Теорема Джейкобсона – Бурбаки.

В алгебре теорема Джекобсона-Бурбаки — это теорема, используемая для распространения теории Галуа на расширения полей , которые не обязательно должны быть сепарабельными. Он был введен Натаном Джейкобсоном ( 1944 ) для коммутативных полей и распространен на некоммутативные поля Джейкобсоном (1947) и Анри Картаном ( 1947 ), которые приписали этот результат неопубликованной работе Николя Бурбаки . Распространение теории Галуа на нормальные расширения называется соответствием Якобсона–Бурбаки , которое заменяет соответствие между некоторыми подполями поля и некоторыми подгруппами группы Галуа соответствием между некоторыми подтелами тела и некоторыми подалгебрами тела. ассоциативная алгебра.

Теорема Якобсона-Бурбаки подразумевает как обычное соответствие Галуа для подполей расширения Галуа, так и соответствие Галуа Якобсона для подполей чисто неотделимого расширения показателя не выше 1.

Заявление

Предположим, что L — тело . Теорема Джейкобсона-Бурбаки утверждает, что существует естественное соответствие 1:1 между:

• Тела K в L конечного индекса n (другими словами, L — конечномерное левое векторное пространство над K ).
• -алгебры с единицей K конечной размерности n (как K -векторные пространства), содержащиеся в кольце эндоморфизмов аддитивной группы K .

Подтел и соответствующая подалгебра являются коммутантами друг друга.

Джейкобсон (1956 , глава 7.2) дал расширение тел, которые могут иметь бесконечный индекс и которые соответствуют замкнутым подалгебрам в конечной топологии.

Ссылки

• Картан, Анри (1947), «Основные теоремы теории Галуа для необязательно коммутативных тел», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences , 224 : 249–251, MR   0020983
• Картан, Анри (1947), «Теория Галуа для некоммутативных полей», Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 3, 64 : 59–77, doi : 10.24033/asens.942 , ISSN   0012-9593 , MR   0023237
• Джейкобсон, Натан (1944), «Теория Галуа чисто неразделимых полей с показателем один», American Journal of Mathematics , 66 (4): 645–648, doi : 10.2307/2371772 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2371772 , MR   0011079
• Джейкобсон, Натан (1947), «Заметки о телах», American Journal of Mathematics , 69 (1): 27–36, doi : 10.2307/2371651 , ISSN   0002-9327 , JSTOR   2371651 , MR   0020981
• Джейкобсон, Натан (1956), Структура колец , Американское математическое общество, Публикации коллоквиума, том. 37, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN.  978-0-8218-1037-8 , МР   0081264
• Джейкобсон, Натан (1964), Лекции по абстрактной алгебре. Том III: Теория полей и теория Галуа , D. Van Nostand Co., Inc., Принстон, Нью-Джерси-Торонто, Онтарио-Лондон-Нью-Йорк, ISBN  978-0-387-90168-8 , МР   0172871
• Креймер, Ф. (2001) [1994], «Теорема Якобсона-Бурбаки» , Энциклопедия математики , EMS Press