Хассе – Потому что дзета-функция

В математике дзета- функция Хассе-Вейля, присоединенная к алгебраическому многообразию V, определенному над полем алгебраических чисел K, представляет собой мероморфную функцию на комплексной плоскости , определенную в терминах количества точек на многообразии после сокращения по модулю каждого простого числа p . Это глобальная L -функция, определяемая как произведение Эйлера локальных дзета-функций .

-функции Хассе-Вейля L образуют один из двух основных классов глобальных L -функций, наряду с L -функциями, связанными с автоморфными представлениями . Гипотетически, эти два типа глобальных L -функций на самом деле являются двумя описаниями одного и того же типа глобальных L -функций; это было бы обширным обобщением гипотезы Таниямы-Вейля , которая сама по себе является важным результатом в теории чисел .

Для эллиптической кривой над числовым полем K дзета-функция Хассе–Вейля предположительно связана с группой рациональных точек эллиптической кривой над K гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера .

Определение

Описание дзета-функции Хассе – Вейля с точностью до конечного числа множителей ее произведения Эйлера относительно просто. Это следует за первоначальными предложениями Гельмута Хассе и Андре Вейля , мотивированными дзета-функцией Римана , которая возникает в случае, когда V является одной точкой.

В случае K поле рациональных чисел $\mathbb {Q}$и V неособое p проективное многообразие , мы можем для почти всех простых чисел p редукцию V по модулю p , алгебраического многообразия V _{рассмотреть} над конечным полем $\mathbb {F} _{p}$ с p элементами, просто сокращая уравнения для V . С схемной точки зрения это сокращение представляет собой просто возврат V вдоль канонического отображения Spec. $\mathbb {F} _{p}$ → Спецификация $\mathbb {Z}$. И снова почти для всех p оно будет неособым. Определим ряд Дирихле комплексной переменной s ,

$Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)=\prod _{p}Z_{V\!,\,p}(p^{-s}),$

что является бесконечным произведением локальных дзета-функций

$Z_{V\!,\,p}(p^{-s})=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {N_{k}}{k}}(p^{-s})^{k}\right)$

где N _k — количество точек V, определенных над расширением конечного поля $\mathbb {F} _{p^{k}}$ из $\mathbb {F} _{p}$.

Этот $Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)$ только корректно определен с точностью до умножения на рациональные функции в $p^{-s}$ для конечного числа простых чисел p .

Поскольку неопределенность относительно безвредна и всюду имеет мероморфное продолжение , в некотором смысле свойства Z(s) от нее существенно не зависят. В частности, хотя точная форма функционального уравнения для Z ( s ), отражающаяся в вертикальной линии на комплексной плоскости, определенно будет зависеть от «недостающих» факторов, существование некоторого такого функционального уравнения не зависит.

Более уточненное определение стало возможным с развитием этальных когомологий ; это четко объясняет, что делать с недостающими факторами «плохого сокращения». Согласно общим принципам, видимым в теории ветвления , «плохие» простые числа несут хорошую информацию (теория проводника ) . Это проявляется в этальной теории в -Нерона-Шафаревича Огга критерии хорошей редукции ; а именно, что существует хорошая редукция в определенном смысле во всех простых числах p для которых представление Галуа ρ на этальных группах когомологий V неразветвлено , . Для них определение локальной дзета-функции можно восстановить с помощью характеристического полинома

$\rho (\operatorname {Frob} (p)),$

Frob( p ) является элементом Фробениуса для p . Что происходит при разветвленном p, так это то, что ρ нетривиален на группе инерции I ( p ) для p . В этих простых числах определение необходимо «исправить», взяв наибольшее частное представления ρ, на котором группа инерции действует посредством тривиального представления . Благодаря этому уточнению определение Z ( s ) может быть успешно обновлено с «почти всех» p до всех p, участвующих в произведении Эйлера. Следствия для функционального уравнения были разработаны Серром и Делинем в конце 1960-х годов; само функциональное уравнение, вообще говоря, не доказано.

Гипотеза Хассе – Вейля

Гипотеза Хассе-Вейля утверждает, что дзета-функция Хассе-Вейля должна расширяться до мероморфной функции для всех комплексных s и должна удовлетворять функциональному уравнению, аналогичному уравнению дзета -функции Римана . Для эллиптических кривых над рациональными числами гипотеза Хассе–Вейля следует из теоремы модулярности .

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера утверждает, что ранг абелевой группы E ( K ) точек эллиптической кривой E равен порядку нуля L -функции Хассе–Вейля L ( E , s ) при s = 1 . и что первый ненулевой коэффициент в разложении Тейлора L ( E , s ) при s = 1 задается более точными арифметическими данными, присоединенными E над K. к Эта гипотеза является одной из семи задач Премии тысячелетия, перечисленных Математическим институтом Клэя , который предложил приз в размере 1 000 000 долларов за первое правильное доказательство.

Эллиптические кривые над Q

Эллиптическая кривая представляет собой особый тип многообразия. Пусть E — над Q проводника N. эллиптическая кривая Тогда E имеет хорошую редукцию для всех простых p, не делящих N , он имеет мультипликативную редукцию для простых p , которые точно делят N (т. е. такие, что p делит N , но p ² нет; это написано р || N ), и в других местах оно имеет аддитивную редукцию (т.е. в простых числах, где p ² делит N ). Тогда дзета-функция Хассе – Вейля E принимает форму

$Z_{V\!,\mathbb {Q} }(s)={\frac {\zeta (s)\zeta (s-1)}{L(E,s)}}.\,$

Здесь ζ( s ) — обычная дзета-функция Римана , а L ( E , s ) называется L -функцией E / Q , которая принимает вид

$L(E,s)=\prod _{p}L_{p}(E,s)^{-1}\,$

где для данного простого p числа

$L_{p}(E,s)={\begin{cases}(1-a_{p}p^{-s}+p^{1-2s}),&{\text{if }}p\nmid N\\(1-a_{p}p^{-s}),&{\text{if }}p\mid N{\text{ and }}p^{2}\nmid N\\1,&{\text{if }}p^{2}\mid N\end{cases}}$

где в случае хорошей редукции a _p равно p + 1 − (количество точек E mod p ), а в случае мультипликативной редукции a _p равно ±1 в зависимости от того, имеет ли E расщепление (знак плюс) или нерасщепление (знак минус) мультипликативная редукция при p . Мультипликативная редукция кривой Е простым числом р называется расщепленной, если _-с6 — квадрат в конечном поле с р элементами.

Есть полезное соотношение без использования проводника:

1. Если p не делится $\Delta$ (где $\Delta$ является дискриминантом эллиптической кривой), то E имеет хорошую редукцию в точке p .

2. Если p делит $\Delta$ но не $c_{4}$ тогда E имеет мультипликативную плохую редукцию в точке p .

3. Если p делит оба $\Delta$ и $c_{4}$ тогда E имеет аддитивную плохую редукцию в точке p .

См. также

• Арифметическая дзета-функция

Библиография

• Ж.-П. Серр , Локальные факторы дзета-функций алгебраических многообразий (определения и гипотезы) , 1969/1970, Sém. Деланж-Пизо-Пуату, презентация 19