Гипотеза Войты

В математике Полом гипотеза Войты — это гипотеза, выдвинутая Войтой ( 1987 ) о высотах точек на алгебраических многообразиях над числовыми полями . Гипотеза была мотивирована аналогией между диофантовой аппроксимацией и теорией Неванлинны (теорией распределения значений) в комплексном анализе . Это подразумевает множество других гипотез в диофантовом приближении , диофантовых уравнениях , арифметической геометрии и математической логике .

Формулировка гипотезы

Позволять $F$ числовое поле, пусть $X/F$ — неособое алгебраическое многообразие, пусть $D$ эффективным делителем быть $X$ в худшем случае с нормальными пересечениями, пусть $H$ быть обильным делителем на $X$ , и пусть $K_{X}$ быть каноническим делителем $X$ . Выберите функции высоты Вейля $h_{H}$ и $h_{K_{X}}$ и для каждого абсолютного значения $v$ на $F$ , локальная функция высоты $\lambda _{D,v}$ . Зафиксируйте конечный набор абсолютных значений $S$ из $F$ , и пусть $\epsilon >0$ . Тогда есть константа $C$ и непустое открытое множество Зариского $U\subseteq X$ , в зависимости от всех вышеперечисленных вариантов, такой, что

\sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)+h_{K_{X}}(P)\leq \epsilon h_{H}(P)+C\quad {\hbox{for all }}P\in U(F).

Примеры :

Позволять $X=\mathbb {P} ^{N}$ . Затем $K_{X}\sim -(N+1)H$ , поэтому гипотеза Войты гласит: $\sum _{v\in S}\lambda _{D,v}(P)\leq (N+1+\epsilon )h_{H}(P)+C$ для всех $P\in U(F)$ .
Позволять $X$ быть многообразием с тривиальным каноническим расслоением, например абелевым многообразием , поверхностью К3 или многообразием Калаби-Яу . Гипотеза Войты предсказывает, что если $D$ – эффективный обильный делитель нормальных пересечений, то $S$ -целые точки на аффинном многообразии $X\setminus D$ не являются плотными по Зарисскому. Для абелевых многообразий это было предположено Лангом и доказано Фалтингсом (1991) .
Позволять $X$ быть разновидностью общего типа , т. е. $K_{X}$ обилен на некотором непустом открытом подмножестве Зарисского $X$ . Затем принимая $S=\emptyset$ , гипотеза Войты предсказывает, что $X(F)$ не плотен ли Зарисский в $X$ . Это последнее утверждение для многообразий общего типа представляет собой гипотезу Бомбьери–Ланга .

Обобщения

Существуют обобщения, в которых $P$ допускается варьировать в пределах $X({\overline {F}})$ , а в верхней оценке имеется дополнительный член, зависящий от дискриминанта расширения поля $F(P)/F$ .

Существуют обобщения, в которых неархимедовы локальные высоты $\lambda _{D,v}$ заменяются усеченными локальными высотами, которые представляют собой локальные высоты, в которых кратность игнорируется. Эти версии гипотезы Войты представляют собой естественные многомерные аналоги гипотезы ABC .

Ссылки

Войта, Пол (1987). Диофантовые приближения и теория распределения значений . Конспект лекций по математике. Том. 1239. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . дои : 10.1007/BFb0072989 . ISBN 978-3-540-17551-3 . МР 0883451 . Збл 0609.14011 .
Фальтингс, Герд (1991). «Диофантово приближение абелевых многообразий». Анналы математики . 123 (3): 549–576. дои : 10.2307/2944319 . МР 1109353 .