Полулокально односвязный

В математике , конкретно в алгебраической топологии , полулокально односвязность — это некоторое условие локальной связности , возникающее в теории накрытий пространств . Грубо говоря, топологическое пространство X если существует нижняя граница размеров «дырок» в X. является полулокально односвязным , Это условие необходимо для большей части теории накрытий, включая существование универсального накрытия и соответствие Галуа между накрытиями и подгруппами фундаментальной группы .

Большинство «хороших» пространств, таких как многообразия и комплексы CW , полулокально односвязны, а топологические пространства, не удовлетворяющие этому условию, считаются несколько патологическими . Стандартный пример неполулокально односвязного пространства — гавайская серьга .

Определение

Пространство X называется полулокально односвязным, если каждая точка в X имеет окрестность U со свойством, что каждая петля в U может быть стянута в одну точку внутри X (т.е. каждая петля в U является нуль-гомотопной в X ). Окрестность U не обязательно должна быть односвязной каждая петля в U должна быть сжимаемой внутри X , сжатие не обязательно должно происходить внутри U. : хотя По этой причине пространство может быть полулокально односвязным, но не быть локально односвязным .

Эквивалентно этому определению, пространство X является полулокально односвязным, если каждая точка в X окрестность U , для которой гомоморфизм фундаментальной группы U в фундаментальную группу X , индуцированный отображением включения U имеет в X , тривиально.

Большинство основных теорем о накрывающих пространствах , включая существование универсального накрытия и соответствие Галуа, требуют, чтобы пространство было линейно связным , локально линейно связным и полулокально односвязным — условие, известное как unloopable ( délaçable в Французский). ^[1] В частности, это условие необходимо для того, чтобы пространство имело односвязное накрывающее.

Примеры

Простым примером пространства, которое не является полулокально односвязным, является серьга : объединение окружностей гавайская на евклидовой плоскости с центрами (1/ n , 0) и радиусами 1/ n , где n — число натуральное . Придайте этому пространству топологию подпространства . Тогда все окрестности начала координат содержат окружности , не нульгомотопные .

Гавайскую серьгу можно также использовать для построения полулокально односвязного пространства, не являющегося локально односвязным . В частности, конус на гавайской серьге стягиваем и, следовательно, полулокально односвязен, но явно не является локально односвязным.

Топология фундаментальной группы

С точки зрения естественной топологии фундаментальной группы, локально линейно-связное пространство является полулокально односвязным тогда и только тогда, когда его квазитопологическая фундаментальная группа дискретна. ^{[ нужна ссылка ]}

Ссылки

^ Бурбаки 2016 , с. 340.

Бурбаки, Николя (2016). Алгебраическая топология: главы с 1 по 4 . Спрингер. гл. IV стр. 339 -480. ISBN 978-3662493601 .
Дж. С. Калькут, Дж. Д. Маккарти. Дискретность и однородность топологической фундаментальной группы. Topology Proceedings, Vol. 34, (2009), стр. 339–349.
Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-79540-0 .

[FOOTNOTEBourbaki2016340-1] Бурбаки 2016 , с. 340.

[1]