Группа покрытия

В математике топологической накрывающая группа группы H — это накрывающее пространство G группы H такое, что G — топологическая группа, а накрывающее отображение p : G → H — непрерывный групповой гомоморфизм . Отображение p называется накрывающим гомоморфизмом . Часто встречающийся случай — двойная накрывающая группа , топологическое двойное накрытие , в котором H имеет индекс 2 в G ; примеры включают спиновые группы , булавочные группы и метаплектические группы .

Грубо говоря, утверждение о том, что, например, метаплектическая группа Mp _{2 n} является двойным покрытием симплектической группы Sp _{2 n,} означает, что в метаплектической группе всегда есть два элемента, представляющие один элемент в симплектической группе.

Характеристики

Пусть G — накрывающая группа H . Ядро H K накрывающего гомоморфизма представляет собой не что иное, как слой над единицей в и дискретную нормальную подгруппу группы G . Ядро K замкнуто G в G тогда и только тогда, когда ( и хаусдорфово тогда и только тогда, когда H хаусдорфово). Идя в другом направлении, если G — любая топологическая группа, а K — дискретная нормальная подгруппа в G, то фактор-отображение p : G → G / K является накрывающим гомоморфизмом.

Если G связна , то K , будучи дискретной нормальной подгруппой, обязательно лежит в центре G , и, следовательно абелева . В этом случае центр H = G / K определяется выражением

\mathrm {Z} (H)\cong \mathrm {Z} (G)/K.

Как и все накрывающие пространства, фундаментальная группа G инъецируется в фундаментальную группу H . Поскольку фундаментальная группа топологической группы всегда абелева, каждая накрывающая группа является нормальным накрывающим пространством. В частности, если G , линейно связна то факторгруппа π ₁ ( H ) / π ₁ ( G ) изоморфна K . Группа K действует просто транзитивно на слоях (которые являются всего лишь левыми смежными классами ) посредством правого умножения. Тогда группа G является главным K -расслоением над H .

Если G — накрывающая группа H , то группы G и H изоморфны локально . любых двух связных локально изоморфных групп существует _{, для} топологическая группа _того G с нормальными подгруппами K1 _H1 и K2 _H2 такая, что H1 _Более изоморфна G / K1 _и и H2 _{дискретными} изоморфна G / K ₂ .

Групповая структура по охватывающему пространству

Пусть H — топологическая группа и G — накрывающее пространство H . Если G и H одновременно связны по путям и локально связны по путям , то для любого выбора элемента e * в слое над e ∈ H существует уникальная структура топологической группы на G с e * в качестве тождества, для которой накрывающее отображение p : G → H является гомоморфизмом.

Конструкция следующая. Пусть a и b — элементы G , а f и g — пути в G, начинающиеся в e * и заканчивающиеся в a и b соответственно. Определим путь h : I → H следующим образом: час ( т ) знак равно п ( ж ( т )) п ( г ( т ) ) . Благодаря свойству подъема путей накрытий существует единственный подъем h в G с начальной точкой e *. Продукт ab определяется как конечная точка этого пути. По построению имеем p ( ab ) = p ( a ) p ( b ) . Необходимо показать, что это определение не зависит от выбора путей f и g , а также что групповые операции непрерывны.

Альтернативно, групповой закон на G может быть построен путем поднятия группового закона H × H → H до G , используя свойство подъема накрывающего отображения G × G → H × H .

Случай несвязности интересен и изучается в цитируемых ниже работах Тейлора и Брауна-Мукака. По существу, существует препятствие существованию универсального накрытия, которое также является топологической группой, такого, что накрывающее отображение является морфизмом: это препятствие лежит в третьей группе когомологий группы компонентов G с коэффициентами в фундаментальной группе G. у личности.

Универсальная закрывающая группа

Если H — линейно-связная, локально-линейная и полулокально-односвязная группа, то она имеет универсальное накрытие . С помощью предыдущей конструкции универсальное накрытие можно превратить в топологическую группу с отображением покрытия, являющимся непрерывным гомоморфизмом. называется универсальной накрывающей группой H Эта группа . Существует и более прямая конструкция, которую мы приведем ниже.

Пусть PH — путей H . группа То есть PH — это пространство путей в H, основанное на единице вместе с компактно-открытой топологией . Произведение путей определяется поточечным умножением, т.е. ( fg ) ( t ) = f ( t ) g ( t ) . Это придает PH структуру топологической группы. Существует естественный групповой гомоморфизм PH → H , который переводит каждый путь в его конечную точку. Универсальное накрытие H задается как фактор PH по нормальной подгруппе нуль-гомотопных петель . Проекция PH → H сводится к фактору, дающему отображение покрытия. Можно показать, что универсальное накрытие односвязно а ядро — это просто фундаментальная группа H . , То есть мы имеем короткую точную последовательность

1\to \pi _{1}(H)\to {\tilde {H}}\to H\to 1

где ~ H универсальное покрытие H. — Конкретно, универсальная накрывающая группа H — это пространство гомотопических классов путей в H с поточечным умножением путей. Карта покрытия отправляет каждый класс пути в его конечную точку.

