория Галуа чисто неразделимых полей с показателем один», American Journal of Mathematics , 66 (4): 645–648, doi : 10.2307/2371772 , ISSN 0002-9327 , JSTOR 2371772 , MR 0011079
Свидлер, Мосс Айзенберг (1968), «Структура неразделимых расширений», Annals of Mathematics , Second Series, 87 (3): 401–410, doi : 10.2307/1970711 , ISSN 0003-486X , JSTOR 1970711 , MR 0223343
Вайсфельд, Моррис (1965), «Чисто неразделимые расширения и высшие выводы», Труды Американского математического общества , 116 : 435–449, doi : 10.2307/1994126 , ISSN 0002-9947 , JSTOR 1994126 , MR 0191895

[Isaacs298-1] Айзекс, с. 298

[2] Айзекс, Теорема 19.10, с. 298

[3] Айзекс, Следствие 19.11, с. 298

[Isaacs299-4] Айзекс, с. 299

[5] Айзекс, Следствие 19.12, с. 299

[6] Айзекс, Следствие 19.13, с. 300

[7] Айзекс, Следствие 19.16, с. 301

[8] Айзекс, Теорема 19.18, с. 301

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]