Решетка накрывающих групп

Как следует из вышесказанного, если группа имеет универсальную накрывающую группу (если она линейно-связна, локально-линейно-связна и полулокально-односвязна) с дискретным центром, то множество всех топологических групп, накрытых универсальным накрытием группы образуют решетку, соответствующую решетке подгрупп центра универсальной накрывающей группы: включение подгрупп соответствует накрытию факторгрупп. Максимальный элемент — это универсальная накрывающая группа ~ H , а минимальный элемент — это универсальная накрывающая группа с модификацией её центра ~ H /Z( ~ H ) .

Алгебраически это соответствует универсальному совершенному центральному расширению (по аналогии называемому «накрывающей группой») как максимальному элементу и группе, модифицирующей свой центр как минимальному элементу.

Это особенно важно для групп Ли, поскольку все эти группы являются (связными) реализациями определенной алгебры Ли. Для многих групп Ли центром является группа скалярных матриц, и, таким образом, группа, модифицирующая свой центр, является проективизацией группы Ли. Эти покрытия важны при изучении проективных представлений групп Ли, а спиновые представления приводят к открытию спиновых групп : проективное представление группы Ли не обязательно происходит из линейного представления группы, но действительно происходит из линейного представления некоторых накрывающая группа, в частности универсальная накрывающая группа. Конечный аналог привел к накрывающей группе или накрытию Шура, как обсуждалось выше.

Ключевым примером является SL ₂ ( R ) , которая имеет центр {±1} и фундаментальную группу Z. Это двойное накрытие бесцентровой проективной специальной линейной группы PSL ₂ ( R ), которая получается путем факторизации по центр. По разложению Ивасавы обе группы представляют собой расслоения окружностей над комплексной верхней полуплоскостью, а их универсальное накрытие ${\mathrm {S} {\widetilde {\mathrm {L} _{2}(}}\mathbf {R} )}$ — это действительное линейное расслоение над полуплоскостью, которое образует одну из восьми геометрий Терстона . Поскольку полуплоскость стягиваема, все структуры расслоения тривиальны. Прообраз SL ₂ ( Z ) в универсальном накрытии изоморфен группе кос на трех нитях.

Группы лжи

Все приведенные выше определения и конструкции применимы к частному случаю групп Ли . В частности, каждое покрытие многообразия является многообразием, а гомоморфизм покрытия становится гладким отображением . Аналогично, для любой дискретной нормальной подгруппы группы Ли фактор-группа является группой Ли, а фактор-отображение является накрывающим гомоморфизмом.

Две группы Ли локально изоморфны тогда и только тогда, когда их алгебры Ли изоморфны. Отсюда следует, что гомоморфизм φ : G → H групп Ли является накрывающим гомоморфизмом тогда и только тогда, когда индуцированное отображение на алгебрах Ли

\phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}

является изоморфизмом.

Поскольку для любой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ существует единственная односвязная группа Ли G с алгеброй Ли ⁠ ${\mathfrak {g}}$ ⁠ , отсюда следует, что универсальная накрывающая группа связной группы Ли H — это (единственная) односвязная группа Ли G, имеющая ту же алгебру Ли, что и H .

Примеры

Универсальная накрывающая группа группы окружностей T — это аддитивная группа действительных чисел ( R , +) с накрывающим гомоморфизмом, заданным отображением R → T : x ↦ exp(2 πix ) . Ядро этого отображения изоморфно Z.
Для любого целого числа n у нас есть группа, покрывающая круг T → T , которая переводит z в z. ^н. Ядром этого гомоморфизма является циклическая группа, состоящая из корней n- й степени из единицы .
Группа вращений SO(3) имеет в качестве универсального покрытия группу SU(2) , которая изоморфна группе версоров в кватернионах. Это двойное покрытие, поскольку ядро имеет порядок 2 (ср . танглоиды ).
Унитарная группа U( n ) покрывается компактной группой T × SU( n ) с накрывающим гомоморфизмом, заданным p ( z , A ) = zA . Универсальное покрытие — это R × SU( n ) .
Специальная ортогональная группа SO( n ) имеет двойное покрытие, называемое спиновой группой Spin( n ). При n ≥ 3 спиновая группа является универсальным накрытием SO( n ).
При n ≥ 2 универсальное накрытие специальной линейной группы SL( n , R ) является не матричной группой (т. е. не имеет точных конечномерных представлений ).

Ссылки

Понтрягин, Лев С. (1986). Топологические группы . пер. с русского Арлена Брауна и ПСВ Найду (3-е изд.). Гордон и наука о нарушениях. ISBN 2-88124-133-6 .
Тейлор, Р.Л. (1954). «Покрывающие группы несвязных топологических групп» . Учеб. амер. Математика. Соц . 5 : 753–768. дои : 10.1090/S0002-9939-1954-0087028-0 . JSTOR 2031861 . МР 0087028 .
Браун, Р.; Мучук, О. (1994). «Еще раз о покрывающих группах несвязных топологических групп». Математика. Учеб. Кембриджская философия. Соц . 115 (1): 97–110. arXiv : math/0009021 . Бибкод : 2000math......9021B . CiteSeerX 10.1.1.236.9436 . дои : 10.1017/S0305004100071942 .